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IX多元函数的一致连续分析1.1一致连续的定义及性质定义2.1.1（二元函数一致连续）（1）函数在给定平面区域上关于一致连续是指，对以及内任何两点，，存在，当时.同理可得出函数在给定平面区域上关于一致连续的定义.（2）函数在给定平面区域上一致连续是指，对以及内任何两点，，存在，当时，有.定理2.1.1设在有界闭区域上连续，则上一致连续.定理2.1.2在有界区域一致连续的充要条件是在连续，且对（其中为的边界），都存在有限极限.证明充分性构造函数,易知在上连续，从而在上一致连续，又在内，所以在一致连续.必要性由在有界区域一致连续知，对，对，，当时，有.于是，，当,：,时，由于，从而，再由柯西收敛原理可知，存在.定理2.1.3设在区域满足：对，都有，其中为正常数，则在一致连续.证明，取，则对：,，有，由定义2.1.1可知，在一致连续.在1.1节中的定理1.1.3，对于二元函数是否也有类似的结论？设在区域连续，且存在，那么在一致连续是否成立呢？答案是否定的.例2.1.1在连续，且，但在上却非一致连续.事实上，取,对，取,，则，从而在上非一致连续.若将存在改为,均存在，则有以下定理.定理2.1.4若在区域连续，且对，，都存在，则在一致连续.证明由,知，,对,，当,时，有,（2-1）当，时，也有,（2-2）将分成以下三个区域：,,，从而有在一致连续，即对上述,,：，则，取，则对上述,,，，当，时，有1），有,；2），有,；3），有；4），有，由.由（2-1）式知，；5），有，由，于是由（2-2）式知，，综上可知在一致连续.例2.1.2判断在的一致连续性.证明，有.，有，所以由定理2.1.4知，在上一致连续.1.2一致连续的判定方法定义2.2.1设区域上的任意两点，若对，有，则称区域为凸区域.定理2.2.1设在凸区域存在有界偏导数，则在一致连续.证明由假设可知，，使对，有，于是对，：，（1）若、之一属于，不妨设，则.（2）若、均不属于，将的连线等分，并记分点依次为,,,,（其中），并记.因为为凸区域，所以这些分点都在内，且当足够大时能使点也都属于.于是，综上，对,：，有，即在一致连续.定理2.2.2设在区域连续，且存在（其中），则在一致连续.证明因为存在，由柯西收敛原理知，，对于满足的点，都有.记.由于在有界区域上连续，从而在上一致连续，故对上述,，当时，有.取,，当时或同属于或同时满足，于是，所以在一致连续.注：该定理只是充分条件并非必要条件，其逆命题不成立，这一点与定理2.1.2有区别.例如在一致连续，但不存在.定理2.2.3在区域一致连续的充要条件是对：，都有.证明充分性设若不然在非一致连续，则，使对,:，有.取，则:，有，而，但有，此与假设矛盾.必要性由一致连续定义可知，对:，有.对，因，所以对此，，，有，从而，即.定理2.2.4在有界区域一致连续的充要条件是将柯西序列映射成柯西序列（即为柯西序列时，亦为柯西序列）.证明仿照定理1.1.6的证明可得.例2.2.1判断在上的一致连续性.证明显然在点连

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