2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高二（上）第三次段考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高二（上）第三次段考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆x2m+y24=1A.17 B.5 C.5或3 D.2.抛物线y=16x2A.y=124 B.y=−124 C.3.已知数列{an}满足2an=an−1+aA.6 B.7 C.8 D.94.已知空间向量a=(1,1,1),b=(1,0,−2)，则下列结论正确的是A.向量a在向量b上的投影向量是(−15,0,25)B.a5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊垫、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种.这十二个节气，立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个(春分至若种)日影长之和为(

)A.8.5尺 B.30尺 C.66尺 D.96尺6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1,(a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于A、B两点，若弦ABA.y=±6x B.y=±6x C.y=±17.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1A.12B.22

C.18.点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x两点，若△PQM是直角三角形，则该椭圆的离心率为(

)A.2−3 B.5−12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6=10A.{an}是递增数列 B.{an}的前n项和中S2最小

C.a310.已知点O为坐标原点，直线y=x+1与抛物线C：x2=4y相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是(

)A.|AB|=8 B.OA⊥OB

C.1|AF|+1|BF|=1 D.线段11.在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M为BC边的中点，下列结论正确的有(

)A.AM与D′B′所成角的余弦值为1010

B.过A，M，D′三点的正方体ABCD−A′B′C′D′的截面面积为3

C.当P在线段A′C上运动时，|PB′|+|PM|的最小值为3

D.若Q为正方体表面BCC′B′上的一个动点，E，F分别为AC′的三等分点，则|QE|+|QF|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}满足a1=12，an+1=13.过点A(−2,−1)向圆C：(x−1)2+(y−2)2=4作切线，切点为B14.如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图③，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2构成，已知C1与C2的离心率之比为2：5.现一光线从右焦点F2发出，依次经C1与C2的反射，又回到了点F2，历时3×10−8秒．将装置中的C2去掉，如图④，此光线从点F四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−1,3)，C(2,6)．

(1)求边AB的垂直平分线l的方程；

(2)求三角形ABC的外接圆方程．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=AD=12CD=2，PD=2，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM//平面PAD；

(2)求平面PDM和平面DMB17.(本小题15分)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…)．

(1)求证：数列18.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，平面ACC1A1上平面ABC，点D，E分别是CC1，BC的中点．19.(本小题17分)

已知点N(3,0)，点P是圆M：(x+3)2+y2=16上任意一点，线段PN的垂直平分线l1与半径PM的交点为Q，记点Q的轨迹是曲线W，设经过点D(1,0)的直线l与曲线H的交点为A，B．

(Ⅰ)求曲线W的方程；

(Ⅱ)求|DA|⋅|DB|的取值范围；

(Ⅲ)已知点参考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.B

6.A

7.D

8.D

9.ABD

10.AC

11.AC

12.15

113.1414.10−715.解：(1)因为A(−2,4)，B(−1,3)，可得AB的中点D(−32,72)，

AB=(1,−1)，由点法式方程可得AB的中垂线l的方程为：1×(x+32)+(−1)(y−72)=0，

整理可得：x−y+5=0；

(2)BC的中点E(12,92)，BC=(3,3)，

由点法式方程可得BC的中垂线方程为3(x−12)+3(y−92)=0，

16.解：(1)证明：取PD中点N，连接AN，MN，

在△PCD中，M，N分别为PC，PD的中点，则MN/​/DC，MN=12DC，

因为AB//DC，AB=12DC，则AB/​/MN，AB=MN，

可知四边形ABMN为平行四边形，则BM/​/AN，

且BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

所以BM/​/平面PAD．

(2)因为PD⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，

则PD⊥AD，PD⊥DC，且AD⊥DC，

以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示，

取CD的中点E，连接BE，

因为AB//DC，AB=12DC，则AB//DE，AB=DE，

又因为AD⊥DC，所以四边形ABED为矩形，

且AB=AD=2，可知四边形ABED是以边长为2的正方形，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，P(0,0,2)，M(0,2,1)，

可得DA=(2,0,0)，DM=(0,2,1)，DB=(2,2,0)，

设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥DMn⊥DB，即n⋅DM=2y+z=0n⋅DB=2x+2y=0，

令y=−1，则x=1，z=2，

所以平面17.解：(1)证明：正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…)，

可得4a1=4S1=(a1+1)2，解得a1=1；

当n≥2时，由4Sn=(an+1)2，可得4Sn−1=(an−1+1)2，

相减可得4an=(an18.(1)证明：连接A1C，∵四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°，

∴△A1AC是等边三角形．

取AC的中点O，连接A1O，OE，则A1O⊥AC，

又平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，

∴A1O⊥平面ABC．

又BC⊂平面ABC，∴A1O⊥BC．

∵O，E分别为AC，BC的中点，∴OE/​/AB，OE=12AB．

∵∠ABC=90°，∴BC⊥OE．

又A1O∩OE=O，∴BC⊥平面A1OE．

∵A1E⊂平面A1OE，∴BC⊥A1E．

(2)延长A1D与AC相交于点M，则点M即为平面A1DE与棱AC的延长线的交点．点D是CC1的中点，

∴△A1C1D≌△MCD，则CM=C1A1=2．

如图，连接OB，以O为坐标原点，OB，OC，OA19.解：(Ⅰ)连接QN，

此时|QN|=|QP|，

设Q(x,y)，

因为圆M的圆心M(−3,0)，半径为4，

所以|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=4，|MN|=23，

因为4>23，

所以点Q轨迹是以M，N为焦点的椭圆，长轴长2a=4，焦距2c=23，

解得a=2，c=3，

则b=a2−c2=1，

故曲线W的方程为x24+y2=1；

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在