人教版高中数学必修第二册6.2.4.1向量数量积的概念【课件】

第1课时向量数量积的概念预学案共学案预学案

非零向量∠AOB＝θ0≤θ≤π同向反向垂直a⊥b【即时练习】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(

)A．60°B．120°C．30°

D．150°答案：A解析：因为向量a与向量b的夹角为60°，根据向量夹角的几何意义，－a与－b构成的夹角和a与b的夹角相等，故选A.二、向量的数量积❷已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作________，即________________(θ为a，b的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为________．|a||b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ0

答案：C

投影向量

投影向量|a|cosθ

e

四、向量数量积的性质❹设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝________．(2)a⊥b⇔________．(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．(4)|a·b|____|a||b|.|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b||a|2

≤【即时练习】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a与b的数量积a·b是一个向量．(

)(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(

)(3)若a⊥b，则a·b＝0.(

)(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acosθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．(

)××√√

答案：C

微点拨❷(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的．(3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cosθ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(4)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b＝b·cD

a＝c.微点拨❸(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．

共学案【学习目标】

(1)知道向量数量积的物理背景，理解并掌握向量数量积的定义及投影向量．(2)掌握向量数量积的性质，并会求向量的模与向量的夹角．题型

1两向量的夹角【问题探究1】如图，一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为W＝|F||s|cosθ，在该公式中，涉及力与位移的夹角，我们要先定义向量的夹角的概念．什么是向量的夹角？

例1

已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？

答案：C

题型

2两向量的数量积【问题探究2】类比力做功的物理模型，你能给出向量数量积的定义吗？两个向量的数量积还是向量吗？提示：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)．由数量积的定义知两个向量的数量积不是向量是数量．

跟踪训练3

已知|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－3，则向量a在向量b上的投影向量为________．

题型

4向量数量积的性质【问题探究4】探究以下问题，尝试发现数量积的性质．(1)向量a与单位向量e的数量积结果是什么？(2)当两个非零向量a与b互相平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，这时它们的数量积又有怎样的特殊性？(3)|a·b|与|a||b|有什么关系？

学霸笔记利用数量积的性质判断三角形的形状关键看角的大小，若其中有一个角为钝角或直角，那么三角形为钝角三角形或直角三角形，若其中有一个角为锐角，三角形的形状不能判断为锐角三角形．跟踪训练4

已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中正确的个数为(

)①若a·b＝±|a|·|b|，则a∥b；②若a，b反向，则a·b＝－|a|·|b|；③若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；④若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.A．1

B．2C．3

D．4答案：C解析：对于①，设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b为非零向量，可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，故①正确；对于②，若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，故②正确；对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|，故③正确；对于④，当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与