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文档简介
江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第18周阶段性训练模拟练习一.选择题(共4小题)1.在平面直角坐标系xOy中,点A(a,﹣2a+4)在反比例函数(k<0)的图象上,过点A作x轴的垂线,垂足为B.若AB≤4,则k的取值范围是()A.k≤﹣16 B.k≤﹣2 C.﹣16≤k<0 D.﹣2≤k<02.欧几里得的《原本》记载,方程x2+ax=b2的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=BC.则该方程的一个正根是()A.AC的长 B.CD的长 C.AD的长 D.BC的长3.如图,P、Q是⊙O的直径AB上的两点,P在OA上,Q在OB上,PC⊥AB交⊙O于C,QD⊥AB交⊙O于D,弦CD交AB于点E,若AB=20,PC=OQ=6,则OE的长为()A.1 B.1.5 C.2 D.2.54.若二次函数y=﹣x2+px+q的图象经过A(1+m,n)、B(0,y1)、C(3﹣m,n)、D(m2﹣2m+5,y2)、E(2m﹣m2﹣5,y3),则y1、y2、y3的大小关系是()A.y3<y2≤y1 B.y3<y1<y2 C.y1<y2<y3 D.y2<y3<y1二.填空题(共13小题)5.如图,AD是△ABC的中线,点E在边AC上,BE交AD于点F,若AC=4AE,AD=3cm,则AF的长度为cm.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(3,0),点P为y轴正半轴上的一个动点,以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ,连接QB,在点P运动的过程中,线段QB长度的最小值为.7.如图,C、D是⊙O上两点,AB是直径,如果∠BDC=23°,则∠ABC的度数为°.8.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、BC、AB为直径作半圆,三个半圆形成的两个月牙形(图中阴影部分)称为“希波克拉底月形”(希波克拉底是古希腊数学家),若AC=3,BC=4,则希波克拉底月形(阴影部分)的面积等于.9.在正方形网格纸上,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形.在4×4网格中(每个小正方形网格的边长为1)画格点三角形,它的三边比是1::,这种三角形可以画若干个,其中面积的最大值等于.10.抛物线y=a(x﹣2)(x﹣)(a是不等于0的整数)顶点的纵坐标是一个正整数,则a等于.11.如果点D是△ABC的重心,AD的延长线交BC于点E,那么AD:AE=.12.如图,边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,半径为2的⊙A与BC交于点F,则tan∠DEF=.13.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=4,点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分面积为.14.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)与一次函数y=kx+1图象交于A(﹣3,m),B(1,n)两点,则关于x的不等式ax2+(b﹣k)x+c≥1的解集为.15.在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣4,0),B(2,0)在x轴上,若点P到两坐标轴的距离相等,且∠APO=∠BPO,则点P的坐标为.16.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AD是△ABC的高,AE是⊙O的直径,且AE=4,若CD=1,AD=3,则AB的长为.17.如图,点C是以AB为直径的半圆上一个动点(不与点A、B重合),且AC+BC=8,若AB=m(m为整数),则整数m的值为.三.解答题(共3小题)18.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=90°,连接AC,点E在BA的延长线上,且∠AED=∠ACB,AD、BC的延长线相交于点F.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)在题中条件不变的情况下,再从以下四个选项中选择三个作为已知条件,余下的一个作为结论,并写出结论成立的计算或证明的过程.①DE∥AC,②CD=2,③BC=3,④CF=.你选择的条件是,结论是.(填序号)
19.如图1,四边形ABCD是矩形,点P是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥CD于点E,连接PB,已知AD=3,AB=4,设AP=m.(1)当m=1时,求PE的长;(2)连接BE,试问点P在运动的过程中,能否使得△PAB≌△PEB?请说明理由;(3)如图2,过点P作PF⊥PB交CD边于点F,设CF=n,试判断5m+4n的值是否发生变化,若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由.20.已知一次函数y=x﹣a的图象与x轴、y轴分别交于点A、B.二次函数y=x2+2x+m的图象经过点A,且与x轴交于另一个点C,与y轴交于点D.(1)若a=﹣3,求m的值;(2)当a>0时,①试用含a的代数式表示BD的长;②若AC=BD,求m的值;(3)是否存在a的值,使得直线AB与直线CD互相垂直?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析一.选择题(共4小题)1.【解答】解:∵点A(a,﹣2a+4)在反比例函数(k<0)的图象上,过点A作x轴的垂线,垂足为B.AB≤4,∴AB=|﹣2a+4|≤4,当a>0时,则2a﹣4≤4,解得0<a≤4,∴k=a(﹣2a+4)=﹣2a2+4a=﹣2(a﹣1)2+2≥﹣16,当a<0时,则﹣2a+4≤4,解得a≥0,不合题意舍去,∴k=a(﹣2a+4)=﹣2a2+4a=﹣2(a﹣1)2+2≥﹣16,故k的取值范围是﹣16≤k<0,故选:C.2.【解答】解:(方法一)在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC2+BC2=AB2.∵AC=b,BD=BC=,∴b2+()2=(AD+)2=AD2+aAD+()2,∴AD2+aAD=b2.∵AD2+aAD=b2与方程x2+ax=b2相同,且AD的长度为正数,∴AD的长是方程x2+ax=b2的一个正根.故选:C.(方法二)原方程可变形为x2+ax﹣b2=0,∴Δ=a2+4b2,∴x=,其中正根为x=.∵BC2+AC2=AB2,即+b2=AB2,∴a2+4b2=4AB2,∴x===AB﹣=AB﹣BD=AD,∴AD的长是方程x2+ax=b2的一个正根.故选:C.3.【解答】解:∵PC⊥AB,QD⊥AB,∴∠CPO=∠OQD=90°,在Rt△OCA和Rt△DOQ中,∴Rt△OCA≌Rt△DOQ(HL),OP=DQ,∵AB=20,PC=OQ=6,∴OA=OB=10,∴OD=10,∵∠OQD=90°,∴QD==8,∴OP=8,∴PQ=OP+OQ=8+6=14,设OE=a,则EQ=a+6,PE=8﹣a,∵PC⊥AB,QD⊥AB,∴PC∥QD,∴,即,解得,a=2,即OE=2,故选:C.4.【解答】解:∵经过A(1+m,n)、C(3﹣m,n),∴二次函数的对称轴x=,∵m2﹣2m+5=(m﹣1)2+4≥4,2m﹣m2﹣5=﹣(m﹣1)2﹣4≤﹣4,∴(m2﹣2m+5﹣2)﹣[2﹣(2m﹣m2﹣5)]=﹣4<0,∴D点离对称轴x=2比E点离对称轴x=2近,∴B(0,y1)、D(m2﹣2m+5,y2)、E(2m﹣m2﹣5,y3)与对称轴的距离E最远,B最近,∵a=﹣1<0,∴y1≥y2>y3;故选:A.二.填空题(共13小题)5.【解答】解:过D点作DG∥AC交BE于G点,如图,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵AC=4AE,∴CE=3AE,∵DG∥CE,∴==,即DG=CE,∴DG=AE,∵DG∥AE,∴===,∴=,∴AF=AD=×3=1.2(cm).故答案为1.2.6.【解答】解:如图,将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP,连接BC,∴△ABQ≌△ACP,∴AB=AC,BQ=PC,∠PAQ=∠BAC,∵△ABC是等边三角形∴∠PAQ=∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,∵A(1,0),B(3,0),∴AB=3﹣1=2,∴C(2,),即点C是定点,∴当PC最小时,BQ最小,∴当PC⊥y轴时,PC最小,最小值是2,∴线段QB长度的最小值为2.故答案为:2.7.【解答】解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=∠BDC=23°,∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣23°=67°.故答案为67.8.【解答】解:由勾股定理得:AB===5,以AC为直径的半圆的面积是π×()2=π,以BC为直径的半圆的面积是π×()2=2π,以AB为直径的半圆的面积是π×()2=π,△ABC的面积是=4=6,所以阴影部分的面积S=π+2π+6﹣π=6,故答案为:6.9.【解答】解:画出格点△ABC,它的三边分别是1,,,以及格点△DEF,三边长分别是,,5,此时△DEF面积最大,则S△DEF=×3×4﹣12﹣×2×1﹣×1×3=6﹣1﹣1﹣=2.5.故答案为:2.5.10.【解答】解:∵y=a(x﹣2)(x﹣)=(x﹣2)(ax﹣2)=ax2﹣2(a+1)x+4,∴顶点的纵坐标为:=﹣,∴a=﹣1,故答案为﹣1.11.【解答】解:∵点D是△ABC的重心,∴AD=2DE,∴AD:AE=2:3.故答案为2:3.12.【解答】解:由题意可得:∠DBC=∠DEF,则tan∠DEF=tan∠DBC==.故答案为:.13.【解答】解:连接CD,作DM⊥BC,DN⊥AC.∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,∴DC=AB=2,四边形DMCN是正方形,DM=.则扇形FDE的面积是:=π.∵CA=CB,∠ACB=90°,点D为AB的中点,∴CD平分∠BCA,又∵DM⊥BC,DN⊥AC,∴DM=DN,∵∠GDH=∠MDN=90°,∴∠GDM=∠HDN,则在△DMG和△DNH中,∴△DMG≌△DNH(ASA),∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2.则阴影部分的面积是:π﹣2.故答案为π﹣2.14.【解答】解:函数大概图象如下:根据题意得出当ax2+bx+c≥kx+1时,则ax2+(b﹣k)x+c≥1,则从图象看,关于x的不等式ax2+(b﹣k)x+c≥1的解集为﹣3≤x≤1,故答案为﹣3≤x≤1.15.【解答】解:当点P在第一象限时,设(m,m),过点O作OE⊥PA于E,OF⊥PB于F.∵∠OPA=∠OPB,∴OE=OF,∴===,∴==2,∴PA2=4PB2,∴(m+4)2+m2=4[(m﹣2)2+m2],解得m=4或0(舍弃),∴P(4,4),当点P在第四象限时,根据对称性可知,P′(4,﹣4),故答案为:(4,4)或(4,﹣4).16.【解答】解:∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴AC===,∵AE是直径,∴∠ABE=90°,∴∠ABE=∠ADC,∵∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC,∴=,∴=,∴AB=,故答案为:.17.【解答】解:设AC=x,则BC=8﹣x,∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点(不与点A、B重合),∴∠ACB=90°,∴AB2=AC2+BC2,∴m2=x2+(8﹣x)2,∴m2=2[(x﹣4)2+16]∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点(不与点A、B重合),∴0<x<8,∴0≤(x﹣4)2<16,∴32≤2[(x﹣4)2+16]<64,又∵m为整数,∴当2[(x﹣4)2+16]=36或2[(x﹣4)2+16]=49时,m为整数6或7,故答案为:6或7.三.解答题(共3小题)18.【解答】解:(1)DE与⊙O相切,理由如下:如图1,连接BD,∵∠AED=∠ACB,∠ADB=∠ACB,∴∠AED=∠ADB,∵∠BCD=90°,∴BD是直径,∴∠BAD=90°,∴∠BAD=∠AED+∠ADE=∠ADB+∠ADE=∠BDE=90°,∴BD⊥ED,∴DE与⊙O相切;(2)条件①,②,③,结论④;证明:如图2,∵AC∥DE,∴∠E=∠BAC,∵∠ACB=∠E,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC=3,∵BD是⊙O的直径,∴AD=CD,设CF=x,DF=y,由勾股定理得:AB2+AF2=BF2,CD2+CF2=DF2,即32+(2+y)2=(3+x)2①,22+x2=y2②,由②得:y2﹣x2=4③,把③代入①得:3x=4+2y,∴y=,∴4+x2=,解得:x1=0(舍),x2=,∴CF=.还可以:条件①,④,③,结论②;同理设CD=x,DF=y,列方程可解答;条件①,②,④,结论③;根据勾股定理得:DF==,设BC=x,则AB=x,∴x2+(2+)2=(x+)2,解得:x=3,∴BC=3.19.【解答】解:(1)连接BE,由已知:在Rt△ADC中,AC=,当AP=m=1时,PC=AC﹣AP=5﹣1=4,∵PE⊥CD,∴∠PEC=∠ADC=90°,∵∠ACD=∠PCE,∴△ACD∽△PCE,∴,即,∴PE=;解法二:求出三角形ACD的面积,接着连接DP,根据两三角形同高,求得三角形DPC的面积为4.8,再根据面积法求得PE=2.4.(2)如图1,当△PAB≌△PEB时,∴PA=PE,∵AP=m,则PC=5﹣m,由(1)得:△ACD∽△PCE,∴,∴PE=,由PA=PE,即,解得:m=,∴EC=,∴BE=,∴△PAB与△PEB不全等,∴不能使得△PAB≌△PEB;(3)如图2,延长EP交AB于G,∵BP⊥PF,∴∠BPF=90°,∴∠EPF+∠BPG=90°,∵EG⊥AB,∴∠PGB=90°,∴∠BPG+∠PBG=90°,∴∠PBG=∠EPF,∵∠PEF=∠PGB=90°,∴△BPG∽△PFE,∴,由(1)得:△PCE∽△ACD,PE=,∴,即,∴EC=,
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