辽宁省县级重点高中协作体2024届高三上学期期末数学试题（解析版）

第18页/共18页辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年上学期末考试高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别计算出集合、后，由交集定义运算即可得.【详解】由，即，故，由，即，故，则.故选：D.2.若复数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则求解，再由共轭复数的定义求.【详解】因为，所以.故选：.3.已知抛物线的焦点为，则点到抛物线的准线的距离是（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据抛物线标准方程的相关知识直接求解.【详解】由题意可知，抛物线的标准方程为，则，即点到抛物线的准线的距离是1.故选：C4.在正项等比数列中，，则数列的公比是（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】设数列的公比是，则.因为，所以，则，解得或（舍去）.故选：B5.已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案.【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.表面积，故.故选：A.6.甲､乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒钟跑2.5米，乙每秒跑3.5米，则“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及充分必要条件的定义可得结果.【详解】因为乙每秒比甲每秒多跑1米，所以当甲､乙都跑了200秒时，乙比甲多跑了200米，甲､乙第一次相遇.当甲､乙都跑了400秒时，乙比甲多跑了400米，甲､乙再次相遇.所以“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的必要不充分条件.故选：C.7.已知函数为奇函数，则（）A.20 B.10 C.21 D.11【答案】C【解析】【分析】根据为奇函数，得到，进而得到，求出答案.【详解】因为为奇函数，所以，即，令，则，两式相加得所以，即.故选：C8.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（）A.7 B.6 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.【详解】由圆可化为，则，半径为1，因为是的下焦点，则，由双曲线定义可得，所以，当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线与圆，则（）A.直线的倾斜角是B.圆的半径是4C.直线与圆相交D.圆上的点到直线的距离的最大值是7【答案】BCD【解析】【分析】对于A：求出直线的斜率即可得倾斜角；对于B：求出圆的标准式即可；对于CD：求出圆心到直线的距离即可判断.【详解】直线，即，斜率为，则倾斜角是，错误；圆，即，圆心为，半径为4，正确；圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故正确；圆上的点到直线的距离的最大值为，则正确.故选：BCD.10.已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（）A.都没有命中的概率是0.02B.都命中的概率是0.72C.至少一人命中的概率是0.94D.恰有一人命中的概率是0.18【答案】AB【解析】【分析】由对立事件的概率计算甲乙不中的概率，利用独立事件的概率求解判断选项，；利用对立事件的求解判断选项；甲中乙不中和甲不中乙中两种情况求解可判断选项.【详解】都没有命中的概率为，正确；都命中的概率为，正确；至少一人命中的概率为，错误；恰有一人命中的概率为，错误.故选：.11.已知函数恰有5个零点，则的值可能为（）A.4 B.5 C. D.【答案】BC【解析】【分析】先利用余弦函数图像性质求得的零点个数，再利用的零点个数列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围，进而得到的值可能值.【详解】由，得.函数在上的零点个数为2，又因为函数恰有5个零点，所以函数在上的零点个数为3.由，得，则，解得.故选：BC12.如图，在棱长为6的正方体中，E，F分别是棱，BC的中点，则（）A.平面B.异面直线与EF所成的角是C.点到平面的距离是D.平面截正方体所得图形的周长为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、点到面距离公式，结合正方体的性质逐一判断即可.【详解】如图，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，所以．设平面的法向量为，则令，得．因为，所以与平面不垂直，则A错误．设异面直线与EF所成的角为，则，从而，故B正确．连接，因为，所以点到平面的距离是，则C正确．分别在棱上取点M，N，使得，，连接．可知平面截正方体所得图形为五边形．由题中数据可得，则平面截正方体所得图形的周长为，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：本题的关键是根据正方体的性质得到截面的形状.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.向量，，若，则__________.【答案】6【解析】【分析】由已知，可得，根据向量的坐标运算求解即可.【详解】由已知，所以，可得，解得.故答案为：6.14.5名学生的期中考试数学成绩分别为，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，则__________.【答案】112【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】由，将成绩从小到大排列，得第60百分位数为第三个成绩和第四个成绩的平均数，所以，解得.故答案为：11215.已知点是函数图象上的任意一点，直线，则点到直线的距离的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】设直线与平行，且与函数相切，从而求出切点坐标，则求出切点到直线的距离，从而可求解。【详解】因为，所以.令，得，则，故点到直线的距离.故答案为：16.已知函数在上为单调函数，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】利用复合函数法可知，在上为单调函数，分函数在上为增函数、减函数两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上为单调函数.当在上为单调递增函数时，则，解得；当在上为单调递减函数时，则，解得.综上，的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理解出即可.（2）由已知求出各边的长度，再用面积公式求解.【小问1详解】因为，所以，所以.因为，所以.【小问2详解】因为，所以.因为，所以，则故的面积18.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，是棱的中点.（1）证明：.（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意证明线面垂直进而证明线线垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，结合面面角的向量求法进行计算求解即可.【小问1详解】连接.因为四边形是菱形，所以，因为平面，且平面，所以，因为平面，且，所以平面因为平面，所以【小问2详解】记，连接，因为四边形是菱形，所以，因为平面，且平面，所以，因为分别是的中点，所以，所以，所以两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故.设平面的法向量为，则令，得，设平面的法向量为，则令，得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为19.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）57.5（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.（2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．【小问1详解】因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．【小问2详解】由题意可知采用分层抽样方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．的所有可能取值为．，，．从而的分布列为01234故．20.已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.【小问1详解】当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．【小问2详解】由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．21.已知数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据递推关系可得，所以奇数项和偶数项分别为等差数列，由通项公式求解即可；（2）当为奇数时，奇数项有项，偶数项有，当为偶数时，奇数项和偶数项分别为项，分组求和即可.【小问1详解】因为，所以，两式相减可得，因为，，所以，所以，所以，，，，是首项为1，公差为3的等差数列，，，，，是首项为2，公差为3的等差数列，则，，故；【小问2详解】当为奇数时，，当为偶数时，，综上.22.动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为.（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）若过的直线与交于两点，点是上一点，的最大值为，最小值为，且成等比数