中考数学一轮总复习重难考点强化训练-专题02 分式方程及其应用（知识串讲+6大考点）（全国版）原卷版

专题02分式方程及其应用考点类型知识一遍过（一）分式方程的概念（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．（二）解分式方程（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．（2）解这个整式方程，求得方程的根．（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根（三）分式方程解的应用（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情况构建不等式，求解参数取值范围（四）分式方程的实际应用（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）；(6)作答．（2）常用公式：①行程问题：②工程问题：（工作总量设为1）③销售问题：考点一遍过考点1：分式方程的定义典例1：（23·24上·全国·课时练习）下列式子：①x−12=1；②xx−2=x+23x−1；③23x+12x；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（22·23下·沈阳·期中）在①x2−x+1x，②1a−3=a+4，③A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（22·23下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（）A．xx+1+x+4C．34x−2=【变式3】（22·23下·上海·专题练习）已知方程：①1−9x2x2=0，②xA．4 B．3 C．2 D．1【变式4】（22·23下·全国·单元测试）下列式子中是分式方程的是（）A．12x−1+2C．2xx−1+1x+1=1【变式5】（21·22下·上海·期中）已知方程：①1−9x2x2=0；②xA．4 B．3 C．2 D．1考点2：解分式方程典例2：（23·24上·烟台·期中）解分式方程：9x−7【变式1】（23·24上·重庆·期中）解方程：(1)7(2)x+1【变式2】（22·23下·黔江·期末）（1）解方程5x−2（2）化简：(【变式3】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：|−3|−（2）解方程：3x【变式4】（22·23下·平顶山·阶段练习）计算：(1)分解因式：x2(2)解方程：x4x−4【变式5】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：m+2−5（2）解方程：x−3考点3：分式方程解的应用——求参数典例3：（23·24上·江北·期中）如果关于x的分式方程1−ax−2+2=12−x有整数解，且关于x的不等式组4x≥3(x−1)x+A．1 B．2 C．3 D．0【变式1】（22·23·淄博·中考真题）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3A．−2 B．2 C．−4 D．4【变式2】（22·23下·宿迁·期末）已知关于x的方程2x−mx−2=3的解是正数，那么m的取值范围是（A．m<6且m≠4 B．m<6 C．m>6且m≠8 D．m>6【变式3】（22·23下·邯郸·期末）已知关于x的分式方程2x+ax−10=0的解为x=4A．1 B．2 C．3 D．4【变式4】（22·23上·桂林·期末）若关于x的方程axa−x=32的解为x=1，则A．−1 B．3 C．1 D．−3【变式5】（22·23上·邢台·期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4考点4：分式方程无解问题典例4：（23·24上·烟台·期中）若关于x的分式方程6x−1=x+3xx−1A．k=−3 B．k=−3或k=−5 C．k=1 D．k=1或k=−5【变式1】（23·24上·东营·阶段练习）若关于x的方程x−2x−4−3=mA．x=6 B．x=5 C．x=4 D．x=3【变式2】（22·23下·巴彦淖尔·阶段练习）若关于x的方程xx−1−2=mx−1无解，则A．2 B．1 C．0 D．−1【变式3】（22·23下·资阳·期末）关于x的方程m−1x−1+xA．3 B．2 C．1 D．−1【变式4】（22·23下·雅安·期末）若关于x的分式方程2mx−1+mA．1 B．﹣2 C．1或−2 D．−1或2【变式5】（22·23下·枣庄·期末）“若关于x的方程ax3x−9=12尖尖：去分母得：ax=12+3x−9，移项得：ax−3x=12−9，合并同类项得：(a−∵原方程无解，∴a−3=0，∴a=3.丹丹：去分母得：ax=12+3x−9，移项，合并同类项得：(a−3)x=3，解得：x=3∵原方程无解，∴x为增根，∴3x−9=0，解得x=3，∴3a−3=3

图1

图2下列说法正确的是（

）A．尖尖对，丹丹错B．尖尖错，丹丹对C．两人都错 D．两人的答案合起来才对考点5：不等式与分式方程典例5：（22·23下·全国·专题练习）若关于x的不等式x−43<x−4m−x5<0的解集为x>4，且关于A．5 B．6 C．7 D．9【变式1】（22·23上·荆门·期末）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1A．12 B．16 C．18 D．49【变式2】（22·23下·绵阳·一模）已知方程3−aa−4−a=14−a，且关于x的不等式A．1<b≤2 B．2<b≤3 C．1≤b<2 D．2≤b<3【变式3】（22·23下·郑州·期末）已知不等式x−22<1+2x3−1的负整数解是关于xA．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【变式4】（22·23下·沧州·模拟预测）对于a、b定义a★b=1a−b2，已知分式方程x★−1=xA．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3【变式5】（21·22·泰安·模拟预测）已知方程3−aa−4−a=14−a，且关于x的不等式a<x≤b只有4个整数解，那么A．2<b≤3 B．3<b≤4 C．2≤b<3 D．3≤b<4考点6：分式方程实际应用典例6：（23·24上·岳阳·阶段练习）华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用了176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快就销售完了．(1)两次分别购进多少件衬衫？(2)问商厦这笔生意赢利多少元？【变式1】（23·24上·长春·阶段练习）在剑兰公路的拓宽改造工程中，省路桥公司承担了48千米的任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成任务．求原计划平均每天改造公路多少千米？【变式2】（23·24上·重庆·期中）暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走A路线，全程2000千米，乙队走B路线，全程2400千米，由于B路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？(2)甲乙两队规划的总预算为156甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有a个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求a的值最大是多少．【变式3】（22·23·丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%【变式4】（23·24上·潼南·阶段练习）中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．(1)求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．(2)为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了13，每个乙种月饼的售价便宜了m5m≠0元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了152m【变式5】（23·24上·南宁·期中）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．方案一：所有商品打9折销售；方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．若该校需要购买15个A型号篮球和xx≥5个B【变式6】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A【变式7】（23·24上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B根据以上信息，解答下列问题：(1)小凤每分钟跑多少米？(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？【变式8】（23·24上·南宁·阶段练习）某校在开展数学文化节知识竞赛中，对优秀选手予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知1个甲种奖品的价格是1个丙种奖品价格的2倍，1个乙种奖品的价格比1个甲种奖品的价格少20元．若用120元单独去购买某一种奖品时，甲种奖品的数量与丙种奖品的数量之和是乙种奖品数量的2倍．(1)求甲、乙、丙三种奖品的单价分别是多少元？(2)该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共300个，其中购买丙种奖品的数量是甲种奖品数量的3倍，且丙种奖品的数量不少于甲、乙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？【变式9】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路