中考数学一轮总复习重难考点强化训练-专题01 平移与轴对称（知识串讲+9大考点）（全国版）解析版

专题01平移与轴对称考点类型知识一遍过（一）图形的平移（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．（二）图形的轴对称（1）定义：①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）性质：①成轴对称的两个图形全等，②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．考点一遍过考点1：利用平移的性质求解典例1：（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC方向平移3cm，再描边得到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（A．16cm B．22cm C．20cm【答案】B【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得DF=AC，然后得到四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF∴DF=AC，AD=CF=3cm∴四边形ABFD的周长=△ABC的周长+AD+CF=16+3+3=22cm故选：B．【变式1】（2023下·广东潮州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与A．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】本题考查了平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键．连接AI、BI，因为点I是∠A和∠B平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【详解】解：如图，连接AI、BI，∵点I为∠A的平分线和∠B的平分线的交点，∴∠CAI=∠BAI，由平移的性质可知：DI∥AC，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴DA=DI，∴阴影部分的周长=DI+EI+DE=DA+DE+BE=AB=4，故选：B．【变式2】（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）如图，将△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，平移距离为7，AB=13，DO=6，则图中阴影部分的面积为（

）

A．70 B．48 C．84 D．96【答案】A【分析】由平移的性质可得DE=AB=13，BE=CF=7，S△ABC=S△DEF，从而得出OE=7，再由【详解】解：由平移的性质可得：DE=AB=13，BE=CF=7，S△ABC∵DO=6，∴OE=DE−OD=13−6=7，∵S∴S故选：A．【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段相等是解此题的关键．【变式3】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′

A．12cm B．2+24cm C．1【答案】D【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△A′HA与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设A【详解】解：设AC交A′B′于H，A′C

由平移的性质知AC∥A′C∴四边形A′∵由正方形的性质可得：∠A=45°，∠D=90°=∠AA∴△A同理，△HCB设AA′=x，则阴影部分的底长为x∴x2−x∴x=2±即AA故选：D．【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A′考点2：坐标系中的平移典例2：（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A−1,0先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点BA．−2,2 B．−2,−2 C．−4,2 D．−4,−2【答案】D【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标．【详解】解：左平移3个单位长度，横坐标变为−1−3=−4，向下平移2个单位长度，纵坐标变为0−2=−2，点B的坐标为(−4,−2)；故选：D【点睛】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键．【变式1】（2023上·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点M（M为AC、BD的中点），顶点A、B、C的坐标分别为1,3、1,1、3,1，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换”，则连续经过2023次变换后，点M的坐标为（）A．2023,2 B．2024,−2 C．2025,2 D．2025,−2【答案】D【分析】此题考查翻折变换，掌握对称与平移的性质是解题的关键；由正方形ABCD，顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1)，根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为(2+n,−2)，当n为偶数时为(2+n,2)，求得把正方形ABCD连续经过2023次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．【详解】解：∵正方形ABCD，顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1)，∴对角线交点M的坐标为(2,2)，根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2+1,−2)，即(3,−2)，第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2+(2+2,2)，即(4,2)，第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2+3,−2)，即(5,−2)，第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为(2+n,−2)，当n为偶数时为(2+n,2)，∴连续经过2023次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(2025,−2)．故选：D．【变式2】（2023下·四川南充·七年级统考期末）如图，第四象限正方形ABCD，且Aa,b+3，Ca+2,b，将正方形ABCD平移，使A、C两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点

A．−2,0或0,−3 B．2,0或0,−3C．2,0或0,3 D．−2,0或(0,3)【答案】B【分析】根据题意，分两种情况讨论：当平移后点A的对应点在x轴上，点C的对应点在y轴上时；当平移后点A的对应点在y轴上，点C的对应点在x轴上时；分别根据x轴、y轴上点的坐标特征解答即可．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论如下：当平移后点A的对应点在x轴上，点C的对应点在y轴上时，则平移后点A的纵坐标为0，点C的横坐标为0，∵在第四象限正方形ABCD中，Aa,b+3，C∴a>0,b+3<0,a+2>0,b<0，∴由点A的纵坐标由b+3到平移后为0，可知向上平移了−b+3个单位；由点C的横坐标由a+2到平移后为0，可知向左平移了a+2∴平移后点C的对应点的纵坐标是b+−b−3∴平移后点C的对应点的坐标是0,−3；当平移后点A的对应点在y轴上，点C的对应点在x轴上时，则平移后点A的横坐标为0，点C的纵坐标为0，∵在第四象限正方形ABCD中，Aa,b+3，C∴a>0,b+3<0,a+2>0,b<0，∴由点A的横坐标a可知向左平移了a个单位，由点C的纵坐标b可知向上平移了−b个单位，∴平移后点C的对应点的横坐标是a+2−a=2，∴平移后点C的对应点的坐标是2,0；综上所示，平移后点C的对应点的坐标是2,0或0,−3，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，解题的关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．【变式3】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）如图，将线段AB平移后得到线段CD，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为A(3,a)，B(2,2)，C(b,3)，D(8,6)，则a+b的值为（

）

A．8 B．9 C．12 D．11【答案】C【分析】根据点A、D横坐标判定出AB向右平移了5个单位，从而可由点B、C坐标求出b；根据点B、C纵坐标判定出AB向上平移了1个单位，从而可由点A、D纵坐标求出a；然后代入计算即可．【详解】解：∵将线段AB平移后得到线段CD，A(3,a)，B(2,2)，C(b,3)，D(8,6)，∴将线段AB向右平移了5个单位，向上平移了1个单位后得到线段CD，∴a+1=6，2+5=b，∴a=5，b=7，∴a+b=5+7=12，故选：C．【点睛】本题考查根据平移后点的坐标，判定平移方式，再根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练掌握平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．考点3：平移的综合典例3：（2023下·湖南长沙·七年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为ax+y,x+ay，则称点Q是点P的“a阶华益点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P(1,4)的“2阶华益点”为点Q(2×1+4,1+2×4)，即点2的坐标为(6,9)．(1)若点P的坐标为(−1,5)，求它的“3阶华益点”的坐标；(2)若点Pc+1,2c−1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“−3阶华益点”P(3)已知A(2,0)、B(0,2)，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点P(x,y)，它的“m阶华益点（m为正整数）”Q使得四边形AOBQ的面积为6？如果存在，请求出m的值和P点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)2,14(2)P2的坐标为0,−16或(3)存在，m=1时，P的坐标为1,2或2,1，m=2时，P的坐标为1,1【分析】（1）根据点Q是点P的“a阶华益点”求解即可；（2）根据点P1的“−3阶华益点”P（3）P的“m阶华益点（m为正整数）”Q的坐标为mx+y,x+my，根据四边形AOBQ的面积为6，构建方程求解．【详解】（1）解：由题可得：3×−1+5=2，∴点P的“3阶华益点”的坐标为2,14．（2）解：∵点Pc+1,2c−1先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到P∴P1∴−3c−1+2c=−c+3，∴P1的“−3阶华益点”P2的坐标为−c+3,−5c−1，又∵P2∴−c+3=0或−5c−1=0，∴c=3或c=−1∴P2的坐标为0,−16或16（3）：设P的“m阶华益点”Q的坐标为mx+y,x+my，过点Q作MN∥AB，分别交x轴、y轴于N，

∵S四边形∴S△ABQ又∵S△ABM∴根据三角形的等积变形原理得：S△ABQ∴△ABO斜边AB上的高ℎ1为2，△MNO斜边MN上的高ℎ2为设等腰直角三角形△MNO的直角边ON为n，∴S∴1解之得：n=6，∴M0,6，N∴S△OQM∴12∴mx+y+x+my=6，∴m+1x+y又∵m，x，y均为正整数，∴①当m+1=2，即m=1时，x+y=3，则x=1y=2或x=2∴P1,2，②当m+1=3，即m=2时，x+y=2，则x=1y=1∴P1,1综上所述，m=1时，P的坐标为1,2或2,1，m=2时，P的坐标为1,1．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．【变式1】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A−2,4，B−4,−1，C1,0，若将三角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，点A的对应点A1

(1)直接写出a，b的值及点C1的坐标，画出平移后的三角形A(2)若点D在x轴上，且三角形ACD的面积是三角形A1B1【答案】(1)a=1,b=−3,C(2)D(12.5,0)或(−10.5,0)【分析】（1）根据点A到点A1，点B到点B（2）根据割补法求解求出SA1B1C1，再根据【详解】（1）解：∵A−2,4，B−4,−1，点A的对应点A1的坐标是a,2，点B的对应点B1的坐标是可知将三角形ABC平移后得到三角形A1∴A∴a=1,b=−3,平移后的三角形A1

（2）解：S△S△ACD设点D的坐标为(t,0)，当t>1时，CD=t−1，S△ACD解得t=12.5，即D(12.5,0)；当t<1时，CD=1−t，S△ACD解得t=−10.5，D(−10.5,0)，故点D的坐标为D(12.5,0)或(−10.5,0)【点睛】本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．【变式2】（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿AB的方向平移得到△DEF，连接CD,FB,CF

(1)当点D移至什么位里时，四边形CDBF是菱形，并加以证明．(2)在（1）的条件下，四边形CDBF能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给△ABC添加一个条件，使四边形CDBF为正方形，并写出推理过程．【答案】(1)当点D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形，详见解析(2)不能，详见解析【分析】（1）当D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形；根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知CD=12AB，BF=12DE．所以AD=CD=BD=CF，又由（2）不能为正方形，添加条件：AC=BC时，四边形CDBF为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件．【详解】（1）解：当D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形．证明如下：∵∠ACB=∠DFH=90°，D是AB的中点，∴CD=12AB∵AB=DE，∴CD=BD=BF=BE，∵CF=BE，∴CD=BD=BF=CF，∴四边形CDBF是菱形；（2）解：不能为正方形，添加条件：AC=BC时，四边形CDBF为正方形．证明：∵AC=BC，D是AB的中点．∴CD⊥AB，即∠CDB=90°，∵四边形CDBF为菱形，∴四边形CDBF是正方形．【点睛】本题是几何变换综合题型，主要考查了平移变换的性质，勾股定理，正方形的判定，菱形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线．（1）难度稍大，根据三角形斜边上的中线推知CD=BD=BF=BE是解题的关键．【变式3】（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点A，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

(1)请建立合适的平面直角坐标系，使A，B两点的坐标分别是A−1,−2，B(2)在（1）的条件下，平移线段AB到CD，使A点的对应点为格点C0,1，B点的对应点为D①请画出线段CD，并写出点D坐标______；②连接AC，AD，格点G1,0在AD上．请在线段CD上找点M，使得GM③请在给定的网格内找格点H，使三角形AGH与ACG的面积相等，则满足条件的点H有______个．（点C除外）【答案】(1)见解析．(2)①线段CD见解析；D(4,3)；②见解析；③11【分析】（1）根据A−1,−2，B（2）①由A点、C点的坐标可确定平移规律，根据平移规律可得出点D的坐标；②利用平移找到线段AC的对应线段GQ，GQ与CD的交点即为点M；③根据平行线间的距离处处相等，可得出满足条件的点．【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：①线段CD如图所示：

由A−1,−2、C0,1得：线段故点D(4,3)．②由图可知：将点A向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度可得到点G；按照同样的平移规律，可得到点C的对应点Q由平移的性质可得：GQ∥AC故GQ与CD的交点即为点M．

③分别过点H、点C作直线AG的平行线，如图所示：

根据“平行线间的距离处处相等”可知，满足条件的点【点睛】本题考查了平移、平行线间的距离处处相等知识点．根据对应点得到平移规律是解决此题的关键．考点4：轴对称图形的识别典例4：（2023上·河南安阳·九年级统考期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形定义与中心对称图形定义逐一判断，即得．轴对称图形定义，如果一个平面图形绕着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形．解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形定义与中心对称图形定义．【详解】A.，不是轴对称图形是中心对称图形；B.，不是轴对称图形也不是中心对称图形；C.，既是轴对称图形又是中心对称图形；D.，是轴对称图形不是中心对称图形．故选：C．【变式1】（2023·湖南·九年级专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【变式2】（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了中心对称和轴对称图形的概念，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选D．【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形以某条直线对折，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析．【详解】解：A．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．考点5：利用轴对称性质求解典例5：（2023上·河北沧州·八年级校考期中）如图，△ABC和△AB′C′关于直线1对称，下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质求解．【详解】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，∴（1）△ABC≌△AB′C′，正确．（2）∠BAC′=∠B′AC，正确．（3）直线l垂直平分CC′，正确．（4）直线BC和B′C′的交点一定在直线l上，错误．故选：B．【变式1】（2019下·山西太原·七年级统考期末）如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′，分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′A．∠BAC=∠B′AC′ B．CC′∥BB′C．BD=B′D′ D．AD=DD′【答案】D【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵△ABC与△AB′C′关于直线l对称，∴△ABC≅△AB′C′，BB′⊥l，CC′⊥l，AB=AB′，AC=AC′，∴∠BAC=∠B′AC′，CC′∥BB′，即选项A、B正确；由轴对称的性质得：OD=OD′,OB=OB′，∴OB−OD=OB′−OD′，即BD=B′D′，选项C正确；由轴对称的性质得：AD=AD′，但AD不一定等于故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．【变式2】（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果AD//BC，则结论①AB//CD；②AB=CD；③AB⊥BC；④AO=OC中正确的是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】分析已知条件，根据轴对称图形的性质结合图形对题中小问题的条件进行分析，选出正确答案，其中③是无法证明是正确的．【详解】解：如图所示：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD，故①正确；∴四边形ABCD是菱形；∴AB=CD，故②正确；∵四边形ABCD是菱形；∴AO=OC，故④正确．∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误；故选：C．【点睛】主要考查了轴对称的性质及菱形的性质与判定；证明四边形是菱形是正确解答本题的关键．【变式3】（2023上·山东德州·八年级德州市第十中学校考期中）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（

）A．126° B．128° C．130°【答案】D【分析】此题考查轴对称的性质，连接AD，利用轴对称的性质解答即可．【详解】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=52°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−52°=66°，∴∠EAF=2∠BAC=132°，故选：D．考点6：坐标系中的轴对称求解典例6：（2024上·河北石家庄·八年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是a,b，则经过第2019次变换后，所得A点的坐标是（

）A．a,−b B．−a,−b C．−a,b D．a,b【答案】C【分析】本题考查了轴对称的坐标变换，点的坐标变换规律探究，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是a,−b；点A第二次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是−a,−b；点A第三次关于x轴对称后在第二象限，所得A点的坐标是−a,b；点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是a,b；所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4=504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为−a,b．故选：C．【变式1】（2024上·甘肃张掖·八年级校考期末）若点P1,3关于y轴的对称点在一次函数y=3k+2x−1A．23 B．−23 C．2【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的一元一次方程是解题的关键．由点P的坐标，可找出点P关于y轴的对称点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可列出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【详解】解：点P(1,3)关于y轴的对称点为(−1,3)．∵点(−1,3)在一次函数y=(3k+2)x−1的图象上，∴3=−(3k+2)−1,解得：k=−2，故选：D．【变式2】（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A−2,1，B3,4，连接OA、OB、AB，P是y轴上的一个动点，当PB−PA取最大值时，点P的坐标为（A．0,−5 B．1,0 C．0,2.2 D．0,−【答案】A【分析】此题考查关于y轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点P是解题的关键．作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于一点，即为点P，此时PB−PA值最大，设直线BN的解析式为y=kx+b，将N2,1，B【详解】解：如图，作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于一点，即为点P，此时PB−PA值最大，∵A−2,1∴N2,1设直线BN的解析式为y=kx+b，将N2,1，B3,4代入得：解得k=3b=−5∴直线BN的解析式为y=3x−5，当x=0时，y=−5，∴P0,−5故选：A．【变式3】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A2,4与点Bm,n关于y轴对称，则m+n的值为（A．6 B．−6 C．2 D．−2【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数求出m、n的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵点A2,4与点Bm,n关于∴m=−2,n=4，∴m+n=−2+4=2，故选C．考点7：坐标系中的轴对称作图典例7：（2024上·河北廊坊·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A0,1，B2,0，(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；(2)△ABC的面积是______；(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【答案】(1)图见详解；(2)4；(3)P点坐标为−6,0或10,0；【分析】本题考查了作轴对称图形及格点三角形面积问题：（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；（3）设P点坐标为t,0，利用三角形面积公式得到12×t−2×1=4，然后求出【详解】（1）解：由题意可得，如图，△ABC和△DEF为所作，（2）解：由题意可得，S=4×3−1故答案为：4；（3）解：设P点坐标为t,0，∵△ABP的面积为4，∴12解得：t=−6或10，∴P点坐标为−6,0或10,0．【变式1】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1，1，B(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B(2)在x轴上存在一点P，使点P到A、B两点的距离之和最小，请直接写出P点的坐标．【答案】(1)作图见解析，B(2)P【分析】本题考查了作图，轴对称变换，求一次函数解析式，掌握轴对称变换的定义和性质，是解答本题的关键．（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接，得到答案．（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点P，设BA′所在直线的函数解析式为y=kx+b，由A′1,−1，B4,2，得到【详解】（1）解：根据题意，作图如下：∴△A由图像得：B1的坐标为−4,2（2）如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x∴A′1,−1，由两点之间线段最短得：当点A′，P，B共线时，P设BA′所在直线的函数解析式为将A′1,−1，k+b=−14k+b=2解得k=1b=−2∴BA′所在直线的函数解析式为当y=0时，x=2，即点P的坐标为2,0．【变式2】（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A−1,5，B−1,0，(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（其中A1，B1，(2)直接写出A1，B1，A1(_____，_____)，B1(_____，_____)，(3)△ABC的面积=________．【答案】(1)见详解(2)1，5；1，0；4，3(3)15【分析】本题考查了作图形的轴对称的图形，点的坐标，三角形的面积；（1）根据轴对称的性质作图即可求解；（2）根据（1）中的图，写出坐标即可求解；（3）根据三角形面积公式即可求解；掌握轴对称性质，能根据轴对称性质作图是解题的关键．【详解】（1）解：如图∴△A（2）解：由（1）图得A11,5，B故答案：1，5；1，0；4，3；（3）解：由题意得S=15故答案：152【变式3】（2024上·湖北鄂州·八年级统考期末）在如图所示的6×6的网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上．(1)探究一：如图1，作出△ABC关于直线m对称的△A(2)探究二：如图2，在直线m上作一点P，使△ACP的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；(3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点△ABC边AC上的高BE．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查做出轴对称图形，全等三角形判定及性质．（1）根据点坐标到直线m的距离即可得出△A（2）作点A关于直线m对称点A″，连接A″C，交m（3）延长AC交BF于点E，则BE即为所求，再利用全等三角形判定及性质即可求出．【详解】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出△ABC关于直线m对称的△A（2）作点A关于直线m对称点A″，连接A″C，交m则△ACP的周长=AC+CP+PA=AC+PC+P∴点P即为所求；（3）解：延长AC交BF于点E，则BE即为所求，如图所示：∵∠ADC=∠BGF=90∘．AD=BG=3，∴△ACD≌△BFGSAS∴∠CAD=∠FBG，∵∠BCE=∠ACD，∴∠BEC=∠ADC=90∴BE⊥AC．BE即为所求△ABC边上的高．考点8：利用轴对称求最值典例8：（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，P是长方形ABCD内部的动点，AB=4，BC=8，△PBC的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和PB＋PC的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】先根据三角形的面积求出△PBC中BC边上的高，过P作BC的平行线l，找点B关于直线l的对称点B′，推出PB+PC的最小值即为B【详解】解：设△PBC中BC边上的高是ℎ．∵S△PBC=12∴12∴ℎ=3，∴动点P在与BC平行且与BC的距离是3的直线l上，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P′，连接则PB+PC=PB∴PB+PC的最小值就是B′∵B与B′关于直线l∴BB∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵BC=8，B′B=6，∴B′C=B故选：C．【点睛】本题考查轴对称−最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键．【变式1】（2023上·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=9，BD是△ABC的角平分线，点P、点N分别是线段BD和边AC上的动点，点M在边BC上，且BM=2，则PM+PN的最小值是（

）A．3 B．23 C．3 D．【答案】D【分析】本题主要考查了最短路线问题，作点M关于BD的对称点M′连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=2，当N，P，M【详解】如图所示，作点M关于BD的对称点M′连接则PM′=PM∴PN+PM=PN+PM当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+P在Rt△AM′∴M′∴PM+PN的最小值为3.5，故选：D．【变式2】（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形ABCD的边长为4，且∠A=60°,DE⊥BC于点E,P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（

）A．3+1 B．27+2 C．2【答案】B【分析】首先确定出△PCE的周长的最小值就是PE+PC的最小值+2，然后利用将军饮马问题的模型构造出△PCE的周长的最小值AE，再利用勾股定理求出AE，进而解决问题．【详解】解：连接AE交BD于点P，连接AC，PC，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°,∴对角线BD所在直线是其一条对称轴，点A，点C关于直线BD对称，△ABD与△CBD是等边三角形，∴PC=PA，∵DE⊥BC，∵E是BC的中点，∴EC=EB=2，∵△PCE的周长=PC+PE+EC=PA+PE+2，∴要求△PCE的周长的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，而PA+PE的最小值就是AE的长，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵∠DAB=60°，在Rt△BEFBF=BE⋅cos60°=1，在Rt△AEF∵AF=AB+BF=4+1=1，EF=3∴AE=A∴△PCE的周长的最小值为27故选：B．【点睛】本题考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．【变式3】（2023上·山东临沂·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（

A．1.2 B．2.4 C．2 D．2.5【答案】B【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C【详解】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q′关于AD∴点Q′在AB上，PC+PQ=PC+P∵AC=3，BC=4，AB=5，∴12∴CH=2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值为2.4．故选：B．考点9：轴对称的综合问题典例9：（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC，AB=8，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=5，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上的一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的直最小时，求【答案】11【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，由轴对称的性质可得PE′=PE，CE′=CE，则当P、E′、F三点共线且【详解】解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接P由轴对称的性质可得PE′=PE∴EP+PF=PE∴当P、E′、F三点共线且E′F⊥AB∵CD⊥BC，∴B、C、E∵在等边三角形ABC中，AB=8，∴∠B=60°，∴∠E∴CE∴BE∴BF=1【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点都在格点上．(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C(2)在y轴上找点D，使得AD+BD的值最小，并直接写出点D的坐标；(3)直接写出△ABC的面积．【答案】(1)图形见解析(2)点D的位置见解析，D(3)5【分析】本题考查了作图中轴对称变换，最短路径问题，理解几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的是解题的关键．（1）根据关于y轴对称的点坐标的特征得到A1−2,4，B1（2）连接A1B交y轴于点D，根据题意可得当A1、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，然后设直线A1B（3）利用三角形所在的矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．【详解】（1）根据题意得：A(2，4)，B(1∵△A1B1C∴A1−2,4，B画出图形，如下图所示：（2）连接A1∵A(2，4)与∴A∴AD+BD=A即A1、D、B三点共线时，AD+BD设直线A1B的解析式为把A1−2,4，−2k+b=4∴直线A1B的解析式为当x=0时，y=2，∴当AD+BD的值最小时，点D（3）由A(2，4)，B(1，即SS【