七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）专题06 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型（原卷版）

专题06三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①；②。条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=（∠A+∠C）。条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD；结论：∠O=（∠D-∠B）。飞镖模型结论的常用证明方法：例1．（2023·山西晋城·七年级校联考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．“智慧小组”通过互学证明了这个结论：方法一：如图2，连接，则在中，，即，又：在中，，∴，即．“创新小组”想出了另外一种方法方法二：如图3，连接并延长至F，∵和分别是和的一个外角，…………任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______；(2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．例2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则．例3．（2022秋·广西八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（

）A． B． C． D．例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D.求证：（1）；（2）.例5．（2023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决．（1）请你在横线上补全小明的探究过程：∵，（______）∴，（等式性质）∵，∴，∴．（______）（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题：①如图①，在凹四边形中，，，求______；②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______；④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______；⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数．模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型图1图21）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。图3图43）角内翻模型:如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是．（填序号）例2．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（

）A． B． C． D．例3．（2023·江苏泰州·七年级校考期中）在△ABC中，∠B＝33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1—∠2的度数是例4．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．

(1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系．例5．（2022·江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°．(1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点．由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．(2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°;②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°．(3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP=_____°；②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系；③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：．例6．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______；（2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________；（3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数；（4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？

课后专项训练1．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠24．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠35．（2023·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，，，，则（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（）A．50° B．118° C．100° D．90°8．（2022秋·八年级课时练习）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则的度数为（

）A． B． C． D．9．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是度．10．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）在中，，，将、按照如图所示折叠，若，则°11．（2023·广东·八年级校考阶段练习）（1）如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），当∠A＝60°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系，并证明你的猜想．12．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在中，，点在上，过点的一条直线与直线、分别交于点、．(1)如图1，，则______°．(2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出、、之间的数量关系______．

13．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”，(1)如图①，在规形中，若，，，则______°；(2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°；(3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．14．（2023·四川达州·中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则度15.（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）.(1)如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝°．(2)利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．16．（2023·江苏·七年级假期作业）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．在中，．（1）设、的平分线交于点O，求的度数；（2）设的外角、的平分线交于点，求的度数；（3）与有