七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（原卷版）

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（）A． B． C． D．例3．（2023下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°例4．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知，，，若，则为（

）A．23° B．33° C．44° D．46°例5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是．例6．（2023下·湖北恩施·七年级统考期中）如图，若，，且，，则．例7．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，已知，，写出x，y，z的关系式．

例8．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明.例9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接．(1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：；(2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；(3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数．课后专项训练1．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数是（）

A． B． C． D．2．（2023下·江苏镇江·七年级统考期末）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（

）

A． B． C． D．3．（2023下·安徽马鞍山·七年级校考期末）如图，直线，，则（

）

A． B． C． D．4．（2022下·广东七年级期中）如图，，，是的平分线，三点在一条直线上，则的度数为（）

A． B． C． D．5．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）

A．个 B．个 C．个 D．个6．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，直线，用含的式子表示，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值；其中结论正确的有（

）

A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④8．（2022下·湖北省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向，则．

9．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数等于．

10．（2023下·江苏连云港·七年级统考期末）如图，，将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在a、b上．若，则等于°．

11．（2023下·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3=度．12．（2023下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为．13．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，直线a，b过等边三角形的顶点A和C，且，，则．

14．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线，，则．

15．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知，，记，则m的值为．

16．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：证明：过点，作，如图2∴______（_________________）∵，_______=（已知）∴（___________）∴______=_______∴_____（________________）∵∴17．（2023下·江苏·七年级校考周测）如图，，，求的度数．18．（2023·江苏·九年级专题练习）在图中，，与又有何关系？19．（2023·江苏七年级月考）如图所示，.求证：20．（2022下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么______；只要直接填上正确结论即可（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么______用含的式子表示21．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）已知在四边形中，，点是线段上一点．

(1)如图①，求证：；(2)如图②，若平分，．①请动动你聪明的头脑，你会发现：______；②如图③，若的平分线与的延长线交于点，与交于点，且，求的度数．22．（2023下·江苏镇江·七年级统考期末）如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．（1）=；（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求的度数；（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若，，且