2025届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市郊联体2025届高三上学期期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知，，所以，所以复数的虚部为，故选：A3.若数列为等比数列，则“”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】若数列的公比为，由，故，若，则，故充分性不成立；由得，则，所以，当且仅当，即时取等号，故必要性成立；因此“”是“”的必要不充分条件.故选：D.4.设等差数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（）A.2或 B.2 C. D.【答案】C【解析】因为函数在时取得极值，所以，而，故有，解得或，当时，，故，令，，令，，得到在上单调递增，在上单调递减，所以在函数在时取得极小值，符合题意，由等差中项性质得，当时，，故，即在上单调递增，所以此时函数无极值，不符合题意，故排除，综上，的值是，故C正确.故选：C5.在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，在上取点，使，连接，则，故，又，故，因为平面，平面，所以，又，平面，故平面，又平面，故，在上取点，使，同理可证，又，平面，则平面，设平面与棱交于点，连接，则平面平面，又平面平面，由平面平面，则，同理可证，故四边形为平行四边形，则四点共面，在平面内，在棱上取点，使，连接，则，，则四边形是平行四边形，则，所以，又，所以四边形是平行四边形，则，则为的中点，由，可得，则四边形为菱形，且平面，由，则点在过点且与垂直的平面内，即平面内，又点是该正四棱柱表面上的一动点，故点的运动轨迹即为菱形，且该菱形的周长为.故选：B.6.已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由题知，函数的周期满足，解得，所以，由图象与轴的交点为得，因为，所以，即，所以，图象与轴的交点为，因为，所以，解得（负舍），所以，所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，所以.故选：D7.已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为奇函数，则，且函数的图象关于0,1中心对称，即，因为为偶函数，所以，则，所以，，所以，故的周期为，因为，所以，故选：B.8.已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】设，又，所以在0,+∞单调递增，当时，；当时，，由图象开口向上，，可知方程gx=0有一正根一负根，即函数在0,+∞有且仅有一个零点，且为异号零点；由题意知，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是8，故选：C二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列说法，正确的有（）.A.已知，，则向量在向量上的投影向量是B.函数，图象向左平移后所得的函数为奇函数.C.已知，则D.在中，若，则为等腰三角形【答案】ACD【解析】对于A：向量在向量上投影向量，故A正确；对于B：函数，图象向左平移后所得的函数为，不是奇函数，故B不正确；对于C：，C正确；对于D：，向量与的角平分线共线，所以的角平分线与垂直，所以为等腰三角形，D正确.故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.函数在区间的最小值为B.函数的图象关于点中心对称C.已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为D.若恒成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A：，，则，当时f'x<0，当时f'x所以在上单调递减，在上单调递增，所以在取得极小值，即最小值，即，故A正确；对于B：因为，则，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C：因为时，都有成立，即时，都有成立，即时，都有成立，令，则，则在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为，故C错误；对于D：当时，不等式在上恒成立不会成立，故，当时，，此时不等式恒成立；不等式在上恒成立,即在上恒成立,而即，设，当x>1时，，故是增函数，则即，故，设，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，则，综上可得，实数的取值范围是，故D正确.故选：ABD11.在边长为的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.三棱锥外接球表面积为C.当在线段上运动时，的最小值为D.若为正方体表面上的一个动点，、分别为的三等分点，则的最小值为【答案】AC【解析】正方体易得，取CD中点，连接，．由于是中点，因此，所以，所以是与所成角或其补角，在中，，，所以，故A对；分别取的中点为、、，连接、、、，所以长方体的外接球即是三棱锥外接球，所以长方体的体对角线即是三棱锥外接球的直径，又，所以三棱锥外接球表面积为，故B错；由对称性可知，故，因为，所以四点共面，故，当为与交点时，等号成立，故C正确，设点关于平面对称点为，则，，显然，又，所以，，，故D错；故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列其前项和为，则______.【答案】5000【解析】由题意.故答案为：5000.13.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为______.【答案】【解析】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，设底边边长，高，则，又正四棱柱的侧面积，正四棱锥的侧面积，则，解得，所以正四棱锥体积，故答案为：.14.已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为______.【答案】2【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，过A作于M，因为，，所以，，所以.不妨设，则，所以，，所以当时，取得最小值2.三、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．解：（1）由及正弦定理得，故，在中，，，所以，可得，而，故即.（2）由正弦定理的得，，因为，则，所以，因为为锐角三角形，则，，，故，所以周长的取值范围.16.已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，解得，因①，当时，②，①②得，，即，则，即，，又.所以是以为首项，为公比的等比数列，可得，即；（2）由（1）可得：，令，所以.17.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，在区间上，若对于任意两个自变量的值都有，求实数的范围.解：（1）由，得，所以，即在处的切线斜率为，又，即切点为0,3，所以曲线y=fx在处的切线方程为，即.（2）由（1）可得，，因为，所以，所以当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以的最小值.又，，所以，从而的最大值，所以设，则，由，知，所以在上单调递增，因为，，所以的取值范围为所以的范围为.18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（1）证明：取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）解：，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，又，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则P0,0,1，，A1,0,0，，为棱的中点，，（i），，设平面的一个法向量为n=x,y,z则，令，则，，，平面的一个法向量为，，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，设，，则，，由（2）知平面的一个法向量为，，点到平面的距离是,，，.19.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，f″x是的导函数，则曲线在点处的曲率.（1）求曲线在处的曲率的平方；（2）求正弦曲线曲率的平方的最大值.（3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.解：（1）因为，所以，，所以，.（2）由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1.（3）因为，，则.①当时，因为，所以在上单调递减.所以.所以在上无零点.②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，且.所以.设，，，,所以φx在上单调递减，在上单调递增.所以.所以，所以.所以在上存在一个零点.所以在有2个零点.综上所述，在上的零点个数为2.辽宁省沈阳市郊联体2025届高三上学期期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知，，所以，所以复数的虚部为，故选：A3.若数列为等比数列，则“”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】若数列的公比为，由，故，若，则，故充分性不成立；由得，则，所以，当且仅当，即时取等号，故必要性成立；因此“”是“”的必要不充分条件.故选：D.4.设等差数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（）A.2或 B.2 C. D.【答案】C【解析】因为函数在时取得极值，所以，而，故有，解得或，当时，，故，令，，令，，得到在上单调递增，在上单调递减，所以在函数在时取得极小值，符合题意，由等差中项性质得，当时，，故，即在上单调递增，所以此时函数无极值，不符合题意，故排除，综上，的值是，故C正确.故选：C5.在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，在上取点，使，连接，则，故，又，故，因为平面，平面，所以，又，平面，故平面，又平面，故，在上取点，使，同理可证，又，平面，则平面，设平面与棱交于点，连接，则平面平面，又平面平面，由平面平面，则，同理可证，故四边形为平行四边形，则四点共面，在平面内，在棱上取点，使，连接，则，，则四边形是平行四边形，则，所以，又，所以四边形是平行四边形，则，则为的中点，由，可得，则四边形为菱形，且平面，由，则点在过点且与垂直的平面内，即平面内，又点是该正四棱柱表面上的一动点，故点的运动轨迹即为菱形，且该菱形的周长为.故选：B.6.已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由题知，函数的周期满足，解得，所以，由图象与轴的交点为得，因为，所以，即，所以，图象与轴的交点为，因为，所以，解得（负舍），所以，所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，所以.故选：D7.已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为奇函数，则，且函数的图象关于0,1中心对称，即，因为为偶函数，所以，则，所以，，所以，故的周期为，因为，所以，故选：B.8.已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】设，又，所以在0,+∞单调递增，当时，；当时，，由图象开口向上，，可知方程gx=0有一正根一负根，即函数在0,+∞有且仅有一个零点，且为异号零点；由题意知，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是8，故选：C二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列说法，正确的有（）.A.已知，，则向量在向量上的投影向量是B.函数，图象向左平移后所得的函数为奇函数.C.已知，则D.在中，若，则为等腰三角形【答案】ACD【解析】对于A：向量在向量上投影向量，故A正确；对于B：函数，图象向左平移后所得的函数为，不是奇函数，故B不正确；对于C：，C正确；对于D：，向量与的角平分线共线，所以的角平分线与垂直，所以为等腰三角形，D正确.故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.函数在区间的最小值为B.函数的图象关于点中心对称C.已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为D.若恒成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A：，，则，当时f'x<0，当时f'x所以在上单调递减，在上单调递增，所以在取得极小值，即最小值，即，故A正确；对于B：因为，则，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C：因为时，都有成立，即时，都有成立，即时，都有成立，令，则，则在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为，故C错误；对于D：当时，不等式在上恒成立不会成立，故，当时，，此时不等式恒成立；不等式在上恒成立,即在上恒成立,而即，设，当x>1时，，故是增函数，则即，故，设，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，则，综上可得，实数的取值范围是，故D正确.故选：ABD11.在边长为的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.三棱锥外接球表面积为C.当在线段上运动时，的最小值为D.若为正方体表面上的一个动点，、分别为的三等分点，则的最小值为【答案】AC【解析】正方体易得，取CD中点，连接，．由于是中点，因此，所以，所以是与所成角或其补角，在中，，，所以，故A对；分别取的中点为、、，连接、、、，所以长方体的外接球即是三棱锥外接球，所以长方体的体对角线即是三棱锥外接球的直径，又，所以三棱锥外接球表面积为，故B错；由对称性可知，故，因为，所以四点共面，故，当为与交点时，等号成立，故C正确，设点关于平面对称点为，则，，显然，又，所以，，，故D错；故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列其前项和为，则______.【答案】5000【解析】由题意.故答案为：5000.13.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为______.【答案】【解析】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，设底边边长，高，则，又正四棱柱的侧面积，正四棱锥的侧面积，则，解得，所以正四棱锥体积，故答案为：.14.已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为______.【答案】2【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，过A作于M，因为，，所以，，所以.不妨设，则，所以，，所以当时，取得最小值2.三、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．解：（1）由及正弦定理得，故，在中，，，所以，可得，而，故即.（2）由正弦定理的得，，因为，则，所以，因为为锐角三角形，则，，，故，所以周长的取值范围.16.已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，解得，因①，当时，②，①②得，，即，则，即，，又.所以是以为首项，为公比的等比数列，可得，即；（2）由（1）可得：，令，所以.17.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，在区间上，若对于任意两个自变量的值都有，求实数的范围.解：（1）由，得，所以，即在处的切线斜率为，又，即切点为0,3，所以曲线y=fx在处的切线方程为，即.（2）由（1）可得，，因为，所以，所以当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增