《FIR数字滤波器的设计及应用研究》8300字

FIR数字滤波器的设计及应用研究摘要：信号是当今世界信息传输的重要载体，在信号传输过程中，难免会引入一些其他无用的信号成分，电子信息可快速发展使得信号的使用越来越频繁，信息量越来越大，所以滤波技术成为了解决这一问题的关键核心。本文首先介绍了滤波器的分类及其对比，并且详细比较了FIR数字滤波器与IIR高通滤波器的不同。详细阐述了FIR数字滤波器的两个线性相位条件，在对比不同的设计方法之后，选择基于频率采样法，通过MATLAB设计出课题需要的FIR数字高通滤波器。通过MATLAB仿真工具得出不同情况下FIR数字高通滤波器的幅值图和相位图，通过不同过渡点下的幅值图的差异对比，最终得出满足课题要求的设计结果。关键词：FIR数字高通滤波器频率采样法线性相位目录TOC\o"1-3"\h\u27832摘要 第一章绪论1.1数字滤波器研究现状在经济文化、科学技术不断进步的今天，人们的生活和工作毋庸置疑的在技术的发展中发生着潜移默化的变化，而几乎这一切都能够归因与电子信息技术的发展。这一大进步无疑时新时代新技术的快速发展带来的结果，让人们整个生活有了前所未有的变化。新的变化必将激发出人们心底的好奇心，人们自然对新的技术、新的事物表达出了强烈的欲望；生活节奏也在技术发展中不断加快，更加高效快捷的生活方式也成为了人们的直接诉求，这些日益增多的生活发展要求在不断的为技术发展提出新的难题，在这一机遇下，电子科学技术找到了一条前景光明的发展道路。当今时代，信息无处不在，随着互联网的飞速向前发展，信息的数量，质量，容量都直线上升，信号作为信息的传输载体，肩上的担子越来越重了，信息的快速传输，自然引起信号传输的错综复杂，在这一过程中难免会引入一些干扰因素，一些不利于信号传输的其他信号成分，因此，在进行信号处理前对信号进行滤波处理显得格外重要，这时就到了滤波器发挥作用的时候，因此滤波器的设计和不断更新完善对当今发展起着举足轻重的作用。本课题研究的滤波器就十分具有意义。目前，数字信号处理的技术已经几乎涉及到所有的行业之中，而数字信号处理技术一个重大的贡献就是指引了数字滤波器的研究方向，从上世纪的50年代开始，滤波器开始成为人们的热议话题，60年代快速傅里叶变换的发明让数字信号处理实现了里程碑式的跨越，紧接着就出现了许多经典的滤波器设计方法，随着时间的推移和发展，滤波器已经成为前沿科学，有着非常广阔的研究应用前景[[]Y.C.Lim﹒Frequency-responsemaskingapproachforthesynthesisofsharplinearphasedigitalfilters[J]﹒IEEETransactionsonCircuitsandSystems，1986.[]Y.C.Lim﹒Frequency-responsemaskingapproachforthesynthesisofsharplinearphasedigitalfilters[J]﹒IEEETransactionsonCircuitsandSystems，1986.[]Y.C.Lim,Y.Lian﹒Theoptimumdesignofone-and-two-dimenslonalFIRfiltersusingthefrequencyresponsemaskingtechnique[J]﹒IEEETrans﹒CircuitsSyst,，1993.[]Y.Lian﹒Amodifiedfrequency-responsemaskingstructureforhigh-speedFPGAimplementaionofsharpFIRfilters[J]﹒JournalofCircuits,SystemsandComputers,，2003.1.2本文的主要研究工作本文的课题为：设计一个满足线性相位条件的滤波器（FIR数字高通滤波器），边界频率为ωc=0.8π，N=64本课题通过频率采样法设计FIR数字高通滤波器，并对其进行优化，以达到生活应用需要，从中掌握设计方法和技巧。1.3论文结构本来论文分为五部分，从不同方面介绍此次设计过程：第一章：绪论，首先介绍了滤波器的发展历史和在对当前世界的研究意义，第二部分阐述了本课题的工作及要求。第二章：数字滤波器基本知识及其相关理论的阐述，第一部分主要介绍滤波器的两大分类，并对他们进行比较；第二部分用来介绍数字滤波器的分类；第三部分重点对IIR和FIR滤波器进行比较；第四部分展示了FIR滤波器的线性相位条件。第三章：数字滤波器的MATLAB仿真前期设计工作，本章介绍了不同的FIR数字高通滤波器设计方法，并对他们进行了优缺点的比较，描述了采用频率采样法设计FIR数字高通滤波器的设计步骤和实现方法，最后还对不同优化下的实验结果进行了对比，得出了频率采样法的优点与缺点。1.4本章小结本章主要介绍了数字滤波器的发展研究现状和前景，介绍了本文的研究课题内容，以及对本篇文章的整体架构做出了概括。

第二章数字滤波技术滤波器的主要工作就是在时域或者在频域上对输入的信号进行预设的处理，使得输入信号和输出信号满足生产、工程的需要，以达到最好的效果。滤波器在实质上，是通过对信号进行某些数学上的变换，让信号的内在成分变得与之前不同[[]邓重一[]邓重一﹒滤波器的过去、现在与未来[J]﹒世界电子元器件，2001，(4)：48-19．2.1模拟滤波器与数字滤波器滤波器的分类有很多种方法，其中最常见的就是根据它本身所需要处理的信号类型进行分类，这样子可以把它分为我们常常说的模拟滤波器和数字滤波器两种，模拟和数字时相中完全不同的东西，因此其两者的工作原理也是完全不同的，这就导致它们在形式上就有着较大的差异。模拟滤波器的实现，主要是运用各种模拟原件搭建而成的；数字滤波器则能够通过先进的软件编程，或者是高新数字芯片来实现。目前，想要快速从信号中提取到对我们有用的信息，数字滤波器是我们的不二之选，数字滤波器的工作方式就是运用某些特定的手段将输入信号转变为人们所需要的信号序列。数字滤波器具有许多模拟滤波器不具备的优点：精度高，模拟滤波器因为是采用电容、电感这些模拟原件搭建而成的，这导致其再精度方面远远低于数字滤波器，在当前的高精密应用方面，数字滤波器的地位是无法取代的。灵活度高，可程控改变特性或复用，数字滤波器的性能主要由其中乘法器的各项系数来决定，而这些系数是以数据的形式储存在存储空间中的，这些数据可以随时进行修改，从而获得不同的滤波系统，因此数字滤波器具有很大的灵活性。可靠性高，众所周知，数字系统只有“高低”两个电平，即“0”和“1”，它受环境的影响非常有限，性能十分稳定，可以在复杂恶劣环境下工作，而模拟滤波器的各个器件，都特别容易受到工作环境周围的温度、器件所在位置的湿度、振动是否剧烈等外界因素的干扰，故障率高，可靠性无法与数字滤波器相比。可实现大规模集成，现在的数字元器件都已经做到了高度规范化，便于大规模的组装集成，以实现更强大的功能，满足更高的需求，数字滤波器在器件总体积、总重量，综合性能方面的性能已经完全领先[[]吴镇扬﹒数字信号处理﹒第三版﹒高等教育出版社，2004.,[]吴镇扬﹒数字信号处理﹒第三版﹒高等教育出版社，2004.[]程佩青﹒数字信号处理教程(第二版)[M]﹒北京:清华大学出版社，2001.2.2数字滤波器的分类数字滤波器是多种多样的，主要可以分为，①：传统数字滤波器、②：现代数字滤波器。当出现输入信号的有效频率与干扰频率频带互不重叠的情况时，类似选频滤波器就会派上用场；当出现频率与干扰频率频带出现重叠这种情况时，则可以选择运用现代滤波器，任何随机信号的内部都存在一定的规律，而现代滤波器正是利用了这一规律，从输入信号中有效地提取有用信号，因而它相较于传统滤波器有其独特的优点[[][]王赟松﹒FIR数字滤波器设计﹒西安电子科技大学﹒2012.不同滤波器的功能不用，可以将数字滤波器分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。如若根据不同数字滤波器的具有不同网络结构来对数字滤波器进行分类划分，则可以分为递归型和非递归型两类数字滤波器。除此之外还有一种十分重要的分类方法，即根据单位脉冲响应的长度不同区分，可以将其分为无限冲击响应(IIR)数字滤波器和有限脉冲响应(FIR)数字滤波器[[]陈后金等.数字信号处理.北京：高等教育出版社，2004.7.][]陈后金等.数字信号处理.北京：高等教育出版社，2004.7.2.3IIR数字滤波器和FIR数字滤波器上文中已经提到，数字滤波器常常被分为IIR和FIR数字滤波器。IIR数字滤波器的系统函数可以表示为： (2-1)上式描述了一个阶数为N的IIR数字滤波器，从上式我们不难看出，IIR数字滤波器由极点存在于Z平面上，所以其在结构上存在由输出端发出，作用于输入端的反馈环节。FIR滤波器的系统函数为： (2-2)上式描述了一个阶数为的FIR数字滤波器，从上式我们不难看出，FIR数字滤波器是一种因果系统，它的极点全部位于处，因此不存在由输出端发出，作用于输入端的反馈环节[[]阎毅，黄联芬等﹒数字信号处理[M]﹒北京：北京大学出版社，2006.[]阎毅，黄联芬等﹒数字信号处理[M]﹒北京：北京大学出版社，2006.下面我们对IIR和FIR数字滤波器进行一些方面的比较，首先从设计方法的角度：FIR数字滤波器设计没有可以简单利用的公式，需要借助计算机，通过软件编译才可以完成；而在IIR数字滤波器设计时，则能够通过利用AF得出的的成果，能够非常简单、直接、有效的完成设计工作；在稳定性方面，从表达式中可以看出FIR数字滤波器的极点全部位于处，即原点处，这就使得其永远都是稳定的，不会存在稳定性问题，但是IIR数字滤波器是无法保证永远稳定的，因此还需要解决稳定性问题；在运算方面，FIR数字滤波器没有反馈环节，因此运算简单，运算误差非常小，但是IIR有反馈环节的存在，在运算中，经常使用四舍五入的计算手法，因此运算误差较大；FIR能够通过快速傅里叶变换（FFT）来完成快速运算，减少运算量，而IIR则没有快速运算的方法。综上所述，FIR滤波器有着IIR滤波器无法比拟的两大优点：第一，FIR总是稳定的，总是可实现的。第二，在满足某些特定的对称条件下，能够满足严格的线性相位，而IIR想要实现线性相位却非常困难。在工程应用当中，FIR滤波器正式凭借具有线性相位特性着一点，得到了不同领域的广泛认可。2.4线性相位FIR数字滤波器2.4.1线性相位的条件条件的内容：线性相位指的是某个系统的相频特性与频率存在线性关系，即 （2-3）式中的α是一个常数，这表示通过这个系统的各个频率分量的时延是一个常数，并且这和常数是相同的。此时系统的群延时为 （2-4）线性相位FIR滤波器的Z变换为 （2-5）这是的阶多项式，在有限的Z平面上存在个零点，同时存在个极点，其全部都位于Z平面的原点，处。第一类线性相位的充要条件：图2.1N为偶数时的第一类线性相位图图2.2N为奇数时的第一类线性相位图 （2-6） （2-7）只有当对于以上求和区间的中心点呈奇对称时，整个求和式才能等于零。因对呈奇对称，故要求,此时就必须满足关于呈现偶对称。第二类线性相位的充要条件：在满足上述线性相位的基础上，还需要再增加一个额外的附加相位，即，其中为常数。且。此时，群时延依然是一常数，利用类似的关系，就可以得出新的解答为： （2-8） （2-9） （2-10）图2.3N为偶数时的第二类线性相位图图2.4N为奇数时的第二类线性相位图由以上的方程推导，则可以得出以下结论： （2-11）只有当对于以上求和区间的中心点n=N−12呈奇对称时，整个求和式才能等于零。实际应用中常要求除了线性相位，还需要有90°移相作用，所以把β=±π/2。因对n=α呈偶对称，故要求,此时就必须要求h(n)对n=N−12.4.2幅度特性h(n)分别有奇对称、偶对称这两种情况，在此基础上，h(n)的点数N又能够被分为奇数或者偶数这两种情况，因此h(n)一共就存在四种不同的情况。（一）h(n)为偶对称 （2-12）频率响应幅度函数： H(ω)=n=0N−1相位函数： θ(ω)=−N−12h(n)偶对成为第一类线性相位。α=N−12图2.5h(n)偶对称线性相位特性图（二）h(n)奇对称 （2-15）频率响应幅度函数： H(ω)=n=0N−1相位函数： θ(ω)=−N−12h(n)奇对称为第二类线性相位。图2.6h(n)奇对称线性相位特性图h(n)的奇偶性不同，N是奇数或者偶数，共同组合成了四类不同情况：①：h(n)为偶对称，N取奇数：这种情况可作为低通、高通、带通、带阻中的任一种滤波器。②：h(n)为偶对称，N取偶数：低通、带通滤波器可以用此种情况来设计，对设计高通、带阻滤波器的情况不适用。③：h(n)为奇对称，N取奇数：带通滤波器可以用这种情况来设计，其他类型的设计则不适用。④：h(n)为奇对称，N取偶数：仅仅适合用来设计高通、带通滤波器，其他滤波器都不适合设计。2.5本章小结本章节首先列举了不同的滤波器，着重FIR数对字滤波器的概念含义进行了分析讲解。给出了有限脉冲数字滤波器具有线性相位的条件，以及最后介绍了数字滤波器的不同结构以及其对应的特点。为接下来的FIR数字高通滤波器设计提供了理论支持。

第三章FIR数字高通滤波器设计3.1数字滤波器的常用设计方法当前环境下，为了满足工业、设计的需要，人们最常使用三种方法来对最常用且最为基础的线性相位FIR数字滤波器进行设计。设计过程最为简单的是窗函数法，有许多完备、现有的公式理论可以参考运用，窗函数法是一种逼近法，在时域范围内对目标滤波器进行不断逼近来达到设计目的，简洁高效实用，但它也存在明显的缺点，那就是在边界附近的频率不容易控制，精确度难以保证。如果想要在频域内对滤波器直接进行设计，则可以直接选用频率采样法，该方法经典灵活，任何幅度响应的滤波器都可以用它来设计，但是该方法设计时边界频率难以控制。当然，这一缺点可以采取增加采样点的点数N的方式来进行改善和弥补，但与此同时也会增加设计成本，因此，频率采样法用来设计窄带滤波器是非常合适的。除此之外，切比雪夫逼近法也是设计FIR数字滤波器的重要方法之一。从名字就可以看出这是一种逼近法，采用这种方法进行设计够让设计误差在整个频率带中实现均匀的分布，由于误差的均匀分布，其设计出的产物有着非常良好的滤波效果。使用这种方法进行设计时，同等设计指标下，设计出的滤波器阶数是最小的。与此同时，如果设计的阶数要求相同，使用这种方法能够使滤波器的最大误差下降到最小。当过渡带的带宽相同的情况下，与使用窗函数法和频率采样法相比较，切比雪夫逼近法设计出的滤波器拥有更大的阻带衰减、更加平稳的通带。由上述可知，在信号处理中，切比雪夫逼近法是独一无二的，是一种理想的设计方法，缺点是设计过程繁琐复杂[[]张贤达﹒现代数字信号处理[M]﹒北京：清华大学出版社，1984.[]张贤达﹒现代数字信号处理[M]﹒北京：清华大学出版社，1984.[]闫胜利﹒FIR滤波器原理及设计方法[J]﹒长春工程学院学报，2003，4(1)：63-65．3.2应用频率采样法设计FIR数字高通滤波器3.2.1基本思想所设计的FIR数字滤波器的频率特性要满足如下的要求：①能够准确地等于所需要设计的滤波器在某些频率点处的取值、②能够较好的逼近在其他频率点处的期望值。[[][]姜凤红，李方，纪德权﹒基于频率采样法FIR数字滤波器的设计﹒大庆师范学院学报﹒2008. （3-1）其中由到为内插公式。3.2.2设计方法第一步：确定 k=0，1，2，N （3-2）第二步：计算 h(n)=1Nk=0第三步：计算 （3-4）3.2.3约束条件当采样处的采样值满足相应的约束条件时，才能够设计出具有线性相位的滤波器。若FIR滤波器想要具有线性相位，那么它的单位脉冲响应就必须满足，且是一个实数序列，在此约束条件下计算得到的幅频和相频特性，才能满足了设计所需的约束条件。3.2.4设计实现按照课题要求，我们设计过程的目标滤波器是FIR数字高通滤波器，且给定的N为偶数，据此可以判断应该选择奇对称，N为偶数的情况（第二种线性相位，第四类）来进行设计。即，此时的幅值特性、频率特性关于奇对称，，也即奇对称。，，利用的对称性,求区间的频响采样值。由课题要求我们可以知道，在内有个取样点，因而第点对应的频率为： （3-5） （3-6），而截至频率位于和之间，所以，时，取样点的取值为0；𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇时，此时采样点的取样值的绝对值为；因为奇对称的特性，、、、、。故时，取样值的绝对值也为1，因为下一周期，所以区间有个值为的采样点，区间有个值为的采样点。因此： （3-7）将代入内插公式，求： （3-8）式中为： （3-9）因为频率从采样法的特性，这时，每个采样点上的误差都是零。那些在相邻采样点之间的空白位置，则可以通过运用内插函数自动生成，而整个设计的逼近误差也是在此自动生成的过程中引入的，根据误差产生的原因不难看出，误差的大小和响应曲线的走势是息息相关的，响应曲线平滑时，可以实现误差较小；误差大响应曲线陡峭时则误差较大。当响应曲线在不连续点附近的区间内时，会有肩峰、波纹产生的情况出现。如果设计要求N的取值增大，则相应的采样点书会变多、变密，此时的误差误差会有一定程度的减小[[]王婷﹒FIR数字滤波器的设计和研究.上海交通大学硕士学位论文.,[]张洪涛，万红﹒[]王婷﹒FIR数字滤波器的设计和研究.上海交通大学硕士学位论文.[]张洪涛，万红﹒杨述斌﹒数字信号处理[M]﹒武汉：华中科技大学出版社，2007.3.3本章小结在本章中，首先介绍了设计数字滤波器的常用设计方法，对他们的优缺点进行了对比，紧接着，对频率采样法进行了详细的分析，在熟悉设计原理后，结合本课题的要求，对设计方法和约束条件进行了说明，接下来详细介绍了实现过程，这是整个设计过程的核心部分。第四章FIR数字高通滤波器的MATLAB设计实现4.1MATLAB实验结果使用MATLAB软件，调用函数，将题目中所需要的各个参数配置完成，然后通过绘图工具绘制出所设计的高通滤波器幅值相位图。①：无过渡点的情况图4.1无过渡点时FIR数字高通滤波器幅值图图4.2无过渡点时FIR数字高通滤波器相位图②：添加一个过渡点的情况在①的基础上，在过渡带中怎加一个过渡点位。图4.3一个过渡点时FIR数字高通滤波器幅值图图4.4一个过渡点时FIR数字高通滤波器相位图③：添加两个过渡点的情况在①的基础上，在过渡带中增加两个过渡点位。图4.5两个过渡点时FIR数字高通滤波器幅值图图4.6两个过渡点时FIR数字高通滤波器相位图4.2仿真结果分析图4.1、图4.2表示出，此时的过渡带的带宽为一个频率采样的间隔，此时的Rs略微不到20dB。阻带衰减如此之小的滤波器在当下的应用背景和环境下，根本无法满足应用需求，当然也无法满足课题需求。由于初次设计没能达到要求，我们需要寻求增大阻带衰减的方法，我们可以通过在频率响应的间断点附近添加一个或者多个值为之间的过渡点，使得之前不连续的点产生缓慢过度的效果，这一过程能够达到加大过渡带的效果，与此同时，也实现了明显增大阻带衰减的效果。在总的采样点不变的前提下，过渡带的采样值不同直接影响到滤波器的频率特性。如果想要在不增加过渡带宽的基础上更进一步地增加阻带衰减，则可以通过增加采样点数N的方式来实现。从图4.3、图4.4中可以看出，在添加一个过渡点之后，从图中我们可以看出，最小阻带衰减已经从原来的略小于20dB，增加为35dB左右，因此通过增加过渡点来实现高通滤波器功能的优化这一方案是可行的。在添加了两个过渡点之后，可以从图4.5、图4.6中得出，最小阻带衰减明显增大，数字从原来的35bB增大到接近50dB，最小阻带衰减达到50dB已经可以满足日常的绝大部分应用。这也按到了此次设计的最终目的[[]李玉龙，刘桥﹒基于DSP与MATLAB的系数对称的FIR滤波器的实现[J][]李玉龙，刘桥﹒基于DSP与MATLAB的系数对称的FIR滤波器的实现[J]﹒测控与通信，2004(4)：60-64．[]楼顺天，李博菡.基于MATLAB的系统分析与设计-信号处理.西安：西安电子科技大学出版社，1998.4.3仿真设计总结4.3.1频率采样法的优缺点由以上实验结论我们可以总结出。频率采样设计法优点有以下几点：①

理论依据清晰，运用简单方便，可直接在频域范围内进行设计；②

当运用与设计窄带滤波器时，能够达到非常好的效果，此时的频率响应几乎全部都是零值。缺点：此种设计方法设计时，难以控制其截止频率。原因是频率取样的采样点被限制在的整数倍的点上面，因此，此方法存在一大局限性，就是不能够任意指定通带和阻带频率，该方法不够灵活。当然，如果采取将N无上限的加大，也可以使其接近设计说指定的所需，但是增加的计算量和复杂性使得这一方法不再经济高效，因此常常被人们弃用。4.3.2频率采样法设计优化方案在使用此方法设计FIR高通滤波器的过程中，想要达到减小逼近误差的效果，则可以通过增加N来实现此效果。然而随着N的不断增大，Rp和Rs并无明显改善，反而会因为增加滤波器的阶数而增加了运算和成本。通常我们会将一个或者多个过渡采样点插入到频响阶段点附近的区域，这一操作可以使原本并不连续的点展现为缓慢渐变的过渡效果，这样既可以达到控制阻带波纹的目的，同时又降低了阻带衰减[[][]黄婉平﹒自适应粒子群优化算法及其应用研究﹒浙江大学，2006.这种方法是极其有效果的，通过反复的MATLAB仿真模拟，当我们选择加入一个过渡点时，在过渡点的值的情况下，此时的设计为过渡带的优化设计；根据课题要求，N的值取64，此时我们应该选