2024-2025学年上海市徐汇区高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市徐汇区高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题1．经过两点和的直线l的倾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（

）A．4 B． C． D．23．若抛物线的焦点在直线上，则p等于（

）A．8 B．4 C．2 D．14．，分别为直线与上任意一点，则最小值为（

）A． B． C． D．5．若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或6．已知点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（

）A． B． C． D．8．过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（

）

A．2 B． C． D．二、多选题9．下列说法中，正确的有（

）A．直线在y轴上的截距是B．直线经过第一、二、三象限C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为10．已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（

）A．当时，则曲线是一个圆B．当时，则曲线是一个双曲线C．若时，则曲线是焦点为的椭圆D．若曲线是离心率为的椭圆，则11．椭圆的两个焦点分别为，，则下列说法正确的是（

）A．过点的直线与椭圆C交于，两点，则的周长为B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为C．若，为上一点，，则PQ的最小值为D．若上存在点，使得，则的取值范围为三、填空题12．圆：在点处的切线方程为；13．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于.14．如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为.四、解答题15．已知平面直角坐标系中，，，，(1)若直线与直线平行，求m的值；(2)若直线与直线垂直，求m的值.16．求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点(2)椭圆经过点和.17．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2.(1)求p的值；(2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值.18．如图，已知圆的圆心在原点，且与直线相切．(1)求圆的方程；(2)点在直线上，过点引的两条切线，切点为．①求四边形面积的最小值；②求证：直线过定点．19．动点Mx,y到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为.(1)求的方程；(2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.答案：题号12345678910答案BCBACBADABDABC题号11答案CD1．B【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得倾斜角.【详解】由斜率公式得，记直线l的倾斜角为，则，得.故选：B2．C【分析】利用两点距离公式求线段AB的长，即可得半径.【详解】由题意知，，以线段为直径的圆的半径是，故选：C3．B【分析】将焦点坐标代入直线方程可得.【详解】由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得.故选：B4．A【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值.【详解】由，可得两条直线相互平行，所以最小值为平行线之间的距离，可化为，所以，.故选：A5．C【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值.【详解】圆的圆心为，由题意可得，即，解得或.故选：C.6．B【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得.【详解】因为表示到点和的距离之和.又在直线上，关于的对称点为，所以，三点共线时等号成立，所以，所求最小值为.故选：B7．A【分析】根据椭圆面积得出，结合四边形的周长求得，进而得出椭圆方程，得出，设Ax1,y1，根据四边形的面积为即可求解最大面积．【详解】由题可知，，即，由四边形的周长为12得，，即，所以，所以椭圆，则，设Ax1,y1所以四边形的面积为，故选：A．

8．D【分析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率.【详解】由题意得，，渐近线方程为.因为，所以直线的方程为.由得，即，由得，即，所以，，因为，所以，整理得，所以双曲线的离心率.故选：D.9．ABD【分析】运用截距概念判断A；根据斜率和截距可判断B；分情况求出直线方程即可判断C；求出直线方程判断D．【详解】对于A，令x=0，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确；对于B，直线的斜率为，在y轴上的截距为，易知直线经过第一、二、三象限，B正确；对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为y=2x；当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得，此时直线方程为，故C错误；对于D，倾斜角为90°的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.故选：ABD.10．ABC【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D.【详解】A：时，曲线可整理为，即曲线是一个圆，正确；B：时，曲线可整理为，即曲线是一个双曲线，正确；C：时，曲线可整理为，即曲线是焦点为的椭圆，正确；D：由上分析知：若曲线是离心率为的椭圆，则或，可得或，错误.故选：ABC.11．CD【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：因为直线过定点0,1，可知定点0,1在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于C，设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解，对于D：分析可知当P位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解；【详解】由椭圆的定义可得的周长为，但焦点不一定在轴上，故A错误；因为直线过定点0,1，因为直线与恒有公共点，则，即，又因为，且，所以的取值范围为，故B错；若，即椭圆方程为，设，可得，当时，，故C对；若，则，当位于短轴顶点时，最大，此时，可知，即，当时，由，解得，当时，由，解得，综上所述：则的取值范围为，故D对；故选：CD12．【分析】由切线与圆心和切点连线的垂直关系得切线斜率，再由点斜式方程可得答案.【详解】由题意知圆心，，，又过点，所以切线方程为，即，故答案为.13．36【分析】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案.【详解】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求，若焦点在轴上，，不合题意，综上，.故3614．【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程.【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．设，，，则，所以，所以．作轴于点，则．因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，，所以四边形的面积为，解得，故抛物线的方程为.故答案为.15．(1)(2)【分析】（1）根据可求出结果；（2）根据可求出结果.【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以，所以，经检验两直线不重合，所以（2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在，所以，所以，16．(1)(2)【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得；（2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求.【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为，由已知得，又因为，因为在椭圆上，所以，即，从而有，解得或，因此，从而所求椭圆的标准方程为，（2）设椭圆的方程为，因为椭圆经过两点和，所以，即椭圆方程为，17．(1)；(2).【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得；（2）利用韦达定理，结合求解可得.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，因为焦点F到准线的距离为2，所以.（2）由（1）可得抛物线方程为，联立得，因为直线与抛物线C有两个交点，所以，，解得且，设Ax1,得，因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，所以，解得.18．(1)(2)①

,②证明见解析【分析】（1）求出圆心到切线的距离得圆半径，从而得圆标准方程；（2）①由勾股定理求得切线长，由求得四边形面积，由此得当最小时，四边形面积最小，从而得结论；②在以为直径的圆上，设点的坐标,求出以为直径的圆方程，此圆方程与已知圆方程相减公共弦所在直线方程，由直线方程得定点坐标．【详解】（1）依题意得：圆心到直线的距离为半径，∴，∴圆的方程为；（2）①解：连接，因为是圆的两条切线，所以，∴．易知最小值为8，所以；②证明：由①得，在以为直径的圆上，设点的坐标为，，则线段的中点坐标为，∴以为直径的圆方程为，即．因为为两圆的公共弦，所以由相减得直线的方程为，，则直线AB恒过定点2,0．得证19．(1)(2)存在点，使得.【分析】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果.（2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果.【详解】（1）因为动点Mx,y到直线的距离为，动点Mx,y到直线的距离为，所以