2024-2025学年上海市高二上学期第五学程考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市高二上学期第五学程考试数学检测试卷一、填空题1．直线的倾斜角为．2．已知，记事件的对立事件为，则为．3．若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为．4．数据7.0，8.2，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是．5．总体由编号为01，02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为7816

6527

0802

6314

0704

4369

9728

11983204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

74816．在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于．7．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，23，23，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为8．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成个平行四边形．9．中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有种.10．设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为．12．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是．二、单选题13．如果A、B是独立事件，、分别是A、B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（

）A． B．C． D．14．“”是“直线与平行”的（

）A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件15．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A．19 B．20C．21.5 D．2316．在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（）个.A．90 B．85 C．80 D．75三、解答题17．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取．(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率．18．已知直线，(1)求该直线的斜率；(2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程．19．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．(1)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差.20．在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、(1)当的中点为时，求直线的方程；(2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围；(3)求面积的最小值．21．“数”在研究某电动汽车工厂生产中的相关数据发挥了重要作用，设为非零实数，对任意正整数、，且，有如下定义：定义：“数”：；定义：“阶乘”：；定义：“组合数”：．(1)求的值；(2)证明：①；②；(3)已知为正整数，证明：．答案：1．/由直线方程得直线斜率，故直线的倾斜角为.故答案为.2．由对立事件的概率和为1可得，故答案为.3．根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.因为随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，所以有：，即，解得，故4．8.4解：因为，所以第30百分位数是8.4，故8.45．11按照规则要求，所选编号依次为：08，02，14，07，04，11，所以第6个个体编号为：11.故11.6．解：因为的展开式的通项为，所以第4项的系数即是第4项的二项式系数，因为只有第4项的二项式系数最大，所以.故67．2解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：．故答案为238．从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，所以共有个，故1260.9．72①使用3种形状风铃，只能同，同，同.此时共有：种挂法，②使用4种形状风铃，此时有两种情况；1）同，不同：直接将4种风铃挂到四个点上，全排列有：种，2）不同，同：此时与1）相同，共有种，综上，共有24+24+24=72种，故7210．329由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故329．11．作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点，此时的周长最小值，最小值为，故答案为.12．将直线与的方程化为一般式为，，所以到两直线的距离之和为：，所以①.当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；当时，①式变形为：；则动点为如图所示的四边形的边，

的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率.易知，，，，所以的取值范围是，故答案为.13．C因为A、B是独立事件，、分别是A、B的对立事件，所以，，，即ABD一定成立.，即不一定成立.故选：C14．A因为直线的斜率存在，所以要使直线与平行，则，由解得或，当时，此时直线与重合，当时，此时直线与平行，所以“”是“直线与平行”的充要条件.故选：A.15．B试题分析：由题已知茎叶图，读取数据共有12个，中位数为；20,20；则可得：考点：中位数的概念.16．A任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，即个，故选：A.17．(1)；(2)（1）设表示事件“张卡片上数字之和大于”，一次抽取张卡片，共有种可能结果，而事件包含抽取、、和、、，这种可能结果，所以；（2）设表示事件“两次抽取的卡片上数字之和大于”，两次抽取卡片共有种可能结果，而事件只包含两次抽取的卡片均为这种可能结果，所以．18．(1)答案见解析(2)（1）当时，即当时，直线的方程为，此时，直线的斜率不存在；当时，即当时，此时，直线的斜率为.综上所述，当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率为.（2）过点且垂直于直线的直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程可得，解得，因此，所求直线的方程为.19．(1)(2)（1）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为：，，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则，所以；（2）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差为10.20．(1)(2)(3)（1）由题意可设、，且，．当AB的中点为P时，则，解得，，所以、．所以直线AB的方程为，即一般式方程为：．（2）由、，得线段的方程为：，因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则，因此，因为二次函数的开口向上，对称轴方程为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此，当时，有最小值，最小值，当时，有最大值，最大值，故的取值范围是.（3）当过点的直线斜率不存在时，、，此时．当过点的直线斜率存在时，设直线AB的方程为，即．直线AB与