2024-2025学年江西省宜春市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江西省宜春市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．过点且垂直于直线的直线方程为（）A． B．C． D．3．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．14．无论为何值，直线过定点（

）A． B． C． D．5．已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（

）

A．3 B． C． D．7．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．98．已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线，则（

）A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为C．的右焦点坐标为 D．的离心率为10．若圆与圆的交点为A，B，则（

）A．线段AB的垂直平分线的方程为B．线段AB所在直线方程为C．线段AB的长为D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆11．已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（

）A． B．最小值为4C．准线的方程为 D．以为直径的圆恒过定点，三、填空题（本大题共3小题）12．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是.13．已知为坐标原点，抛物线：上一点到焦点的距离为4，设点为抛物线准线上的动点．若为正三角形，则抛物线方程为．14．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线，且，(1)求的值；(2)直线过点与交于，，求直线的方程.16．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.17．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求的面积.18．已知抛物线：的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．19．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】A【详解】解：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则有，解得，所以其倾斜角为．故选：A．2．【正确答案】D【详解】设垂直于直线的直线方程为，又直线过点，所以，解得，故所求直线的方程为.故选：D.3．【正确答案】B【详解】解：由，得，渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点m+1,0，一条渐近线方程为，则焦点m+1,0到渐近线的距离为.故选：B.4．【正确答案】A【详解】由得：，由得∴直线恒过定点.故选：A.5．【正确答案】A【分析】根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知：的周长为，，又因为，所以，又由，知，故，因此椭圆的离心率为.故选：A6．【正确答案】B【详解】设，则，由双曲线的定义得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即，整理得，则，双曲线的渐近线斜率为．故选：B．7．【正确答案】C【详解】

由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，因为点在抛物线上，所以，所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，故选：C.8．【正确答案】C【详解】由题意得曲线，即，可得；当时得到即；当时得到；由以上可得曲线的如图中所示，易知直线与双曲线的一条渐近线平行；把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时；继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．当直线与椭圆的上半部分相切时，联立直线与椭圆的方程代入整理得即或（舍），由图示可得；综上可知.故选：C9．【正确答案】BCD【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为.由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误.由椭圆的标准方程为，得，故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确.椭圆的离心率，故选项D正确．故选：BCD．10．【正确答案】AD【详解】A选项，，圆心，半径为，，圆心，由对称性可知，线段AB的垂直平分线为直线，即，即，A正确；B选项，与相减得，即线段AB的方程为，B错误；C选项，圆心到直线的距离为，故，C错误；D选项，由C选项知，线段AB的长为，而圆的直径为，故在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，D正确.故选：AD11．【正确答案】BCD【详解】把点代入曲线可得，∴，故A错误；抛物线的方程为，把代入可得，∴，可知最小值为4，故B正确；准线的方程为，故C正确；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，联立可得，，，直线的方程为，同理直线的方程为，令，可得，，则以为直径的圆的方程为，整理可得，令，可得或，故圆过定点，．当直线的斜率不存在时，将直线的方程代入抛物线方程可得，，可得，，以点为直径的圆方程，显然过两定点，，选项D正确，故选：BCD．12．【正确答案】【详解】直线经过定点M1,1，如图所示，则，因为直线与连接两点的线段相交，所以由图可知，.故答案为.13．【正确答案】【详解】根据抛物线的对称性，不妨设点在第二象限，因为为正三角形，所以，因为抛物线点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以与准线垂直，，因此有，所以抛物线的方程为，故答案为.14．【正确答案】/【详解】不妨将点置于第一象限.设是双曲线的右焦点，连接.分别为的中点，故.又由双曲线定义得，故.故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，整理得，解得或．当时，，，符合题意，当时，，，与重合，不满足题意．综上，．（2）由（1）得，，所以两直线之间的距离为，而，所以直线与均垂直，由于，所以，故直线方程为16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，联立方程，解得，即圆心，，所以，圆的方程为.（2）因为直线被曲线截得弦长为，则圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式可得，解得.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得解得，.所以椭圆C的方程为.（2）由得，，设点，的坐标分别为，，则，.所以，又因为点到直线的距离，所以的面积为.

18．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知中抛物线：的焦点为，求出值，可求抛物线的标准方程；（2）设出直线、的方程与椭圆方程联立，求出、的坐标，利用斜率公式，即可证明直线的斜率为定值．【详解】（1）抛物线：的焦点为，，解得，故抛物线的标准方程为：；（2）点的横坐标为，即，解得，故点的坐标为，设，，由已知设：，即，代入抛物线的方程得，即，则，故，所以，即，设：，即，同理可得，则，即直线的斜率，所以直线的斜率为定值．19．【正确答案】(1)答案见详解(2)①证明见详解；②存在；【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点，其中且.（ⅰ）由可知三点共线且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点，由题意可知，即，经化简，得的方程为，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．（2）设点，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程为，因为，所以，所以三点共线，且，解法一：设直线的方程为，联立的方程，得，则，由（1）可知，所以，所以为定值1；解法二：设，则有，解得，同理，由，解得，所以，所以为定值1；由椭圆定义，得，因为，所以，解得，同理可得，所以．因为，所以的周长为定值．（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，解法一：设直线的方程为，联立的方程，得