2024-2025学年江西省宜春市高二上学期11月期中考试数学检测试题(附解析)_第1页
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文档简介

2024-2025学年江西省宜春市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题(本大题共8小题)1.直线的倾斜角为(

)A. B. C. D.2.过点且垂直于直线的直线方程为()A. B.C. D.3.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为(

)A. B. C. D.14.无论为何值,直线过定点(

)A. B. C. D.5.已知是椭圆的左、右焦点,经过的直线与椭圆相交于两点,若,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.6.如图所示,点是双曲线的左、右焦点,双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段,则双曲线的渐近线斜率为(

A.3 B. C. D.7.已知抛物线方程为:,焦点为.圆的方程为,设为抛物线上的点,为圆上的一点,则的最小值为(

)A.6 B.7 C.8 D.98.已知直线与曲线仅有三个交点,则实数的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多选题(本大题共3小题)9.已知曲线,则(

)A.的焦点在轴上 B.的短半轴长为C.的右焦点坐标为 D.的离心率为10.若圆与圆的交点为A,B,则(

)A.线段AB的垂直平分线的方程为B.线段AB所在直线方程为C.线段AB的长为D.在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆11.已知抛物线:过点,焦点为,准线为,过点的直线交于,两点,,分别交于,两点,则(

)A. B.最小值为4C.准线的方程为 D.以为直径的圆恒过定点,三、填空题(本大题共3小题)12.已知点,直线与线段相交,则实数的取值范围是.13.已知为坐标原点,抛物线:上一点到焦点的距离为4,设点为抛物线准线上的动点.若为正三角形,则抛物线方程为.14.从双曲线的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若为线段的中点,为坐标原点,则的值是.四、解答题(本大题共5小题)15.已知直线,且,(1)求的值;(2)直线过点与交于,,求直线的方程.16.在平面直角坐标系中,圆经过点和点,且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程;(2)若直线被圆截得弦长为,求实数的值.17.已知椭圆的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点,.(1)求椭圆的方程;(2)当时,求的面积.18.已知抛物线:的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程;(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为,过点作两条倾斜角互补的直线,与曲线的另一个交点分别为,,求证:直线的斜率为定值.19.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数.其中,且,记点的轨迹为曲线.(1)求的方程,并说明轨迹的形状;(2)设点,若曲线上两动点均在轴上方,,且与相交于点.①当时,求证:的值及的周长均为定值;②当时,记的面积为,其内切圆半径为,试探究是否存在常数,使得恒成立?若存在,求(用表示);若不存在,请说明理由.

答案1.【正确答案】A【详解】解:因为直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则有,解得,所以其倾斜角为.故选:A.2.【正确答案】D【详解】设垂直于直线的直线方程为,又直线过点,所以,解得,故所求直线的方程为.故选:D.3.【正确答案】B【详解】解:由,得,渐近线方程为,由双曲线的对称性,不妨取双曲线的右焦点m+1,0,一条渐近线方程为,则焦点m+1,0到渐近线的距离为.故选:B.4.【正确答案】A【详解】由得:,由得∴直线恒过定点.故选:A.5.【正确答案】A【分析】根据椭圆定义求出,根据边长确定,进而求出,即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知:的周长为,,又因为,所以,又由,知,故,因此椭圆的离心率为.故选:A6.【正确答案】B【详解】设,则,由双曲线的定义得,,又由得,即,解得,所以,在直角中,由勾股定理得,即,整理得,则,双曲线的渐近线斜率为.故选:B.7.【正确答案】C【详解】

由抛物线方程为,得到焦点,准线方程为,过点做准线的垂线,垂足为,因为点在抛物线上,所以,所以,当点固定不动时,三点共线,即垂直于准线时和最小,又因为在圆上运动,由圆的方程为得圆心,半径,所以,故选:C.8.【正确答案】C【详解】由题意得曲线,即,可得;当时得到即;当时得到;由以上可得曲线的如图中所示,易知直线与双曲线的一条渐近线平行;把直线向上平移到点时,即与曲线有两个交点,此时;继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点.当直线与椭圆的上半部分相切时,联立直线与椭圆的方程代入整理得即或(舍),由图示可得;综上可知.故选:C9.【正确答案】BCD【详解】设椭圆的长半轴长为,短半轴长为,半焦距为.由题意可得椭圆的标准方程为,所以椭圆的焦点在轴上,故选项A错误.由椭圆的标准方程为,得,故其短半轴长为,右焦点坐标为,故选项B,C正确.椭圆的离心率,故选项D正确.故选:BCD.10.【正确答案】AD【详解】A选项,,圆心,半径为,,圆心,由对称性可知,线段AB的垂直平分线为直线,即,即,A正确;B选项,与相减得,即线段AB的方程为,B错误;C选项,圆心到直线的距离为,故,C错误;D选项,由C选项知,线段AB的长为,而圆的直径为,故在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆,D正确.故选:AD11.【正确答案】BCD【详解】把点代入曲线可得,∴,故A错误;抛物线的方程为,把代入可得,∴,可知最小值为4,故B正确;准线的方程为,故C正确;当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,,,联立可得,,,直线的方程为,同理直线的方程为,令,可得,,则以为直径的圆的方程为,整理可得,令,可得或,故圆过定点,.当直线的斜率不存在时,将直线的方程代入抛物线方程可得,,可得,,以点为直径的圆方程,显然过两定点,,选项D正确,故选:BCD.12.【正确答案】【详解】直线经过定点M1,1,如图所示,则,因为直线与连接两点的线段相交,所以由图可知,.故答案为.13.【正确答案】【详解】根据抛物线的对称性,不妨设点在第二象限,因为为正三角形,所以,因为抛物线点到焦点的距离等于该点到准线的距离,所以与准线垂直,,因此有,所以抛物线的方程为,故答案为.14.【正确答案】/【详解】不妨将点置于第一象限.设是双曲线的右焦点,连接.分别为的中点,故.又由双曲线定义得,故.故15.【正确答案】(1)(2)【详解】(1)因为,所以,整理得,解得或.当时,,,符合题意,当时,,,与重合,不满足题意.综上,.(2)由(1)得,,所以两直线之间的距离为,而,所以直线与均垂直,由于,所以,故直线方程为16.【正确答案】(1)(2)【详解】(1)因为,的中点为,且直线的斜率,则线段的垂直平分线所在直线的方程为,联立方程,解得,即圆心,,所以,圆的方程为.(2)因为直线被曲线截得弦长为,则圆心到直线的距离,由点到直线的距离公式可得,解得.17.【正确答案】(1)(2)【详解】(1)由题意得解得,.所以椭圆C的方程为.(2)由得,,设点,的坐标分别为,,则,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为.

18.【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据已知中抛物线:的焦点为,求出值,可求抛物线的标准方程;(2)设出直线、的方程与椭圆方程联立,求出、的坐标,利用斜率公式,即可证明直线的斜率为定值.【详解】(1)抛物线:的焦点为,,解得,故抛物线的标准方程为:;(2)点的横坐标为,即,解得,故点的坐标为,设,,由已知设:,即,代入抛物线的方程得,即,则,故,所以,即,设:,即,同理可得,则,即直线的斜率,所以直线的斜率为定值.19.【正确答案】(1)答案见详解(2)①证明见详解;②存在;【分析】(1)设,由题意可得,结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解;(2)设点,其中且.(ⅰ)由可知三点共线且,设:,联立的方程,利用韦达定理表示,进而表示出,结合(1)化简计算即可;由椭圆的定义,由得,,进而表示出,化简计算即可;(ii)由(ⅰ)可知三点共线,且,设:,联立的方程,利用韦达定理表示,计算化简可得,结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】(1)设点,由题意可知,即,经化简,得的方程为,当时,曲线是焦点在轴上的椭圆;当时,曲线是焦点在轴上的双曲线.(2)设点,其中且,(ⅰ)由(1)可知的方程为,因为,所以,所以三点共线,且,解法一:设直线的方程为,联立的方程,得,则,由(1)可知,所以,所以为定值1;解法二:设,则有,解得,同理,由,解得,所以,所以为定值1;由椭圆定义,得,因为,所以,解得,同理可得,所以.因为,所以的周长为定值.(ⅱ)当时,曲线的方程为,轨迹为双曲线,根据(ⅰ)的证明,同理可得三点共线,且,解法一:设直线的方程为,联立的方程,得

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