2024-2025学年广东省珠海市高三上学期第三次考试（10月）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省珠海市高三上学期第三次考试（10月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．若，则的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．4．已知向量，，若与垂直，则等于（

）A． B． C．3 D．65．甲､乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲､乙到不同社区的不同安排方案共有（

）A．6种 B．18种 C．36种 D．72种6．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．7．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（

）A． B．． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中，正确的是（

）A．数据的第50百分位数为32B．已知随机变量服从正态分布，；则C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为410．设正实数，满足，则()A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值11．设函数，则下列结论正确的是（

）A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解三、填空题（本大题共3小题）12．的展开式中常数项是．（用数字作答）13．已知随机事件满足，则．14．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，内角的对边分别为，且.(1)求的值；(2)若，证明：为直角三角形.16．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.17．在直三棱柱中，在上，且．

(1)证明：；(2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．18．某校组织知识竞赛，有两类问题．若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分．已知李华同学能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为．(1)若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；(2)若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？19．已知（，且）.(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，求证：在上单调递增；(3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.

答案1．【正确答案】D【详解】集合,,或,故选：2．【正确答案】C【分析】首先化简复数，再根据复数的特征求虚部.【详解】，所以的虚部是.故选C.3．【正确答案】D【详解】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，对于选项A，不是的子集，故A不满足；对于选项B，不是的子集，故B不满足；对于选项C，不是的子集，故C不满足；对于选项D，不是的子集，故D满足.故选：D4．【正确答案】B【详解】，因为与垂直，所以，解得，所以.故选B.5．【正确答案】D【详解】根据题意，分成两步进行分析：第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙不到同一组，有种分组方法，第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况，则共有种不同的安排方法.故选：D6．【正确答案】A【详解】因为底面半径，所以底面周长，又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．故选：A．7．【正确答案】C【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可.【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，则函数和均为增函数，且有，即，解得.故选C.8．【正确答案】D【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.【详解】，，，函数在区间上恰有3个极大值点，故，解得.故选D.9．【正确答案】BC【分析】根据第50百分位数为中位数判断A；根据正态分布的性质判断B；根据回归直线方程的性质判断C；根据方差的性质判断D.【详解】对数据由小到大排列为，因为第50百分位数为中位数，所以第50百分位数为，故A错误；因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以，所以，故B正确；因为，，，则，故C正确；因为样本数据的方差为2，所以数据的方差为，故D错误.故选BC.10．【正确答案】ACD【分析】对于选项A：利用基本不等式中，结合“1”的灵活用法，即可求解；对于选项BCD：使用基本不等式即可求解.【详解】选项A：，取等号时，故A正确；选项B：，取等号时，所以有最大值，故B错误；选项C：，所以，取等号时，故C正确；选项D：由，化简得，，取等号时，故D正确.故选：ACD.11．【正确答案】ABC【详解】因为，.由，设，因为函数定义域为，且，，可知方程一定有实数根，故A正确；由或.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.且为极大值，为极小值.做出函数草图如下：

观察图象可知,方程有唯一正实数解，有唯一负实数解，故BC正确；又，结合函数的单调性，当时，，所以无负实数解.故D错误.故选ABC.12．【正确答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.【详解】由的展开式的通项得：，令，得，故．故答案为.13．【正确答案】【详解】，.故答案为.14．【正确答案】/0.375【详解】由题意可知，，，，……，所以，，，，当时，上式也成立，故，，所以数列，.故15．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由正弦定理和两角和正弦公式的逆运用得到，求出答案；（2）由（1）得到，结合，得到，化简得到，，得到答案.【详解】（1）由，可得，所以，所以，则，即.（2）证明：由（1）可得.又，所以，即，故，所以，即，因为，所以为锐角，解得（负值舍去），即，所以为直角三角形.16．【正确答案】(1)，(2)，.【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．【详解】（1）由，则当时两式相减得，所以.将代入得，，所以对于，故an是首项为2，公比为2的等比数列，所以.（2）.，因为当时，当时，所以当时，，当时，.故.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系：

设，则，，，，.所以，.因为,所以.故.（2）因为梯形的面积：，，所以.所以，，所以.设平面的法向量为，则，取.取平面的法向量为：，设平面与平面所成的二面角为，则，所以.18．【正确答案】(1)(2)选择方案二【分析】（1）利用全概率公式计算即可；（2）利用离散型随机变量的分布列、期望公式一一计算判定两种方案的期望大小即可.【详解】（1）设“选择A类问题”，“选择B类问题”，“选中的问题回答正确”,则，所以．（2）若选方案一：设李华累计得分为X，则X可能取值为0，20，40，50，100，，，，，，则X的分布列为X0204050100P．若选方案二：设李华累计得分为Y，则Y可能取值为0，20，50，70，，，，，则Y的分布列为X0205070P，所以，故选择方案二．19．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）当时，，