2023-2024学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.椭圆x29+yA.(±3,0) B.(0,±3)2.已知⊙C：x2+yA.(−12,1),32 B.(−1,2),3.已知直线l的方向向量为a=(1,2,−2)，平面α的法向量为n=(2,4,m)，若l/​/α，则m等于(

)A.5 B.2 C.12 D.4.经过两点(x1,y1)A.x−x1x2−x1=y−5.在正项等比数列{an}中，a1a13A.12 B.18 C.24 D.366.若光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0,−4)，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为(

)A.y=3x−4 B.y=−3x−47.某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16米高处下落，每次着地后又弹回原来高度的一半再落下，则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为(

)A.31米 B.31.5米 C.47米 D.63米8.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距|O1O2|=6，截面分别与球O1，球O2切于点E，FA.339B.63

C.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.空间直角坐标系中，下列说法正确的是(

)A.点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(−1,2,−3)

B.点Q(1,0,2)在平面xOz面上

C.z=1表示一个与坐标平面xOy平行的平面

D.2x+3y=6表示一条直线10.已知Sn是等比数列{an}的前nA.若a3>0，则a2023>0 B.若a4>0，则a2023<0

C.若a11.已知直线l经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线x=−p2的垂线，垂足依次记为A1，B1，若|AB|A.p=2

B.∠A1FB1为钝角

C.|AB|=|AF|⋅|BF|

D.若点M，N在12.形如f(x)=ax+bx(a>0,b>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数f(x)=x+1A.渐近线方程为x=0和y=x

B.y=f(x)的对称轴方程为y=(2+1)x和y=(1−2)x

C.M，N是函数f(x)图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值

D.Q是函数f(x)图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.抛物线y2=−8x的焦点到准线的距离为______．14.已知圆C1：(x−2)2+(y−1)2=1与圆C2：x15.如图，在正四棱锥P−ABCD中，E，F，G分别为侧棱PB，PC，PD上的点，A，E，F，G四点共面，若PE=35PB，PF=116.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=−1，Sn+1Sn=an+1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆C过两点A(−3,5)，B(1,7)，且圆心在直线x−2y+3=0上．

(1)求圆C的方程；

(2)过点P(4,−4)作直线l与圆C交于M，N两点，若|MN|=8，求直线l的方程．18.(本小题12分)

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an−3n+1，n∈N∗．

(1)设19.(本小题12分)

在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA20.(本小题12分)

如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P21.(本小题12分)

类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O−xyz中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程F(x,y,z)=0．

(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：

①过点P(x0,y0,z0)，法向量为n=(A,B,C)的平面的方程；

②平面的一般方程；

③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程(abc≠0)；(不需要说明理由)

(2)设F1，F2为空间中的两个定点，|F22.(本小题12分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=π3,∠B1BD=π6，∠B1BA=∠B1BC，AB=2

参考答案1.B

2.A

3.A

4.C

5.C

6.A

7.C

8.A

9.BC

10.AC

11.AC

12.ABD

13.4

14.2x+y−4=0

15.3

16.2n17.解：(1)∵A(−3,5)，B(1,7)，∴线段AB的中点D(−1,6)，kAB=7−51−(−3)=12，

可得线段AB的垂直平分线的方程：y−6=−2(x+1)，化为：2x+y−4=0．

联立2x+y−4=0x−2y+3=0，解得圆心C(1,2)．

∴r2=|AC|2=(−3−1)2+(5−2)2=25．

∴圆C的方程为：(x−1)2+(y−2)2=25；

(2)直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=4，

则圆心C到直线l的距离d=3，可得弦长为2r2−d2=8，满足条件；

直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y+4=k(x−4)，即kx−y−4−4k=018.证明：(1)数列{an}中，a1=2，an+1=4an−3n+1，

整理得：an+1−(n+1)=4an−4n=4(an−n)，

由于bn=an−n，

故bn+1bn=4(19.解：(1)AC1=AB+BC+CC1，BA1=BA+AA1，

由条件可知AC1⋅BA120.解：(1)由题意椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12，

过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．

可得4a=8，a=2，

因为ca=12，所以c=1，

而a2=b2+c2，所以b=3，

故椭圆C的方程为：x24+y23=1．

(2)由y=kx+mx24+y23=1，消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0，

∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，∴Δ=(8km)2−4(4k2+3)(4m2−12)=0，21.解：(1)①A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，

②Ax+By+Cz+D=0；

③xa+yb+zc=1；

(2)以两个定点F1，F2的中点为坐标原点O，

以F1，F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，

以与xoy平面垂直的直线为z轴，

建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示，

设F1(0,c,0)，F2(0,−c,0)，

设P的坐标为(x,y,z)，可得|F1F222.解：(I)证法一：连接AC，BD交于O，

因为BC=BA，∠B1BA=∠B1BC，B1B=BB1，

所以△B1BC≌△B1BA，故B ​1A=B1C，

又因为O为菱形对角线交点，即是线段AC的中点，所以B1O⊥AC，

又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，

而B1O∩BD=O，所以AC⊥平面BDB1．

证法二：因为∠B1BA=∠B1BC，

所以点B1在平面ABCD内的射影O在为∠ABC的平分线，

又四边形ABCD为菱形，故BD为∠ABC的平分线，则O∈直线BD，

故平面BDB1⊥平面ABCD，而平面BDB1∩平面ABCD=BD，

又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，

所以AC⊥平面BDB1．

(Ⅱ)解法一：延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P，

平面BDB1即为平面BDP，平面ACC1即平面ACP