清单05 反比例函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）25学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单05反比例函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】反比例函数的概念（1）定义：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②y=kx-1;③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)【清单02】反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.【清单03】反比例函数图像特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．【清单04】反比例函数中系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.（2）常见的面积类型：【清单05】反比例函数与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.

【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

【清单06】反比例函数的实际应用（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.【考点题型一】反比例函数的定义【典例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A．y=x3 B．y=15x C．【答案】B【分析】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概念形如y=kx(k【详解】解：A、y=xB、y=1C、y=1−6D、y=x故选：B．【变式1-1】下列各点在反比例函数y=−4x图象上的是（A．1,4 B．−2,2 C．2,2 D．−2,−2【答案】B【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式可得xy=−4，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】解：∵y=−∴xy=−4A.1×4=4≠−4，该选项错误；B.−2×2=−4，该选项正确；C.2×2=4≠−4，该选项错误；D.−2×−2=4≠−4故答案选：B.【变式1-2】若反比例函数y=kxk≠0经过点1,4A．4 B．2 C．−2 D．−4【答案】A【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．把点1,4代入函数解析式来求k的值即可．【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0∴k=1×4=4．故选：A．【变式1-3】已知函数y=m−2xm−3【答案】−2【分析】本题考查反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，根据m−3=−1【详解】解：∵函数y=m−2∴m−3=−1，且m−2≠0解得m=−2，故答案为：−2．

【考点题型二】反比例函数系数K的几何意义

【典例2】如图，点A在双曲线y1=2x(x>0)上，点B在双曲线y2=kx(x<0)上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接A．−6 B．−8 C．−9 D．−10【答案】D【分析】本题主要考查了考查了反比例函数系数k的几何意义，熟记反比例函数面积与k的关系是解题关键．连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，得到S△ABC=S△AOB，再利用反比例函数系数k的几何意义，得到S△BOM=1【详解】解：如图，连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，∵AB∥x∴AB⊥y轴，S△ABC∵点A在双曲线y1=2xx>0∴S△BOM=∴S∴1解得：k=±10，∵k<0，∴k=−10，故选：D．【变式2-1】如图，点A在反比例函数y1=12x(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2=4x(x>0)的图象于点C，

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】本题考查反比例函数图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．连接OA,OC，利用S△AOC【详解】解：连接OA,OC，

∴点A在反比例函数y1=12x(x>0)的图象上，点C∴S△OAB∴S∵AB⊥x轴，∴AB∥∴S故选：C．【变式2-2】如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=−4x和y=2x的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC【答案】3【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=kx的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所均成的三角形的面积是k2，保持不变．先设P0,b，由直线AB∥x轴，则A,B两点的纵坐标都为b,而A,B分别在反比例函数y=−4x和y=2x的图象上，可得到【详解】解：设P0,b∵直线AB∥∴A,B两点的纵坐标都为b,而点A在反比例函数y=−4∴当y=b即点Ａ的坐标为−4又∵点B在反比例函数y=2∴当y=b∴B点坐标为2b∴AB=2∴S故答案为：3．【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=6x(x>0)和y=kx(x>0)的图象交于P，Q两点，若

【答案】−18【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k【详解】解：∵S△POQ∴1∴|k|=18，而k<0，∴k=−18．故答案为：−18．【考点题型三】反比例函数的图像

【典例3】反比例函数y=k2+4A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限【答案】A【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．根据平方非负性得到k2【详解】解：∵k2∴反比例函数y=k故选：A．【变式3-1】反比例函数y=−5A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、四象限 D．第二、三象限【答案】B【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0，位于一、三象限；k<0，位于二、四象限．【详解】解：∵k=−5<0，∴反比例函数图象位于第二、四象限．故选：B．【变式3-2】反比例函数y=m−1x的图象在第二、第四象限，则m可能取的一个值为（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据反比例函数图象与比例系数的关系进行求解即可．【详解】解：∵反比例函数y=m−1∴m−1<0，∴m<1，∴四个选项中，只有A选项中的0符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=kxk≠0的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y【考点题型四】反比例函数图像的对称性

【典例4】如图，双曲线y=kx与直线y=mx相交于A、B两点，B点坐标为(−2,−3)，则A点坐标为（A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−2,3) D．(2,−3)【答案】B【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：∵点A与B关于原点对称，∴A点的坐标为(2,3)．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．【变式4-1】已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=kA．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）【答案】D【分析】根据反比例函数图象的对称性得到反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点关于原点对称，所以写出点（﹣2，﹣1）关于原点对称的点的坐标即可．【详解】解：∵正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=k而一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），∴它们的另一个交点的坐标是（2，1）．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，掌握反比例函数与正比例函数的交点一定关于原点对称，是解题的关键．【变式4-2】如图，已知直线y=2x与反比例函数y=2x的图象交于M，N两点．若点M的坐标是1,2，则点N的坐标是【答案】（－1，－2）【分析】直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．【详解】解：∵直线y=2x与反比例函数y=2x的图象交于M，∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（-1，-2）．故答案为：（－1，－2）.【点睛】此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．【考点题型五】反比例函数的性质

【典例5-1】关于反比例函数y=−4x，点a,b在它的图像上，下列说法中错误的是（A．当x<0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限C．点b,a和−b,−a都在该图像上 D．当x<−1【答案】D【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、由于k=−4<0，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意；B、由于k=−4<0，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；C、由于点(a,b)在函数y=−4x的图像上，则ab=−4=−a×−b，从而点(b,a)D、当x=−1时，y=4，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当x<−1时，0<y<4，该选项说法错误，符合题意；故选：D．【典例5-2】在反比例函数y=k−2x图象的每一支上，y都随x的增大而增大．则A．k<0 B．k<2 C．k>0 D．k>2【答案】B【分析】根据题意得出k−2<0，解不等式即可求解．【详解】解：∵在反比例函数y=k−2x图象的每一支上，y都随∴k−2<0，∴k<2，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．【典例5-3】若点Ax1,−2,Bx2,1,CxA．x3<x2<x1 B．【答案】D【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据题意，反比例函数的比例系数k<0，图像在每个象限，函数值随自变量的增大而增大，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质，增减性比较自变量、函数值的大小的知识是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数y=k∴函数图象在第二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，且当x<0时，y>0；当x>0时，y<0；∵Ax1,−2∴x2∴x2故选：D．【变式5-1】已知反比例函数y=−2x则下列结论不正确的是（A．图像必过点(−1，2) B．若x>1，则−2<y<0C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内【答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，把x=−1代入y=−2【详解】A．当x=−1代入y=−2x=2B．∵当x=1时，y=−2∴若x>1，则−2<y<0，故结论正确，选项B不符合题意；C．∵反比例函数y=−2∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项C符合题意；D．∵反比例函数y=−2∴该函数图象位于第二、四象限，故结论正确，选项D不符合题意；故选：C．【变式5-2】若点A−1,y1，B1,y2，C2,y3A．y1>yC．y1>y【答案】B【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据题意判断出反比例函数的图像所在的象限及在各象限内的增减性是解答此题的关键．【详解】解：∵点A−1,y1，B1,y∴y1<0，y∵1<2，在反比例函数y=1x的图像上，在每一象限内y随∴y∴y1，y2，y故选：B．【变式5-3】如果在反比例函y=2t−1x图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（A．t>12 B．t≥12 C．【答案】C【分析】根据反比例函数的增减性与系数之间的关系进行求解即可．【详解】解：∵在反比例函y=2t−1x图象的每一支上，y随∴2t−1<0，∴t<1故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知对于反比例函数y=kxk≠0，当k>0时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而减小，k<0时，在反比例函数图象的每一支上y【考点题型六】待定系数法求反比例函数解析式

【典例6】若反比例函数y=kxk≠0的图象经过点(−4A．(−3,−4) B．(3,−4) C．(−6,−2) D．(2【答案】B【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．根据反比例函数y=kxk≠0的图象经过点(−4【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0∴3=k−4∴反比例函数为y=−12∵(3,−4)满足y=−12xk≠0，而(−3,−4)，(−6,−2)∴y=−12xk≠0故选：B．【变式6-1】已知点A2,3在反比例函数y=k+1x的图象上，则k【答案】5【分析】本题主经考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数上的点的坐标适合解析式，从而确定比例系数，是解决本题的关键．将点A2,3代入反比例函数y=k+1x【详解】解：∵点A2,3在反比例函数y=∴3=k+1解得k=5，故答案为：5【变式6-2】已知点Am,m−2，B2,−m2都在反比例函数y=k−1【答案】0【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征．熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于k，是解题的关键．根据反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于k，列式计算即可．【详解】解：∵点Am,m−2，B2,−m∴mm−2解得：m=1或m=0；当m=1时：k−1=mm−2解得：k=0，当m=0时：k−1=0（不符合题意，舍去）；∴k=0；故答案为：0．【变式6-3】反比例函数的图象经过点−4，−2，则反比例函数的表达式是y=【答案】y=【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可．【详解】解：设反比例函数解析式为y=k把点−4，−2代入y=k∴k=8，∴反比例函数解析式为y=8故答案为：y=8

【考点题型七】反比例函数的实际应用

【典例7】在对某物体做功一定的情况下，力FN与物体在力的方向上移动的距离sm成反比例函数关系，且当s=10m(1)试确定FN与s(2)求当力F=15N时，物体在力的方向上移动的距离s【答案】(1)F=(2)当力F=15N时，物体在力的方向上移动的距离s为【分析】本题考查的是反比例函数系数k等于函数图象上点的横纵坐标的积，比较简单．（1）设函数关系式为F=k（2）把F=15N代入函数关系式计算即可得出答案．【详解】（1）解：∵力FN与此物体在力的方向上移动的距离s∴其函数关系式为F=k∵点10,3是反比例函数图象上的点，∴k=10×3=30．∴此函数的解析式为F=30（2）解：把F=15N代入函数关系式得：15=30s=2m即当力F=15N时，物体在力的方向上移动的距离s为2m【变式7-1】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)这个反比例函数的解析式是（R>0）．(2)若使用时电阻R=12Ω，则电流I是(3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？【答案】(1)I=(2)3(3)用电器的可变电阻至少是3.6【分析】本题考查了反比例函数的应用；（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR，结合点（2）I=36R中，令R=12，求出对应的（3）将I≤10代入所求的函数解析式，即可确定电阻R的取值范围．【详解】（1）设反比例函数式I=k∵把(9,4)代入反比例函数式I=k∴k=9×4=36．∴I=36故答案为：I=36（2）当R=12Ω，I=故答案为：3A（3）当I≤10A时，则36R∴R≥3.6Ω∴用电器的可变电阻至少是3.6Ω【变式7-2】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压pkPa是气体体积V(1)求该函数的表达式；(2)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0【答案】(1)p=(2)0.69【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键．（1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案；（2）将p=140kPa【详解】（1）设p=k将A0.8,120代入，得120=k0.8∴所求函数的表达式为p=96（2）∵96>0，∴在第一象限内，p随V的增大而减小．当p=140kPa时，V=∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.69m【变式7-3】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=3，请你解答下列问题．(1)求y关于x的函数表达式．(2)若火焰的像高为2cm【答案】(1)y=(2)小孔到蜡烛的距离为9【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．熟练掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法求解析式，是解决问题的关键．（1）设y=kx．把x=6，y=3代入，求得（2）把y=2代入y=18x，求得【详解】（1）根据题意，设y=k把x=6，y=3代入，得k=6×3=18，∴y关于x的函数表达式为y=18（2）把y=2代入y=18得x=9．故小孔到蜡烛的距离为9cm【考点题型八】反比例函数与一次函数的交点问题

【典例8】如图，若反比例函数y1=kx与一次函数y2=ax+b交于A、B两点，当【答案】x≤−1【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，写出在x轴的上方，且一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可．【详解】解：观察图象可知，当0<y1≤y2故答案为：x≤−1．【变式8-1】如图，一次函数y=k1x+b和（k1和b均为常数且k1<0）与反比例函数y=k2x（k2为常数且k2【答案】−1<x<0或x>3【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象的交点问题的综合，掌握一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，图形结合分析解不等式的知识是解题的关键．依题意且结合图象，运用数形结合思想进行作答即可．【详解】解：∵一次函数y=k1x+b和（k1和b均为常数且k1<0）与反比例函数y=k2x∴关于x的不等式k2x>k故答案为：−1<x<0或x>3【变式8-3】如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx在第一象限内交于点C5,2，则当x>0时，ax+b−【答案】x>5/5<x【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．根据ax+b−k【详解】解：结合图像可知，ax+b−kx>0故答案为：x>5．【考点题型九】反比例函数与一次函数的综合【典例9】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=−x+2的图象与反比例函数y=kx在第二象限的图象交于点A(n,3)，与x轴交于点B，连结AO并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点(1)求这个反比例函数的表达式．(2)求△ABC的面积．(3)当直线AC对应的函数值大于反比例函数y=kx的函数值时，直接写出【答案】(1)y=−(2)S(3)x<−1或0<x<1【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合；（1）先求出点A的坐标(−1,3)，然后代入反比例函数解析式，求出k的值即可；（2）由一次函数的解析式求得点B的坐标，利用反比例函数的对称性求得点C的坐标，然后根据S△ABC（3）根据图象即可求得．【详解】（1）解：∵A(n,3)在一次函数y=−x+2的图象上，∴3=−n+2，解得n=−1，∴点A的坐标为(−1,3)，∴k=1×(−3)=−3，∴反比例函数的对应的函数关系为y=−3（2）解：当y=0时，0=−x+2，解得x=2，∴点B的坐标为(2,0)．∵点C在反比例函数y=−3∵A(−1,3)，根据对称性，∴点C的坐标为(1,−3)，∴S△ABC（3）解：由图象可得，当x<−1或0<x<1时，直线AC的图象在反比例函数y=−3∴当直线AC对应的函数值大于反比例函数y=kx的函数值时，x<−1或【变式9-1】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A1,8、Bn,−2，与x轴交于点D(1)求m、n的值；(2)观察函数图象，直接写出不等式kx+b<m(3)连接AO,BO，求△AOB的面积．【答案】(1)m=8,n=−4(2)x<−4或0<x<1(3)15【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键．（1）将A(1,8)代入y=mx中，即可求出m的值，再代入B(n,−2)即可求得（2）观察函数图象，即可得出kx+b<m（3）采用待定系数法求得直线AB的解析式，再令x=0，即可求出C(0,6)，根据S△AOB=S【详解】（1）解：将A(1,8)代入y=m得：8=解得：m=8∴y=将B(n,−2)代入y=8得：−2=解得：n=−4．（2）解：根据图象可得，kx+b<mx的解集为：x<−4或（3）解：将A(1,8)、B(−4,−2)代入y=kx+b得：k+b=8解得：k=2∴直线AB的解析式为：y=2x+6将x=0代入y=2x+6得y=6

∴C(0,6)，即OC=6，连接OA，∴S△AOB【变式9-2】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6xx>0的图象交于A(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出kx+b−6x<0(3)求△AOB的面积．【答案】(1)y=−2x+8(2)0<x<1或x>3(3)△AOB的面积为8【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．（1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入y=kx+b，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式；（2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可；（3）令直线AB与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出AB与x轴和y轴的交点坐标，再根据S△AOB【详解】（1）解：将点Am,6代入y=6x解得：m=1，∴A1,6把B3,n代入y=6x∴B3,2把A1,6，B3,2代入6=k+b2=3k+b解得：k=−2b=8∴一次函数的解析式的解析式为y=−2x+8；（2）解：∵A1,6，B∴由图可知，当0<x<1或x>3时，kx+b<6∴当0<x<1或x>3时，kx+b−6（3）解：令直线AB与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，把x=0代入y=−2x+8得y=8，∴C0,8，则OC=8把y=0代入y=−2x+8得0=−2x+8，解得：x=4，∴D4,0，则OD=4∴S===16−4−4=8．【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象分别与AB，BC交于点D4,1和点E(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标；(2)若一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式(3)x轴上是否存在点P使得△PDE为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由；【答案】(1)y=4x(2)2<x<4或x<0(3)存在点P，坐标为94,0或2,0或3,0【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）根据矩形的性质得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D4,1是AB的中点得到B4，（2）根据一次函数与反比例函数图像求解即可．（3）分情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，点A,C在坐标轴上，∴AB⊥x轴，BC⊥y轴．∵D4,1，且D为AB∴B4,2∴点E的纵坐标为2．∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过D∴k=4×1=4.∴反比例函数的解析式为y=把y=2代入，得x=2.∴E（2）解：由图像可得，当2<x<4或x<0时，mx+n>k故mx+n>kx的解集为2<x<4或（3）解：存在，理由如下：设点Pm,0，由题可知∴P①当PD=PE时，则(m−4)解得m=9∴P②当PD=DE时，则(m−4)解得m=6，或m=2当m=6时，P、D、E三点共线，不能构成三角形，所以m=6（舍）P③当PE=DE时，则(m−2)解得m=3，或m=1∴P3,0或综上所述：存在点P，且坐标为94,0或2,0或3,0或

【考点题型十】反比例函数与几何综合【典例10】如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=2OB，反比例函数y=27x在第一象限的图象经过正方形的顶点(1)求点C的坐标；(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′(3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A′、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q【答案】(1)C9(2)D′(3)点Q的坐标为92，272或92【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，设OB=a，则OA=2a，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=2a，CH=OB=a，即可确定点C的坐标；（2）利用（1）中方法确定D6，9，由点A（3）根据题意进行分类讨论：当OA′=OP=152【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，∵OA=2OB，∴设OB=a，则OA=2a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBH=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠CBH，∴△AOB≌△BHC，∴BH=OA=2a，CH=OB=a，∴OH=3a，∴C3a∵反比例函数y=27x在第一象限的图象经过正方形的顶点∴3a⋅a=27，∴a=3；∴C9（2）解：如图所示，过点D作DG⊥x轴，AE⊥DG，CF⊥DG，同（1）方法可得：△ADE≌△ABO≌△DCF，∵∠AEG=∠EGO=∠AOG=90°，∴四边形OGEA为矩形，∴AO=EG=6，∴D6∵点A′恰好落在反比例函数y=∴当y=6时，x=92，即点A向右平移92∴D′6+9（3）解：分三种情况讨论，由（2）得点A向右平移92个单位得到点A∴A′∴OA当OA′=OP=152∴Q192，6+152当OA′=AP=152时，此时点A′与点当OA′为对角线时，此时设P0∴n2解得n=7516，即OP=A∴Q492综上可得：点Q的坐标为92，272或92【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键．【变式10-1】如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上，点C的坐标为(3,4)，反比例函数y=kxx>0的图象经过点C，且与边AB交于点(1)求k的值及点B的坐标；(2)判断点D是否为边AB的中点，并说明理由．【答案】(1)k=12，B(2)点D不是边AB的中点，理由见解