清单08 圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）25学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单08圆（20个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：1）圆心；2）半径。圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。【清单02】圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。【清单03】圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。【清单04】圆周角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【清单05】圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴【清单06】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【清单07】点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。【清单08】过三点的圆过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【清单09】直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；、【清单10】切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线【清单11】切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴；平分【清单12】三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOAD【清单13】圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.【清单14】与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。【清单15】正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。【清单16】扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积【清单17】扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图=圆柱的体积：2、圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）【考点题型一】圆的定义及性质

【典例1】如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE=60°，则A．40° B．45° C．50° D．60°【变式1-1】如图，在⊙O中，AB=CD，∠AOB=35°，则∠COD的度数是（A．50° B．45° C．40° D．35°【变式1-2】下列说法中正确的是（

）A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴【变式1-2】如图，在⊙O中，AC=BD，求证：

【考点题型二】运用垂径定理直接求线段的长度

【典例2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE=3，CD=8．(1)求CE的长度；(2)求OC的长度．

【变式2-1】在⊙O中，弦AB长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（A．4cm B．5cm C．6cm D．【变式2-2】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=12cm，则球的直径长是（

A．15cm B．16cm C．18cm【变式2-3】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8，OA=5，则AH的长为．【考点题型三】垂径定理的实际应用

【典例3】如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为AB的中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB=1.8(1)求拱门最高点D到地面的距离；(2)现需要给房间内搬进一张长和宽均为2m、高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m【变式3-1】HUAWEI Mate60 Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦AB长80mm，半径OC⊥AB，垂足为D，弓形高CD长14(1)求AD的长；(2)求半径OA的长．【变式3-2】民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径AB为6dm，锅深OF为3dm，锅盖高OE为1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：dm），如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面所在的圆记作⊙M(1)求抛物线C解析式和弧AB所在⊙M的半径；(2)锅中原有水的最大深度为1.5dm（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高0.5dm，求此时的水面宽度；(3)如果将底面直径4dm，高度为0.5dm的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？【变式3-3】某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE=10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17

【考点题型四】同心圆

【典例4】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．

【变式4-1】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【变式4-2】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．(1)求证：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．

【考点题型五】圆周角与圆心角的运用

【典例5】如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ABC=35°，则∠AOC的度数为（

）A．20° B．40° C．60° D．70°【变式5-1】如图，在⊙O中，AB为直径，点C，D是圆上的点，且∠ADC=50°，则∠CAB的度数为（

）A．50° B．80° C．40° D．30°【变式5-2】如图，OB是⊙O的半径，C，D是⊙O上的点，连接OC，BD，CD，若∠BOC=50°，则∠CDB等于（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【考点题型六】圆内接四边形的综合运用

【典例6】如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB，BC于点E，F．若∠B=50°，EF的度数为56°，则∠D=【变式6-1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为．【变式6-2】如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB=96°，则∠ACB的度数为（）

A．192° B．120° C．132° D．150°【变式6-3】如图，A，B，C，D在⊙O上，∠OAB=25°，则∠ACB的度数是（

）A．115° B．112.5° C．122.5° D．135°

【考点题型七】点与圆的位置关系

【典例7】已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式7-1】若⊙O所在平面内有一点P，点P到⊙O上点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙OA．6 B．10 C．6或10 D．无法确定【变式7-2】若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（

）A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5【变式7-3】若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是．

【考点题型八】确定圆的条件

【典例8】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【变式8-1】给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（

）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点【变式8-2】已知平面直角坐标系中的三个点分别为A1,−1、B−2,5、C4【变式8-3】在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是．

【考点题型九】根据三角形的外接圆的性质的运用

【典例9】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．(1)请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹）(2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r．【变式9-1】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为r，则△ABC的面积为（

）A．38r2 B．34r2【变式9-2】已知，如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（

A．4 B．5 C．8 D．10【变式9-3】如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（）A．83 B．43 C．6 D．4【考点题型十】直线与圆的位置关系的判定

【典例10】已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【变式10-1】在△ABC中，AB=AC，O为BC中点，以点A为圆心，AO长为半径作⊙A，则⊙A与直线BC的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式10-2】在平面直角坐标系中，以点(3,2)为圆心，3为半径的圆与坐标轴的位置关系为(

)A．与x轴相切，与y轴相离： B．与x轴相交，与y轴相切C．与x轴，y轴都相交 D．与x轴，y轴相离【变式10-3】已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有个．

【考点题型十一】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算

【典例11】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O切线，BD交⊙O于点C，∠CAD=50°，则∠B=（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【变式11-1】如图，P是圆O的直径AB上一点，PM与圆O相切于点M，连接AM，∠P=30°，若PM=23，则AM的长为【变式11-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为【变式11-3】如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则BE=，BC=．

【考点题型十二】切线的性质与判定的综合运用【典例12】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．(1)求证：EA与⊙O相切；(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．【变式12-1】如图，⊙O与△ABC的BC边相切于点B，与AC边相切于点D，与AB边交于点E，EB是⊙O的直径．(1)求证：DE∥(2)若⊙O的半径是32，AD=2，求CD【变式12-2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB=5，BC=13，求AC和AD的长．

【考点题型十三】利用切线长定理的性质求线段长度或周长

【典例13】如图，PA、PB、CE分别与⊙O相切于点A、B、D点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PCE的周长为(

)A．10 B．12 C．16 D．20【变式13-1】如图，某小区打算进行公共设施改造，现有一块边长为40m的正方形空地ABCD，点O在AB边的中点处，计划在正方形空地内搭建一个以O为圆心，AB为直径的半圆形儿童游乐场区域，过点C作半圆的切线交AD于点N．以CN为正方形的区域分割线，位于分割线右下方的整个区域ABCN作为小区的休闲区，则该休闲区的面积为（）mA．1000 B．140 C．800 D．600【变式13-2】如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA=8cm，则△PFG的周长是【变式13-3】如图，在四边形ABCD中，BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，AB为⊙O的直径．若BC=4cm，AD=3

【变式13-4】如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA=6cm，则△PDE的周长是cm

【考点题型十四】三角形的内切圆与内心

【典例14】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F且AD=2,BC=5，则△ABC的周长为（

）．

A．7 B．14 C．10 D．4【变式14-1】已知△ABC的内切圆半径r=3，D、E、F为切点，∠ABC=60°，BC=8，S△ABC=103

【变式14-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD⋅DB=24，则AB的长=【考点题型十五】正多边形与圆求角度

【典例15】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE⏜上的的一点，则∠CPD的度数是（

A．30° B．36° C．45° D．72°【变式15-1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是AE上一点，则∠DFC的度数为（

）A．72° B．54° C．36° D．30°【变式15-2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为AB上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（

）A．18° B．36° C．54° D．72°【变式15-3】如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【考点题型十六】正多边形与直角坐标系综合

【典例16】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（

）A．3,−1 B．−1,−3 C．−3【变式16-1】2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）的图形，放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为2,−3，则顶点C的坐标为（

）

A．2−23,3 B．(0,1+23) C．【变式16-2】如图，在正六边形OABCDE中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边OA落在x轴上.若点A的坐标为4,0，则点B的坐标为．

【变式16-3】如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2022时，顶点A的坐标为．【变式16-4】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是．

【考点题型十七】弧长的计算

【典例17】已知点A、B、C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧BC沿着直线CB折叠交弦AB于点D．BD=9，AD=6，则AC的长为．【变式17-1】扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知OA=10cm，AC=15cm，AB的长为20cm，则CD的长为【变式17-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D【变式17-3】如图，矩形纸片ABCD中，AB=16,AD=24，将纸片裁成如图所示的扇形ABE，若将此扇形围成圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为．

【考点题型十八】计算扇形的面积

【典例18】扇形AOB的半径为10cm，圆心角为54°，则扇形的面积为