《电工基础》课件第6章

技能训练十五串联谐振电路特性分析6.1串联谐振6.2并联谐振小结

习题六

1.训练目的

(1)通过实验掌握串联谐振的条件和特点，测绘RLC串联谐振曲线。

(2)研究电路参数对谐振特性的影响。技能训练十五串联谐振电路特性分析训练图15-1

2.原理说明

在训练图15-1所示的RLC串联电路中，若取电阻R两端的电压U2为输出电压，则该电路输出电压与输入电压之比

(15-1)由上式可知，输出与输入电压之比是角频率ω的函数。当ω很高和ω很低时，比值都将趋于零;而在某一频率ω=ω0时，可使ω0L－1/(ω0C)=0，输出电压与输入电压之比等于1，电阻R上的电压等于输入的电源电压，达到最大值，电路阻抗最小，电抗为零，电流达到最大且与输入电压同相位。电路的这种工作状态叫做RLC串联谐振。

串联谐振的条件：

或

(15-2)

改变角频率ω时，振幅比随之变化，振幅比下降到峰值的1/

=0.707倍时，对应的两个频率ω1，ω2(或f1和f2)之差称为该串联谐振电路的通频带宽，即

BW=ω2－ω1理论上可以推出通频带宽

BW=ω2－ω1=

(15-3)

由式(15-3)可知，串联谐振电路的通频带取决于

电路的参数。RLC串联电路幅频特性曲线的陡度，可以用品质因数Q来衡量，Q的定义为

可见品质因数Q也取决于电路参数。当L和C一定时。电阻R越小，Q值越大，通频带越窄，谐振曲线越陡峭。反之，电阻R越大，品质因数Q越小，通频带宽越宽，曲线越平

缓，如训练图15-2所示。训练图15-2设R=R1时的通频带为BW1；R=R2时的通频带为BW2，若R1>R2,则

当XL=XC＞R时，UL=UCU。

电路的这一特点，在电子技术和通信电路中得到广泛的应用，而在电力系统中则应避免由此而引起的过压现象。

3.训练设备

(1)信号源(含频率计)

(2)交流毫伏表

(3)EEL—54组件(含实验电路)

(4)示波器

4.训练内容

(1)实验电路如训练图15-3所示，图中L＝16.5ｍH，R、C可选不同数值，信号源输出的正弦波电压作为输入电压u。调节信号源输出正弦波的电压，并用交流毫伏表测量，使输入电压ｕ的有效值Ｕ＝1Ｖ，并保持不变，信号源输出的正弦波电压的频率用频率计测量。训练图15-3

(2)测量R、L、C串联电路谐振频率。选取R＝51Ω，C＝0．033μF，调节信号源输出的正弦波电压的频率，使之由小逐渐变大(注意要维持信号源的输出电压不变，用交流毫伏表不断监视)，并用交流毫伏表测量电阻R两端电压UR。当UR的读数最大时，频率计上读得的频率值即为电路的谐振频率f0，测量此时的UC与UL值(注意及时更换毫伏表的量限)，将测量数据记入自拟的数据表格中。

(3)测量R、L、C串联电路的幅频特性：在上述实验电路的谐振点两侧，调节信号源正弦波输出频率，按频率递增或递减500Hz或1KHz，依次各取7个测量点，逐点测出UR、UL和UC值，记入自拟的表中。

在上述实验电路中，改变电阻值，使R=100Ω，重复训练内容(1)、(2)的测量过程，将幅频特性数据记入自拟的表中。

5.训练注意事项

(1)测试频率点的选择应在靠近谐振频率附近多取几点，在改变频率时，应调整信号输出电压，使其维持在1V不变；

(2)在测量UL和UC数值前，应将毫伏表的量程改大约10倍，而且在测量UL与UC时毫伏表的“＋”端接电感与电容的公共点4。

6.思考题

(1)电源频率为何值时，RLC串联电路中R上的电压等于电源电压并达到最大值。

(2)电路发生谐振时，L、C上电压与电源电压的数值和相位关系如何？

7.训练报告内容

在坐标纸上绘制谐振曲线。计算BW和Q并与测量值进行比较。在交流电路中，由于电容和电感元件电抗的存在，一般来讲，电路两端的电压与通过该电路的电流都不同相，但电容和电感性质相反，感抗和容抗又都与频率有关，因此，当电源满足某一特定的频率时就会出现电路两端的电压和其中的电流同相的情况，这种现象称为谐振。这样的LC电路叫做谐振电路。谐振电路在诸如选频、滤波、倍频等电子线路中

应用很广。而在电气设备中，考虑设备的耐压和耐冲击等问题，都与谐振有关。6．1串联谐振6.1.1串联谐振的条件

如图6-1-1的电路，在正弦电压

u=

Usinωt

的激励下，其输入复阻抗为

(6-1)若

XL=XC=0

则Z=R。此时，电路相当于一个纯电阻电路，电压与电流同相，即发生谐振现象。由于是R、L、C元件串联，所以叫做串联谐振。图6-1-1串联谐振电路根据式(6-1)得串联谐振的条件为

XL=XC

由此得出串联谐振的角频率ω0(或频率f0)

(6-2)则

(6-3)

或

(6-4)由式(6-4)可见，谐振频率是由电路本身的参数L、C决定的，所以又叫做电路的固有频率。

实现电路谐振的方法有两种：

(1)当外加信号源的频率ω一定时，可通过调节电路参数L、C改变电路揩振频率来实现。

(2)当电路参数L、C一定时，可通过改变信号源的角频率来实现。6.1.2特性阻抗和品质因数

串联谐振时，将式(6-3)代入式(6-2)得：

(6-5)

ρ只与电路的L、C有关，叫做特性阻抗，单位为欧姆(Ω)。

谐振时，电路的电抗与电阻之比

(6-6)称为回路的品质因数。品质因数由电路参数R、L、C决定，是一个无量纲的量，是谐振回路的重要参数。它表征了电路的损耗，损耗越小。Q值越高。为了提高Q值，有的电感线圈要用镀银线来绕制。Q值对回路的品质特性影响很大。6.1.3串联谐振的特点

1.阻抗最小且为纯电阻

串联谐振时，电路的阻抗最小且为纯电阻性质。由于谐振时，

X=0

所以电路的复阻抗为一实数，即

2.电流最大且与外加电压同相

在图6-1-1所示电路中，若，则回路电流

串联谐振时，ωL=

,阻抗Z=R,为最小值，因此回路电流

达最大值且与同相，此时。电感、电容、电压是外加电压的Q倍串联谐振时，电感电压和电容电压的有效值相等，且等于外加电压有效值的Q倍。即有

图6-1-2串联谐振电路相量图与反相而相互“抵消”，如图6-1-2所示。对整个电路而言，。

但单独考虑和时，若Q＞1，则UL0=UC0＞U。串联谐振时，UL0和UC0可能是总电压的许多倍，所以串联谐振又叫电压谐振。电路Q值一般在50～200之间，因此，在电路谐振时，即使外加电压不高，在电感L和电容C上的电压也会很高，这是一个非常重要的物理现象。在无线电通信技术中，利用这一特性，可从接收到的各种频率分量的微弱信号中，将所需信号取出。但在电力系统中，应尽量避免电压谐振，以防止产生高压而造成事故。

3.电源仅提供R消耗的能量

串联谐振时，能量只在R上消耗，而电容和电感只周期性地进行磁场能量与电场能量的转换。

例6-1

在RLC串联谐振电路中，U=25mV，R=5Ω，L=4mH，C=160pF。

(1)求电路的f0、I0、ρ、Q和UC0。

(2)端口电压不变，频率变化10%时，求电路中的电流和电压。

解

(1)谐振频率

端口电流

特性阻抗

品质因数

(2)当端口电压频率增大10%时，

f=f0(1+0.1)=220kHz

感抗

XL=2πfL=2π×103×220×4×10-3=5526Ω

容抗

阻抗的模

电流

电容电压

UC=XCI=4523×0.025=113mV

可见，端口电压的频率稍微偏离谐振频率，则端口电流、电容电压会迅速衰减。6.1.4谐振电路的频率特性

谐振回路中，电流和电压随频率变化的特性，称为频率特性，它们随频率变化的曲线称为谐振曲线。下面以电流谐振曲线为例，讲述回路电流幅值与外加电压频率之间的关系。在任意频率ω下，在图6-1-1所示的电路中，回路电流

图6-1-3电流的谐振曲线该电流的大小

(6-7)若L、C、R及U都不改变时，电流I将随ω发生变化。由式(6-7)做出的电流随频率变化的曲线，如图6-1-3所示。当电源频率正好等于谐振频率ω0时，电流有一最大值I0=U/R，当电源频率向着ω＞ω0或ω＜ω0的方向偏离谐振频率ω0时，Z逐渐增大，电流也逐渐变小以至为零。这说明只有在谐振频率附近，电路中的电流才有较大值，偏离这一频率，电流值则很小。

把这一谐振频率附近的电流选择出来的特性称为频率选择性。谐振回路频率选择性的好坏可用通频带宽度Δf来衡量。在谐振频率f0两端，当电流I下降至谐振电流I0的1/

=0.707

倍时，所覆盖的频率范围，称为通频带Δf=f2-f1(Δω=ω2-ω1)。Δf越小，谐振曲线越尖锐，表明电路的选择性就越好。

(6-9)

即通频带与回路的品质因数Q成反比，Q越高通频带越窄，选择性越好。可见Q也是衡量谐振回路选则性的参数。品质因数Q与谐振频率的关系曲线如图6-1-4所示。(6-8)图6-1-4通用谐振曲线

例6-2

一个RLC串联谐振电路内，C=100pF，R=10Ω，端口激励电压u=cos(3π×106t)mV，试求：

(1)电感元件参数L；

(2)电路的品质因数Q；

(3)通频带Δf。

解由已知条件得谐振频率ω0为3π×106rad/s，则

端口激励电压有效值U=1mV。

(1)由

得:

(2)该串联谐振电路的品质因数

(3)由式(6-8)得:

6.2.1并联谐振电路

并联谐振电路与串联谐振电路的定义相同，电路两端的电压和端口电流同相时的工作状况称为谐振。典型的并联谐振电路如图6-2-1所示。

图示电路的总导纳为

6．2并联谐振图6-2-1并联谐振电路其导纳模

其相应的阻抗模

由上式可见，当

XL=XC

时,|Z|=R，电路呈纯电阻性，电路谐振。由于是R、L、C并联，所以称并联谐振。

由电路谐振的定义得并联谐振的条件是其总导纳的虚部为零,即

时发生并联谐振。由此得谐振频率为

(6-10)

或

(6-11)

与串联谐振一样，当信号频率一定时，可调节L、C值实现谐振；当电路参数固定时，改变信号源频率也可实现电路谐振。6.2.2并联谐振的特点

RLC并联电路谐振电路的特点以下4个：

(1)阻抗最大或接近最大。并联谐振时，XL=XC,则由

得电路的阻抗为最大值R，这时电路呈纯电阻性。

(2)在电源电压一定时，由于谐振时阻抗最大且为纯电性，因此总电流最小且与电源电压同相，其值

(3)谐振时，电感和电容上的电流相等，且为总电流的Q倍，即

图6-2-2并联谐振时电压和电流相量图式中Q为并联谐振回路的品质因数，其值

可见谐振时,电感和电容支路上的电流可能远远大于端口电流，所以并联谐振又叫电流谐振。由于电感和电容上的电流大小相等，相位相反，故两者完全抵消。

(4)谐振时电压、电流的相量图如图6-2-2所示。6.2.3电感线圈与电容器并联的谐振电路

实际应用中，常以电感线圈和电容器并联作为谐振电路。考虑到损耗后电感线圈可用电感与电阻的串联电路来等效，而电容器的损耗很小，一般可略去不计，这样可得到如图6-2-3(a)所示的电路。图6-2-3并联谐振电路该电路的导纳为

当满足条件:

时,电路呈纯电导，电压和电流同相，电路发生谐振。谐振时的角频率

(6-12)或

(6-13)由式(6-13)可见，电路的谐振频率完全由电路参数决定，只有当>0，即

时，ω0才为实数，电路才有谐振频率；所以只有在

的情况下，电路才可通过调节激励的频率达到谐振。反之若

，谐振频率为虚数，则电路不可能发生谐振。在时，并联谐振的近似条件为,即。

例6-3

一个电感线圈的损耗电阻为10Ω，电感L为100μH，与100pF的电容并联后，组成并联谐振电路。若激励为一正弦电流源，有效值I=1μA。试求谐振时电路的角频

率、阻抗、端口电压、线圈的品质因数、线圈电流、电容电流以及谐振时回路吸收的功率。

解谐振时角频率

谐振时阻抗

谐振时端口电压

U=Z0I=105×10-6=0.1V

线圈的品质因数

谐振时，线圈和电容器的电流

IL≈IC=QI=100×10-6=100μA

谐振时回路吸收的功率

P=R=(10-4)2×10=10-7W=0.1μW

或

例6-4求图6-2-4所示电路的谐振频率。图6-2-4例6-4图

解求取一般电路谐振频率的常用办法是，先求出电路的输入阻抗或输入导纳，令其虚部为零，求出谐振条件，然后进一步解出电路的谐振频率。由图6-2-4可得