《电路分析基础》课件第13章

13.1非线性电阻

13.2非线性电阻的串联和并联

13.3解析法

13.4图解法

13.5分段线性化法

13.6小信号分析法

13.7练习题及解答提示

习题13第13章非线性电路前面各章讨论的是线性电路，组成线性电路的元件都是线性的，它们的参数R、L、C等都是不随其电流、电压(或电荷、磁链)而改变的常量。本章讨论含非线性元件的

电路，即非线性电路。非线性元件的参数是电流、电压(或电荷、磁链)的函数。严格说来，实际电路都是非线性的。不过，有些实际电路的工作电流、电压都限制在一定范围之内，在正常工作条件下所有元件的非线性程度比较微弱，可以忽略其非线性特性，把它们当成线性元件处理不会带来很大的差异。然而，对于另一些电路，其元件的非线性较为显著，就不能忽视其非线性特性，否则，将使计算结果与实际量值相差过大，以致无法解释其中的物理现象。分析非线性电路要比线性电路复杂得多，求得的解也不一定是唯一的。本章先介绍非线性电阻的概念、串联及并联的等效运算，然后讨论包含非线性电阻的简单电路的分析方法，包括较常见的解析法、图解法、分段线性化法与小信号分析法等。电阻元件的特征是用u—i平面的伏安特性来描述的。线性电阻的伏安特性是u—i平面上通过原点的直线，它可表示为

u=Ri

式中的R为常数。不符合上述直线关系的电阻元件称为非线性电阻元件。通常所说的非线性电阻元件，习惯上指的是非线性非时变电阻元件，简称非线性电阻，其电路图符号如图13-1所示。13.1非线性电阻图13-1非线性电阻

如果通过电阻的电流是其端电压的单值函数，则称之为电压控制型电阻，其典型伏安特性如图13-2(a)所示。由图可见，在特性曲线上，对应于各电压值有且只有一个电流值与之相对应；但是，对应于同一电流值，电压可能是多值的。隧道二极管就具有这种特性。图13-2非线性电阻的伏安关系如果电阻两端的电压是其电流的单值函数，则称其为电流控制型电阻，其典型伏安特性如图13-2(b)所示。由图可见，在特性曲线上，对应于每一电流值有且只有一个电压值与之相对应；但是，对应于同一电压值，电流可能是多值的。充气二极管就具有这样的特性。

另一类非线性电阻的伏安特性是单调增长或单调下降的，它既是电压控制型，又是电流控制型，称为单调型电阻，其典型的伏安特性如图13-2(c)所示。常规的半导体二极管就具有这样的特性。一般而言，压控电阻的伏安关系可表示为

i=f(u)

(13-1)

流控电阻的伏安关系可表示为

u=h(i)(13-2)

单调型电阻的伏安关系既可用式(13-1)表示，也可用式(13-2)表示。例如，半导体二极管的伏安特性可表示为

i=Is(eλu－1)

(13-3)式中：Is称为反向饱和电流；λ是与温度有关的常数，在常温下λ≈40V－1。由式(13-3)不难求得：

(13-4)

就是说，电压也可用电流的单值函数表示。

需要注意，线性电阻和有些非线性电阻的伏安特性与其端电压的极性(或其电流的方向)无关，其特性曲线对称于原点，如图13-3所示，称为双向性的特性曲线。许多非线性电阻是单向性的，其伏安特性与其端电压或电流方向有关，如图13-4所示。图13-3变阻管的符号及特性图13-4半导体二极管的符号及特性由于非线性电阻的伏安特性不是直线，因而不能像线性电阻那样用常数表示其电阻值。非线性电阻的电阻值有两种常用的表征方法：静态电阻R和动态电阻Rd。非线性电阻元件在某一工作点的静态电阻定义为该工作点电压与电流之比，即

(13-5)例如，图13-4中工作点Q处的静态电阻R=U0/I0=1/tanα。在工作点处的动态电阻(增量电阻)Rd定义为该点电压增量Δu与电流增量Δi之比的极限，即电压对电流的导数：

(13-6)

而动态电导为

(13-7)显然，静态电阻R和动态电阻Rd都与工作点的位置有关，它们一般是电压或电流的函数。对于无源元件，在电压、电流参考方向一致的情况下，静态电阻为正值，而动态电阻则可能为正，也可能为负。对图13-2(a)所示的特性曲线而言，在曲线上升部分，动态电阻为正；而在曲线下降部分，动态电阻Rd和动态电导Gd(Gd=1/Rd)为负值。

例13-1

设某非线性电阻的伏安特性为u=2i+i2。

(1)若i1=1A，试求其端电压u1。

(2)若i2=ki1=k(A)，试求其电压u2，u2=ku1吗？

(3)若i3=i1+i2=1+k(A)，试求电压u3，u3=u1+u2吗？

(4)若i=2cosωt(A)，试求电压u。

解

(1)当i1=1A时，

u1=2×1+(1)2=3V

(2)当i2=k(A)时，

u2=2k+k2(V)

显然,u2≠ku1，即对于非线性电阻而言，齐次性不成立。

(3)当i3=i1+i2=1+k(A)时，

u3=2(1+k)+(1+k)2=3+4k+k2(A)

显然，u3≠u1+u2，即对于非线性电阻而言，叠加性也不成立。

(4)当i=2cosωt(A)时，

u4=2×2cosωt+(2cosωt)2=2+4cosωt+2cos2ωt(A)

可见，当激励是角频率为ω的正弦信号时，其响应电压除角频率为ω的分量外，还包含有直流、二倍角频率(为2ω)的分量。即非线性电阻可以产生频率不同于输入频率的输出。

一般而言，对于非线性电阻，齐次性与叠加性均不成立，即它不具有线性性质。因此，前述各章中凡依据线性性质推得的定理、方法、结论等，都不适用于非线性电阻。当然，直接由KCL、KVL而并未应用线性性质得出的结果(如电源转移、替代定理、特勒根定理等)还是适用于分析非线性电阻电路的。

非线性电阻的串、并联运算可以使用解析法或图解法来实现。解析法即分析计算法，当电路中的非线性元件的VCR由一个数学函数式给定时，可使用解析法。图解法即通过作图的方式来得到非线性电阻电路的解的方法，当已知非线性电阻的伏安特性曲线时，常使用图解法。13.2非线性电阻的串联和并联13.2.1非线性电阻的串联

图13-5(a)是两个非线性电阻的串联电路，根据KCL和KVL，有

(13-8)

设两个电阻为流控型电阻或单调增长型电阻，其伏安特性可表示为

(13-9)图13-5非线性电阻的串联

按式(13-8)，两个电阻串联后应满足

u=u1+u2=f1(i1)+f2(i2)=f1(i)+f2(i)(13-10)

如果把串联电路等效成一个非线性电阻，如图13-5(b)所示，则其端口电压电流关系(伏安特性)可写为

u=f(i)

(13-11)

而对于所有的i，有解析式

f(i)=f1(i)+f2(i)(13-12)

就是说，两个流控型电阻或单调增长型电阻相串联，等效于一个流控型或单调增长型电阻。图13-6非线性电阻串联的图解若已知图13-5(a)所示的两个非线性电阻的伏安特性如图13-6所示，则可用图解的方法来分析非线性电阻串联电路，把同一电流值下的u1和u2相加即得到u。例如，在i1=i2=i0处，有u1=f1(i0)，u2=f2(i0)，则对应于i0处的电压u=u1+u2，如图13-6所示。取不同的i0值，就可逐点求得等效非线性电阻元件的伏安特性。

如果两个非线性电阻中有一个是电压控制的，在电流值的某范围内电压是多值的，则这时将写不出如式(13-10)或式(13-11)的解析形式，但用图解法仍可求得等效非线性电阻的伏安特性。

例13-2

图13-7(a)是理想二极管VD与线性电路相串联的电路，理想二极管的特性如图13-7(b)中实线所示。(1)试画出电路的u—i特性。(2)如二极管反接，其u—i

特性如何？

解

(1)画出线性电阻R的伏安特性如图13-7(b)中虚线所示，它为通过原点的直线。

当电压u>0时，电流i>0,u1=0，理想二极管相当于短路，处于导通状态，故在上半平面(即i>0的半平面)只需将二者的u—i特性上的电压相加即可；当u<0时，二极管截止，相当于开路，这时两元件串联电路也开路，电流i

恒等于零。于是，两元件串联时的伏安特性如图13-7(c)所示。图13-7理想二极管与线性电阻的串联情况之一

(2)理想二极管反接时的电路如图13-8(a)所示，当电压u>0时，理想二极管截止，电流i=0。当电压u<0时，二极管导通，相当于短路，电流i<0，故其u—i特性如图13-8(b)中实线所示，图中虚线为线性电阻R的u—i特性。于是，得图13-8(a)所示电路的伏安特性如图13-8(c)所示。图13-8理想二极管与线性电阻的串联情况之二13.2.2非线性电阻的并联

图13-9(a)是两个非线性电阻的并联电路，根据KVL和KCL，有

设两个非线性电阻为压控型电阻或单调增长型电阻，其伏安特性可表示为

按式(13-13)，两个电阻并联后应满足

i=i1+i2=f1(u1)+f2(u2)=f1(u)+f2(u)(13-15)(13-13)(13-14)图13-9非线性电阻的并联

把并联电路等效成一个非线性电阻，如图13-9(b)所示，其端口电压电流关系(伏安特性)可写为

i=f(u)(13-16)

而对于所有的u，有

f(u)=f1(u)+f2(u)(13-17)

即两个压控型或单调增长型电阻相并联，等效于一个压控型或单调增长型电阻。如果并联的非线性电阻之一不是压控型的，则得不到上述解析表达式，但可以用图解法求解。用图解法分析非线性电阻并联电路时，可把在同一电压值下的各并联非线性电阻的电流值相加。例如图13-10中，在u1=u2=u0处，有i1=f1(u0)，i2=f2(u0)，则对应于u0处的电流i=i1+i2，取不同的u值，就可逐点求得等效非线性电阻的伏安特性。图13-10非线性电阻并联的图解

例13-3

图13-11(a)是理想二极管VD与线性电阻相并联的电路，画出其u—i特性。

解画出理想二极管的伏安特性如图13-11(b)中实线所示，线性电阻R的伏安特性为通过原点的直线，如图

13-11(b)中虚线所示。

当电流i>0时，理想二极管相当于短路，其端电压u恒为零；当u<0时，理想二极管相当于开路，故在左半平面(即u<0的半平面)，只需将特性曲线上相应的电流相加，就得到VD与R相并联时的伏安特性，如图13-11(c)所示。图13-11理想二极管与线性电阻并联

前面一节仅对非线性电阻的串、并联运算进行了分析。本节介绍非线性电阻电路的解析法，图解法、分段线性化法与小信号分析法等在后面介绍。非线性电阻电路指至少包含一个非线性电阻的电路。13.3解析法线性电路分析中的叠加定理、互易定理等方法在非线性电路中均不成立，分析非线性电阻电路的基本依据仍然是基尔霍夫定律与元件的伏安关系。基尔霍夫定律确定了电路中支路电流间与支路电压间的约束关系，而与元件本身的特性无关。因此，无论电路是线性的还是非线性的，按KCL和KVL所列的方程是线性代数方法，而元件约束对于线性电路而言是线性方程，对于非线性电路而言是非线性方程。

例13-4

如图13-12(a)所示电路，已知Us=8V，R1=2Ω，R2=2Ω，R3=1Ω，非线性电阻R的VCR为i=u2－u+1.5A。试列出电路方程并计算u和i。

图13-12例13-4题图

解设网孔电流为i1和i2，可列写方程为

代入参数得

将式(1)+2×式(2)得到i2=2－0.5u，代入式(3)得

2u2－u－1=0

解得

代入非线性元件VCR，可以求得两组解，为

或

当电路中只含有一个非线性电阻元件时，应用戴维南定理是行之有效的方法。戴维南等效电路如图13-12(b)所示。然后得到方程

求解此方程组也可以得到上述相同的两组解。

应该指出，非线性电阻电路的方程为非线性方程。在很多情况下，用普通的解析法求解非线性代数方程是十分困难的，需要应用数值计算方法。关于非线性电阻电路的数值解法，请学习有关计算机辅助分析的课程或书籍。对于只含有一个非线性电阻的电路，可以将非线性电阻以外的线性有源网络用戴维南等效电路来等效，即把电路分解为线性和非线性两部分，如图13-13(a)所示。这是

分析非线性电阻电路的一个基本思路。

设非线性电阻的伏安关系为

i=f(u)

(13-18)13.4图解法其伏安特性曲线如图13-13(b)所示。而线性部分的伏安关系为

u=uoc－Roi(13-19)

如果式(13-18)的非线性函数已知，且又比较简单，则可以联立式(13-19)用解析法求解。如果求解极为困难，或者仅知道其曲线的形状，而无法用数学解析式表示，则大多采用图解法。

式(13-19)所示的是一条直线，称为负载线，画在图13-13(b)中，与非线性电阻的特性曲线的交点Q常称为(静态)工作点，其坐标为(U0，I0)，U0、I0的值同时满足式(13-18)和式(13-19)，这就是两联立方程的解。图13-13非线性电阻电路的图解法如果在作上述等效中，a、b的左侧部分也是非线性的，则这时等效电路如图13-14(a)所示。设a、b的左侧部分和R2的非线性伏安特性分别为：

i1=f1(u1)(13-20)

i2=f2(u2)(13-21)

其特性曲线如图13-14(b)所示。

由图13-14(a)可见，非线性有源网络与非线性电阻的电压、电流的关系为

u1=u2

和

i2=－i1

于是，式(13-20)可写为

i2=－i1=－f1(u2)(13-22)这样，两个非线性的特性曲线就变为具有相同未知量u2、i2的曲线。将式(13-21)和式(13-22)的曲线画在同一u—i平面上，如图13-14(c)所示，两者的交点(U0，I0)就是式(13-21)和式(13-22)的解，也就是式(13-20)和式(13-21)的解，即

u1=u2=U0

－i1=i2=I0图13-14复杂非线性电阻电路的图解要对非线性电路进行全面分析计算，常需将各非线性元件的特性曲线用函数表示出来，这是很困难的。即使能表示出来，也由于引用的函数较复杂，而使电路方程的求解遇到困难。13.5分段线性化法分段线性化法又称折线法，就是为了简化非线性电路的求解，将非线性元件的伏安特性曲线用若干段折线来近似，从而将电路等效成若干个线性电路模型，然后按照线性电路的方法来逐段分析。而分段越多，误差越小，因此可以用足够的分段达到任意的精度要求。

例如，某非线性电阻的伏安特性如图13-15(a)中虚线所示，它可以被分为三段，用①、②、③三条直线段组成的折线来近似表示。这样，每一段直线都可以用一个线性

电路来等效。图13-15表示非线性电阻特性曲线的折线法在0≤i≤i1区间，如果线段①的斜率为R1

，则其方程可写为

u=R1i(0≤i≤i1)(13-23)

也就是说，在0≤i≤i1区间，该非线性电阻可等效为线性电阻R1，如图13-15(b)所示。

类似地，若线段②的斜率为R2(显然R2<0)，它在电压轴的截距为Us2，则其方程可写为

u=R2i+Us2(i1≤i≤i2)(13-24)

其等效电路如图13-15(c)所示。

若线段③的斜率为R3，它在电压轴的截距为Us3，则其方程可写为

u=R3i+Us3(i>i2)(13-25)

其等效电路如图13-15(d)所示。

例13-5

在如图13-16(a)所示电路中，非线性电阻的分段线性化特性曲线如图13-16(b)所示。试求非线性电阻的电压U和电流I。

图13-16例13-5题图

解从图13-16(b)可以看出，特性按i轴可以分成两段：第一段，i≤1A；第二段，i>1A。非线性电阻在这两段的特性方程为

于是，非线性电阻的分段线性化等效电路如图13-16(c)和(d)所示。求解这两个电路，分别得到：

IQ1=2.5A,UQ1=2.5V

IQ2=2A,UQ2=3V

在上述求解过程中，并没有考虑区域对非线性电阻的电压和电流取值的限制，因此所得的结果并不一定落在相应区域，必须加以检验。对于IQ1=2.5A,UQ1=2.5V，不落在第一段区域内，因此它不是电路的解。IQ2=2A,UQ2=3V落在非线性电阻的第二段区域内，它是电路的唯一解。小信号分析法又称局部线性化近似法,即对小信号而言，把非线性电阻电路转化为线性电阻电路来分析计算，这是电子电路中分析非线性电路的重要方法。

在图13-17(a)所示的电路中,Us为直流电压源(常称为偏置)，us(t)为时变的电压源(信号源或干扰源),且对于所有的时间t内，|us(t)|<<Us，Rs为线性电阻，R为非线性电阻，其伏安关系i=f(u)如图13-17(b)中曲线所示。13.6小信号分析法图13-17小信号分析示例由KVL可列写方程

Us+us(t)－Rsi(t)=u(t)(13-26)

首先确定电路的工作点，由于|us(t)|<<Us

，可以由直流电源确定工作点，即当us(t)=0时，由Us和Rs的值画出直流负载线如图13-17(b)所示，负载方程为

Us－Rsi=u(13-27)

负载线与曲线的交点为工作点Q(U0，I0)。如前所述,U0、I0满足

(13-28)当直流电源和小信号同时起作用，即us(t)≠0时，由于Rs不变，故负载曲线将随着us(t)的数值变化作平行移动，即us(t1)＞0时负载线右移，us(t2)＜0左移，它和曲线i=f(u)的交点将在静态工作点Q(U0，I0)附近移动，如图

13-17(b)所示。电路中u(t)和i(t)相当于在恒定电压U0和恒定电流I0的基础上分别附加一个小信号电压u1(t)和小信号电流i1(t)，即

(13-29)在扰动的小范围内，可以把i=f(u)曲线近似地视为直线。Q点处的斜率为，见图13-17(b)。即在工作点Q附近,可以把非线性电阻近似等效为一个线性电阻，即

式中:Rd称为非线性电阻R在工作点Q(U0，I0)处的小信号电阻或动态电阻，是一个常数；Gd则称为小信号电导或动态电导，也是个常数。有

(13-31)(13-30)由式(13-31)可知，由小信号输入us(t)引起的电压u1(t)和电流i1(t)呈线性关系。即对小信号输入引起的响应来说，非线性电阻R相当于一个线性电阻Rd。将式(13-29)代入式(13-26)，可得

Us+us(t)－Rs［I0+i1(t)］=U0+u1(t)

又由式(13-28)得

us(t)－Rsi1(t)=u1(t)(13-32)

由式(13-31)和式(13-32)，可以容易得到

(13-33)由式(13-33)可以画出图13-17(a)所示电路在工作点Q(U0，I0)处的小信号等效电路如图13-18所示。不难看出，这是一个线性电路。可见，在小信号条件下，可将非线性电路分析近似转换成线性电路分析。

这个线性电路只保留了小信号分量u1(t)和i1(t)。如果需求u(t)和i(t)，则只需将式(13-33)代入(13-29)，可得

(13-34)图13-18小信号等效电路

在此将非线性电阻电路小信号分析法总结如下：

(1)只考虑直流电源的作用，求出非线性电阻电路的(静态)工作点Q(U0，I0)。

(2)求出工作点处的动态电阻Rd。

(3)画出小信号等效电路，并根据这个电路求出小信号源作用时的电压u1(t)和电流i1(t)。

(4)将(1)、(3)步得到的结果叠加，就可以得到最后的电压u(t)和电流i(t)。必须指出，这里也用到了叠加的概念。非线性电阻电路分析中采用叠加原理是有条件的，就是必须工作在非线性电阻伏安特性曲线的线性区域内。利用图13-18所示小信号等效电路将给非线性电阻电路分析带来极大的方便。这种分析方法的工程应用非常广泛。

例13-6

在图13-19(a)所示电路中，已知Is=120mA，is(t)=11.5cos2tmA，Rs=100Ω，非线性电阻R的伏安特性为。试求非线性电阻两端的电压u(t)。

图13-19例13-6题图

解由于交流电流源的输出电流幅值为11.5mA，它远小于直流电流源的值120mA，因此可以采用小信号分析法来求解。

(1)先求(静态)工作点。令is(t)=0，按图13-19(b)所示的直流电流源单独作用时的电路图，可以根据KCL及Rs的VCR，得到

代入参数，得

由非线性元件的VCR，得

联立求解上述两个方程，得U0=4V，I0=0.08A；另一个解U0=－7.5V不符合u＞0的条件，故舍去。

(2)非线性电阻电路在工作点U0处的动态电导为

(3)画出小信号等效电路，如图13-19(c)所示，图中Gs=1/Rs=0.01S。根据此电路有

(4)求电路的解为

u(t)=U0+u1(t)=4+0.25cos2tV

1.如图13-20所示电路，已知非线性电阻的伏安关系为。试求：(1)电路的静态工作点；(2)工作点处的静态电阻R；(3)工作点处的动态电阻Rd。

提示：(1)列出回路的KVL方程u=1－2i，与非线性电阻的伏安关系式联立求解，所得解即为工作点(电压和电流)。(2)根据静态电阻的定义求解。(3)根据动态电阻的定义求解，需对非线性电阻特性求导，再代入相应参数。［(1)U0=0.5V，I0=0.25A；(2)R=2Ω；(3)

Rd=1Ω］13.7练习题及解答提示图13-20

2.图13-21(a)所示电路中，稳压管的伏安特性如图13-21(b)所示。试求：(1)稳压管电压U2和功耗；(2)若U变为10V，则U2变为多少？(3)若要稳压管电流为12mA，应取R=?

提示：由于稳压管的伏安特性曲线已知，因此用图解法较为方便。(1)由图13-21(a)列出回路的KVL方程u2=12－500i，将其在图13-21(b)中作出负载线，交点电压即为所求电压。(2)负载线将向下平移。(3)由工作电流12mA可在图13-21(b)中得到工作电压，继而求出电阻值。

［(1)U2=7V，84mW；(2)U2=6.8V；(3)R=400Ω］图13-21

3.图13-22(a)所示电路中，非线性电阻R的特性近似于如图13-22(b)所示的折线。试求电流I。

提示：由图13-22(a)可判断出电流为正，因而图13-22(b)所示特性按i轴可以分成两段：第一段，0<i≤0.2A，其特性方程为u=5i；第二段，i>0.2A，其特性方程为u=－5+30i。于是可分别作出这两段的线性化等效电路，并分别求得I1=0.1A，I2=0.15A。经检验，有一个解不落在相应区域内，因此它不是电路的解，舍去。电路有唯一解。

［I1=0.1A］图13-22

4.在图13-23(a)所示电路中，已知Is=10A，is(t)=sintA，

，非线性电阻R的伏安特性为。试求非线性电阻两端的电压u(t)。

提示：由于交流电流源的输出电流幅值为1A，它远小于直流电流源的值10A，因此可以采用小信号分析法来求解。

先求出Is单独作用时的(静态)工作点U0=2V，然后求出非线性电阻在工作点的动态电导