《电工基础》课件第4章

技能训练九示波器、信号发生器的认识技能训练十交流电路元件(R、L、C)电压与电流关系的测试技能训练十一RL、RC串联电路的研究

技能训练十二提高感性负载功率因数的研究4.1正弦交流电的基本概念4.2正弦量的相量表示法4.3单一参数正弦交流电路的分析4.4基尔霍夫定律的相量形式4.5RLC串联电路及复阻抗4.6RLC并联电路及复导纳4.7阻抗的串联与并联4.8功率因数的提高

小结

习题四

1.训练目的

(1)通过本训练，熟悉信号发生器、示波器等常用仪器设备的结构、使用方法。

(2)通过本训练，能够会用常用的仪器仪表测量交直流电流、交直流电压、非正弦波的波形及峰值(Up-p)等。技能训练九示波器、信号发生器的认识

2.原理说明

1)示波器

示波器是利用电子示波管的特性，将人眼无法直接观测的交变电信号转换成图像，显示在荧光屏上以便测量的电子测量仪器。它是观察数字电路实验现象、分析实验中的问

题、测量实验结果必不可少的重要仪器。示波器的组成如训练图9-1所示。训练图9-1示波器组成框图示波器使用前的注意事项：

(1)电源电压应为220V±10％。

(2)环境温度为0～+40℃，湿度≤90％(+40℃)，工作环境无强烈的电磁场干扰。

(3)不应输入超过技术参数所规定的电压。

(4)辉度不宜过亮，以免损坏屏幕。

下面介绍双踪示波器的主要用途。

(1)电压测量。

该仪器可以对被测波形进行电压测量，正确的测量方法虽因测试波形的不同有所差异，但测量的基本原理是相同的。在一般情况下，被测试波形同时含有交流和直流分量，有时需测量两种分量的合成值，有时只需测量其中一种分量。

(2)时间测量。

用示波器可精确测量各种信号的时间参数。这是因为示波器在荧光屏X轴方向上的扫描速度是定量的，即格(div)代表的时间是定量的。

(3)相位测量。

利用双踪示波器的双迹功能可测量两个同频率信号间的相位差。这种测量可能使用到垂直系统的频率极限。可用下列步骤来进行相位比较。相位测量的步骤如下：

①预置仪器控制件获得光迹基线，然后将垂直方式开关置于“ALT”(频率低时可用“CHOP”)，触发源置于“垂直”。

②根据耦合要求，两个“耦合方式”开关应置于相同位置。

③用两根具有相同时间延迟的探极或同轴电缆，将两个被测信号输入CH1和CH2，并使波形稳定。④调整CH1和CH2的信号，使两踪波形均移到上下对称于0—0′轴上，读出A、B，则相位差Φ=(A/B)×360°，如训练图9-2所示。训练图9-2相位测试图

2)函数信号发生器

函数信号发生器面板如训练图9-3所示。其使用方法如下：(1)打开电源开关(LINE)，函数信号发生器开始工作，数码管显示屏(LED)显示当前状态下输出信号的频率。训练图9-3函数信号发生器面板

注意：显示的频率单位是kHz。

(2)将波形选择开关打到欲使用的波形位置(正弦波、三角波或方波)。

(3)通过频率调节旋钮和挡位选择开关进行频率调节。如果挡位开关打在10Hz挡位上，那么调节上面的频率调节旋钮(FREQ)，可在(2×10~22×10Hz)的范围调整输出信号的频率。在不同的挡位，得到的频率范围也不同。

(4)通过幅值调节旋钮(AMP)调节输出信号的幅值。本发生器最大输出信号电压为空载20V。

(5)右下角的信号衰减开关一般放在“0”的位置上。当打到“20”或“40”位置上时，输出信号的幅值衰减20dB或40dB。

(6)占空比调节旋钮仅在产生方波时才起作用。

(7)函数信号发生器下方的端子VCO为压控振荡器的输入，TTL为信号同步输出，OUTPUT为信号输出。

(8)在使用过程中，要避免输出端短路，并且在改变信号输出频率的同时，也应检测信号的幅值是否发生变化，若有变化应调到要求的数值。3.训练设备

(1)数字万用表

(2)函数信号发生器

(3)双踪示波器

4.训练内容

(1)了解函数信号发生器的结构、使用方法及注意事项。(2)了解双踪示波器的结构、使用方法及注意事项。

(3)进行下列练习：

①调出函数信号发生器一个信号，用双踪示波器观察：正弦波，Up-p=500mV，f=1kHz；用万用表测其电压的有效值。

②调出函数信号发生器一个信号，用双踪示波器观察：方波，Up-p=100mV，f=5kHz，占空比25%。

③调出函数信号发生器一个信号，用双踪示波器观察：三角波，Up-p=2V，f=10kHz，用示波器读出其周期，与计算值进行比较。

5.训练注意事项

双踪示波器新购或久置复用时，应使用机器内部校准信号进行自身检查。

6.思考题

(1)使用函数信号发生器与双踪示波器信号探头的两个夹子(或一钩一夹)时应注意什么？

(2)尽可能多地分析一下在双踪示波器上观察不到波形时的原因。

7.训练报告内容

(1)整理训练数据，分析误差产生的原因。

(2)画出由双踪示波器看到的各种波形图。1.训练目的

(1)掌握交流电压表、交流电流表和单相调压器的使用。

(2)测定电感、电阻和电容元件的伏安特性。技能训练十交流电路元件(R、L、C)

电压与电流关系的测试

2.原理说明

(1)在交流电路中，通过元件的电流有效值和加于该元件两端电压有效值之间的关系U=f(I)，称为交流伏安特性。交流伏安特性应在固定的电源频率下测定。技能训练中使用的是电压为220V、频率为50Hz的交流电源。利用单相调压器可调整交流电源的输出电压。

(2)当元件的参数为常数时称该元件为线性元件，如电阻元件、电容元件和空芯电感线圈等。线性元件的交流伏安特性曲线是通过坐标原点的一直线。

(3)具有铁芯的线圈(如交流电磁铁和变压器)，由于铁磁材料的磁化特性，当线圈中通过电流时，铁芯中将产生很强的附加磁场，其磁感应强度(B)和磁通(Ф)均大大增强，根据电感定义，L=Ψ／I=NФ／I。可见具有铁芯线圈的电感，将大于空芯线圈的电感。

铁芯材料具有磁饱和特性，其磁化曲线B=f(H)如训练图10-1所示。因为铁芯线圈的电流I和磁通Φ之间必须满足铁芯的磁化曲线所确定的关系，而且铁芯线圈的外加电压的有效值U和磁通最大值ΦM是成正比的，所以铁芯线圈的伏安特性曲线与磁化特性曲线一样，也呈饱和特性，如训练图10-2所示。因此铁芯线圈的电感量并非常数，它与通过线圈的电流大小有关，是非线性元件。训练图10-1磁化曲线图训练图10-2伏安关系图

3.训练设备

(1)单相调压器R600型 (2)交流电压表T19—V型

(3)交流电流表T25—A型 (4)滑线变阻器BX7—13型(5)电容元件C=10μF (6)铁芯线圈(镇流器)

(7)空芯线圈

4.训练内容

按训练图10-3接线，分别测出电阻、空芯线圈(内阻55Ω)、铁芯线圈(内阻50Ω)和电容元件上的电压和电流。训练图10-3接线图

(1)电阻性电路：调节单相调压器的输出电压分别为30V、35V、40V、45V和50V，测出电阻两端的电压和通过电阻支路的电流，分别记入自拟的表格中。

(2)空芯线圈电感性电路：调节单相调压器的输出电压分别为30V、35V、40V、45V和50V，测出电感两端的电压和通过电感支路的电流，分别记入自拟的表格中。

(3)铁芯线圈电感性电路：先用万用表的欧姆挡测出铁芯线圈内阻，再调节单相调压器的输出电压分别为100V、150V、200V、220V和250V，测出电感两端的电压和通过电感支路的电流，分别记入自拟的表格中。

(4)电容性电路：调节单相调压器的输出电压分别为100V、150V、200V、220V和250V，测出电容两端的电压和通过电容支路的电流，分别记入自拟的表格中。

5.训练注意事项

数据测量完毕后，应切断电源，但不要急于拆除线路。首先检查有无遗漏和分析操作是否正确，然后将测量数据送老师检查，经老师检查无误后方可拆除线路进行整理工作。

6.思考题

比较空芯线圈电感性电路和铁芯线圈电感性电路的不同。

7.训练报告内容

(1)根据表格中的数据在同一坐标系做出R、L、C元件的伏安特性，即U=f(I)曲线。

(2)根据表格中的数据计算R、XL、XC。

(3)分析、总结实验结果。

1.训练目的

(1)通过训练进一步理解电阻、电感和电容的频率特性；

(2)学会用双踪示波器观察电压和电流波形，并会利用波形图计算两个正弦量之间的相位差。技能训练十一RL、RC串联电路的研究

2.原理说明

正弦交流电可用三角函数来表示，即由幅值(有效值或最大值Im)、频率(或角频率ω=2πf)和初相位三要素来决定。

在正弦稳态电路的分析中，由于电路中各处的电压和电流都是同频率的交流电，所以电流和电压可用相量=U∠φu、=∠φi来表示(U、I——有效值，φu、φi——初相位)。电路中端口电流和电压的关系用阻抗Z描述，即Z=

/

=|Z|∠φZ=R+jX，是一个复数，所以又称为复阻抗。阻抗的模|Z|=U/I；阻抗的辐角φZ=φu-φi为此端口电压与电流的相位差。

3.训练设备

(1)函数信号发生器1台 (2)电阻1个51Ω

(3)220Ω电位器 1只 (4)电感1个20mH

(5)数字万用表 1只(6)电容1个1μF

(7)双踪示波器 1台 (8)桥形连接插头和导线

若干

4.训练内容

1)R、L串联电路

(1)按训练图11-1接线，调节信号发生的输出电压，使输出US=1V，f=2500Hz(信号电压以示波器测量的为准)。训练图11-1接线图

(2)接通双踪示波器，将Y1的光标定在离显示屏顶部2cm处，将Y1的波段开关调至0.5V/cm，将Y2的光标定在离显示屏底部2cm处，将Y2的波段开关调至0.5V/cm。

注意：凡今后技能训练中需要使用示波器时，应首先将所需通路的光标定位。

(3)用双踪示波器观察UR1、UL，将观察到的波形绘制在坐标纸上，从波形上测出UL与I的相位差(即UL1与UR1的时间差t)=

ms，折算成相位差=

。将相关数据填入训练表11-1中。训练表11-1

2)R、C串联电路

(1)按训练图11-2接线，调节信号发生器的输出电压，使输出US=1V，f=2500Hz(信号电压以示波器测量的为准)。

(2)接通双踪示波器，将Y1的光标定在离显示屏顶部2cm处，将Y1的波段开关调至0.5V/cm，将Y2的光标定在离显示屏底部2cm处，将Y2的波段开关调至0.5V/cm。训练图11-2接线图

(3)用双踪示波器观察UR1、UC，将观察到的波形绘制在坐标纸上。从波形上测出：UC与I的相位差(即UC与UR1的时间差t)=

ms，折算成相位差=

。将相关数据填入训练表11-2中。训练表11-2

5.训练注意事项

(1)数字万用表、函数信号发生器与双踪示波器是常用电工仪器仪表，对其应达到熟练使用的程度。

(2)由双踪示波器读出的电压是信号的峰值电压，万用表测出的电压是信号的有效值，根据所学的知识，看一下它们之间的关系是否与测量的数据一致。

6.思考题

根据本训练中给定的电路各参数，将计算结果与测量数据进行比较，看看误差大不大？分析一下是什么原因。

7.训练报告内容

(1)根据训练数据计算L、C的值，计算结果与标定值是否一致？

(2)整理训练数据，分析误差产生的原因。

(3)画出由双踪示波器看到的各种波形图。

1.训练目的

(1)研究提高感性负载功率因数的方法和意义。

(2)进一步熟悉和掌握交流仪表和自耦调压器的使用。

(3)进一步加深对相位差等概念的理解。技能训练十二提高感性负载功率因数的研究

2.原理说明

供电系统由电源(发电机或变压器)通过输电线路向负载供电。负载通常有电阻性负载，如白炽灯和电阻加热器等，及电感性负载，如电动机、变压器和线圈等。一般情况下，

这两种负载会同时存在。由于电感性负载有较大的感抗，因而功率因数较低。

若电源向负载传送的功率P=UIcosφ，当功率P和供电电压U一定时，功率因数cosφ越低，线路电流I就越大，从而增加了线路电压降和线路功率损耗。若线路总电阻为Rl，则线路电压降和线路功率损耗分别为ΔUl=IRl和ΔPl=I2Rl；另外，负载的功率因数越低，表明无功功率就越大，电源就必须用较大的容量和负载电感进行能量交换，电源向负载提供有功功率的能力就必然下降，从而降低了电源容量的利用率。因而，为提高供电系统的经济效益和供电质量，必须采取措施提高电感性负载的功率因数。提高电感性负载功率因数的方法，通常是在负载两端并联适当数量的电容器，使负载的总无功功率Q＝QL－QC减小，在传送的有功率功率P不变的情况下，使功率因数提高，线路电流减小。当并联电容器的QC＝QL时，总无功功率Q＝0，此时功率因数cosφ＝1，线路电流I最小。若继续并联电容器，反而导致功率因数下降，线路电流增大，这种现象称为过补偿。

用三表法测量电源电压U、负载电流I和功率P，用公式

λ=cosφ=可以测量、计算出负载功率因数。本训练使用的电感性负载是铁芯线圈，由220V交流电源经自耦调压器调压供电。

3.训练设备

(1)交流电压表、电流表和功率表。

(2)自耦调压器(输出交流可调电压)。

(3)ＥＥＬ—55A组件(含白炽灯220V、40W，日光灯40W、镇流器，电容器４.3μＦ、2.2μＦ／４００Ｖ)。

4.训练内容

1)日光灯电路的连接和测量

测量电路如训练图12-1所示。首先把自耦调压器手柄调到零位，断开电容器支路的开关S，仔细检查电路。接通电源，调节自耦调压器的输出电压为220V(日光灯额定电压)，点亮日光灯后，测量并记下此时的电流I、镇流器两端电压UL、灯管两端电压UR、日光灯的总功率P，将数据记入训练表12-1中。

合上电源开关，观察电流表在启动瞬间和日光灯亮点后的变动情况，记下灯管启动时的启动电流I启。训练图12-1接线图

2)感性负载功率因数的提高

分别取C=1μF、2.2μF、3.2μF、4.3μF、5.3μF，合上电容支路的开关S1，接通电源并使用电压U为额定值，重新测量I、UL、UR、P、IRL，并测量电容支路的电流IC，把测量结果记入训练表12-1中。训练表12-1

5.训练注意事项

(1)功率表要正确接入电路，通电时要经指导教师检查。(2)注意正确使用自耦调压器。

(3)本训练用电流插头和插座测量3条支路的电流。

6.思考题

根据训练数据，计算出日光灯和并联不同电容器时的功率因数，并说明并联电容器对功率因数的影响。

7.训练报告内容

(1)根据训练表12-1中的电流数据，说明I＝IC＋IRL吗？为什么？

(2)总结提高功率因数的方法。前面已介绍了直流电路。直流电路中的电压和电流的大小和方向都不随时间变化，但实际生产中广泛应用的是一种大小和方向随时间按一定规律周期性变化且在一个周期内的

平均值为零的周期电流或电压，叫做交变电流或电压，简称交流。如果电路中电流或电压随时间按正弦规律变化，叫做正弦交流电路。4.1正弦交流电的基本概念正弦交流电容易进行电压变换，便于远距离输电和安全用电，所以在实际中得到了广泛的应用。工程中一般所说的交流电，通常都指正弦交流电。

本章的主要内容有：正弦量的基本概念及表示，交流电路中基本元件的特性，一般交流电路的分析，交流电路的功率和功率因数的提高等。4.1.1正弦交流电的特征参数

1.交流电的函数表示和波形图

大小随时间按一定规律做周期性变化且在一个周期内平均值为零的电流(电压、电动势)称为交流电。交流电的变化形式是多种多样的。随时间按正弦规律变化的电流(电压、

电动势)称为正弦电量，或称为正弦交流电(简称交流电)。图4-1-1所示的波形图对应的数学表达式如下：

i=Imsin(ωt+φ)

(4-1)图4-1-1正弦交流电流波形

2.交流电的参数

以电流为例，图4-1-1所示为正弦电流的波形，它表示了电流的大小和方向随时间做周期性变化的情况。

1)最大值

正弦交流电在周期性变化过程中，出现的最大的瞬时值称为交流电的最大值。从正弦波的波形上看为波幅的最高点，所以也称幅值。正弦交流的最大值即式(4-1)中的Im。正弦量的一个周期内，两次达到同样的最大值，只是方向不同。

2)周期

所谓周期，就是交流电完成一个循环所需要的时间，用字母Ｔ表示，单位为秒(s)。单位时间内交流电变化所完成的循环数称为频率，用f表示，据此定义，频率与周期值互为倒数，即

(4-2)频率的单位为1／秒(1/s)，又称为赫兹(Hz)，工程实际中常用的单位还有kHz、MHz及GHz等，它们的关系为1kHz(千赫)=103Hz，1MHz(兆赫)=106Hz，1GHz(吉赫)=109Hz。相应的周期单位为ms(毫秒)、μs(微秒)、ns(纳秒)。工程实际中，往往也以频率区分电路，例如高频电路、低频电路。我国和世界上大多数国家，电力工业的标准频率即所谓的“工频”是50Hz，其周期为0.02s，少数国家(如美国、日本)的工频为60Hz。在其他技术领域中也用到各种不同的频率。声音信号的频率约为20～20000Hz，广播中波段载波频率为535～1605Hz，电视用的频率以MHz计，高频炉的频率为200～300kHz，中频炉的频率是500～8000Hz。正弦量解析式中的角度(ωt+φ)叫做正弦量的相位角，简称相位。正弦量在不同的瞬间t，有着不同的相位，对应的值(包括大小和正负)也不同，随着时间的推移，相位逐渐增加。相位每增加2πrad(弧度)，正弦量经历了一个周期，又重复原先的变化规律。为了简明起见，在电路分析中i(t)、u(t)常用i、u表示。正弦量相位增加的速率

(4-3)叫做正弦量的角频率。其单位为rad/s(弧度/秒)。

因为正弦量每经历一个周期T的时间，相位增加2πrad，所以正弦量的角频率ω、周期T和频率f三者的关系为

(4-4)

ω、T、f三者都反映了正弦量变化的快慢，3个量中只要知道一个，其他两个物理量就可以求得。例如，我国工业和民用电的频率f=50Hz(称为工频)，其周期T=1/50=0.02s，角频率ω=314rad/s。ω越大，即f越大或T越小，正弦量循环变化越快；ω越小，即f越小或T越大，正弦量循环变化越慢。直流量可以看成ω=0(即f=0，T=∞)的正弦量。

3)初相位

t=0时正弦量的相位，叫做正弦量的初相位，简称初相，用φ表示。计时起点选择不同，正弦量的初相不同。一般规定－π＜φ＜π，即其绝对值不超过π。如φ=320°，可化

为φ=320°-360°=-40°。t=0时正弦量的值为i(0)=Imsinφi。综上所述，如果知道一个正弦量的振幅、角频率(频率)和初相位，就可完全确定该正弦电量，即可用数学表达式或用波形图将它表示出来。所以称这3个量为正弦量的三要素。

4)相位差

两个同频率正弦量

u=Umsin(ωt+φu)

i=Imsin(ωt+φi)

相位分别为ωt+φu，ωt+φi，其相位差Δφ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi，即它们的初相位之差。

注意：只有两个同频率的正弦量才能比较相位差。初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，称这样的两个正弦量同相。同相的两个正弦量同时达到零值，同时达到最大值。称相位差为π的两个正弦量反相。反相的两个正弦量各瞬间的值都是异号的，并同时为零。如图4-1-2所示，i1与i2同相，i2与i3反相。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零。例如：φui=φu-φi=60°，我们就称u比i超前60°(或称i比u滞后60°)。超前的时间为。应当注意，当两

个同频率正弦量的计时起点改变时，它们的初相跟着改变，初始值也改变，但是两者的相位差保持不变，即相位差与计时起点的选择无关。习惯上，规定相位差的绝对值不超过π。

上述u与i的波形如图4-1-3，计时起点不同，初相位不同。图4-1-2同相与反相的电流图4-1-3u(t)与i(t)的初相位不同

例4-1

一正弦交流电，最大值为311V，t=0时的瞬时值为269V，频率为50Hz，写出其解析式。

解设该正弦电流的解析式为

u=Umsin(ωt+φ)

因为ω=2πf=2π×50=314rad/s，又已知t=0时，u(0)=269V和Um=311V，即

269=311sinφ，sinφ=0.866所以φ=60°或φ=120°，故解析式为

u=311sin(314t+60°)V

或

u=311sin(314t+120°)V

例4-2

分别写出图4-1-4中电流i1、i2的相位差，并说明i1与i2的相位关系。图4-1-4例4-2图

解

(a)由图知φ1=0，φ2=90°，φ12=φ1－φ2=－90°，表明i1滞后于i290°。

(b)由图知φ1=φ2，φ12=φ1－φ2=0°，表明二者同相。

(c)由图知φ1－φ2=π，表明二者反相。

(d)表明

。4.1.2正弦交流电的有效值

上面已介绍了正弦量的瞬时值和最大值，它们都不能确切反映在能量转换方面的效果，为此，引入有效值。在日常生活和生产中提到的220V、380V及常用于测量交流电压和交流电流的各种仪表所指示的数值，电气设备上的额定值都指的是交流电的有效值。交流电的有效值是根据它的热效应而定义的。某一电阻组件R，周期电流i在其一个周期T秒内流过该电阻产生的热量与某一直流电流在同一时间T内流过该电阻产生的热量相等，则这个周期电流的有效值在数值上等于这个直流量的大小。有效值用大写字母表示，如I、U等。

一个周期内直流电流通过电阻R所产生的热量为

Q=I2RT交流电流通过同样的电阻R，在一个周期内所产生的热量为

Q=

i2Rdt

根据定义，这两个电流所产生的热量相等，即

I2RT=

i2Rdt(4-5)

故交流电的有效值为

(4-6)I=

对于交流电压也有同样的定义，即

(4-7)

当电阻R上通一正弦交流电流i=Imsinωt时，由有效值定义可知

(4-8)I=

同样，正弦电压的有效值为

(4-9)因此正弦量的解析式也可以写为

(4-10)

(4-11)一般电器设备上所标明的电流、电压值都是指有效值。使用交流电流表、电压表所测出的数据也多是有效值。但在分析整流器的击穿电压、计算电气设备的绝缘耐压时，要按交流电压的最大值考虑。

例4-3

一个正弦电压的初相为60°，有效值为110V，试求它的解析式。

解因为U=100V，所以其最大值为110V，故电压的解析式为

u=100sin(ωt＋60°)

例4-4

照明电源的额定电压为220V，动力电源的额定电压为380V，问它们的最大值各为多少?

解额定电压均指有效值，据式(4-9)

Um=

U

故照明电的最大值

Um=

×220V=311V

动力电的最大值

Um=

×380V=537V4.2.1复数及其运算规则

直接用正弦量的解析式或波形分析计算正弦交流电路，计算量大且比较麻烦。在线性交流电路中，所有的电流和电压与电路所施加的激励是同频率的正弦量。因此，可以用一

种简便的表示方法来分析交流电路，常用的方法为相量表示法，由于相量法要涉及到复数的运算，因此先简单复习复数的概念。4.2正弦量的相量表示法在数学中常用A=a+bi表示复数。其中i表示虚单位，在电工技术中，为了区别于电流的符号，虚单位用j表示。

1)复数的4种表示形式

(1)复数的代数形式

A=a+jb

(2)复数的三角形式

A=rcosθ+jrsinθ

(3)复数的指数形式

A=rejθ

(4)复数的极坐标形式

A=r∠θ

其中，a表示实部，b表示虚部，r表示复数的模，θ表示复数的辐角，它们之间的关系如下：

r=

θ=arctan

a=rcosθ

b=rsinθ

2)复数的运算

(1)复数的加减运算。设

A1=a1+jb1,A2=a2+jb2

则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)

(2)复数的乘除运算。设

A1=r1∠θ1,A2=r2∠θ2

则

在电路分析时常用代数形式和极坐标形式。

例4-5

已知复数A1=2+j2，A2=1-j，试求A1+A2，A1-A2，A1×A2，。

解因为A1=2+j2=2∠45°,A2=1-j

=2∠-60°所以

A1+A2=(2+1)+j(2-

)=3+j0.268

A1-A2=(2-1)+j(2+

)=1+j3.732

A1×A2=2

×2∠45°-60°=4∠-15°

4.2.2正弦量的相量表示法及其运算规则

用相量表示正弦交流电的方法是：在直角坐标系中画一个旋转矢量，如图4-2-1所示。

该矢量的长度等于正弦交流电的最大值(或有效值)，与横轴正向的夹角等于正弦交流电的初相位，并且以正弦交流电的角频率ω为角速度做逆时针旋转。该旋转矢量每个瞬间在虚轴上的投影就与该正弦量各瞬间的值相对应。如果将纵

轴改为虚轴，横轴作为实轴，则该矢量可以表示成一个复数，这个复数即称为相量。图4-2-1旋转矢量图所谓相量表示法，就是用模值等于正弦量的最大值(或有效值)、辐角等于正弦量的初相的复数表示相应正弦量的方法。这样的复数就叫做正弦量的相量。

相量的模等于正弦量的有效值时，叫做有效值相量，用、等表示。相量的模等于正弦量的最大值时，叫最大值相量，用、等表示。

如正弦交流电流i和电压u的瞬时值表达式分别为

习惯上多采用正弦量的有效值相量的极坐标形式，即

(4-12)

在进行运算时，也用到其三角式，即

把同频率正弦量的相量画在复平面上所得的图叫做相量图。把不同频率的正弦量的相量画在同一复平面上，是没有意义的。

例4-6

已知同频率的正弦电流和电压的解析式分别为i=10sin(ωt+30°)A，u=220sin(ωt-45°)V，试写出电流和电压相量、，并绘出相量图。图4-2-2例4-6图

解由解析式可得

其相量图如图4-2-2所示。

在电路的分析计算中，会碰到求正弦量的和差问题，可以借助三角函数及其波形来确定所得的正弦量，但这样做既不方便也不易准确。由数学可知：同频率的正弦量相加或相减所得结果仍是一个同频率的正弦量，且有：正弦量的和的相量，等于正弦量的相量和。设正弦量i1、i2的相量分别为、，则i=i1+i2的相量

这个定理可以按平行四边形法则证出，本书从略。根据这个定理，求正弦量的和、差问题就转化为求复数的和、差或复平面上矢量的和、差问题，电路中的计算问题就比较简单。显然，把不同频率正弦量的相量相加是没有意义的。

在电路分析计算时，通常先做相量图进行定性分析，然后利用复数计算具体结果，最后再将结果转换成对应的瞬时值表达式。该种方法被称为相量图辅助分析法。

例4-7

已知i1=3

sinωtA，i2=4

sin(ωt+90°)A，若i=i1+i2，求和i。

解用相量计算，=3∠0°A，=4∠90°A

=3∠0°+4∠90°

=3cos0°+j3sin0°+4cos90°+j4sin9

=3+j4

=5∠53.1°A所以

i(t)=5sin(ωt+53.1°)A

例4-8

图4-2-3所示为交流电路中某一回路，已知u1=10sinωtV,u2=16sin(ωt+90°)V，求u3。

图4-2-3例4-8图

解由KVL可得

u1+u2-u3=0或u3=u1+u2

而

=10∠0°V=10V

=16∠90°=j16V

则有

所以

u3=18.87sin(ωt+57.99°)V4.3.1电阻元件正弦交流电路的分析

在交流电路的分析中，对于元件上各量的参考方向，一般不加说明，仍遵循在直流电路中的约定，即电流和电压的方向为关联参考方向。电阻组件的关联参考方向、波形图和

相量图如图4-3-1(a)所示。4.3单一参数正弦交流电路的分析图4-3-1纯电阻电路(a)电阻元件的关联参考方向、波形图和相量图;(b)电阻元件的电流、电压波形及功率设电阻元件R上的电流i与其两端的电压u为关联参考方向，则该电阻元件上电压、电流的瞬时值仍遵从欧姆定律，即有

(4-13)

下面分析正弦交流电路中的电阻元件。

1.电压与电流关系

在交流电路中，凡电阻起主要作用的负载如白炽灯、电烙铁、电炉、电阻器等，其电感很小，可忽略不计，可把这样的负载称为电阻元件。仅由电阻元件构成的交流电路称为纯电阻电路。

设通过电阻元件的正弦电流i=I

sin(ωt+φi)，则与该电流关联的电阻元件的电压为

其中

(4-14)

即电阻元件电压、电流的有效值仍遵从欧姆定律，且同相。

将式(4-14)写成相量式:

(4-15)

U=RI

由式(4-15)可以看出：

(1)电阻元件的电流和电压瞬时值、最大值、有效值关系都遵从欧姆定律。

(2)电阻元件的电流与电压同相，如图4-3-1(a)所示。

2.纯电阻电路的功率

电阻元件是一耗能元件。在正弦交流电路中，其消耗的功率是随时间变化的，如图4-3-1(b)所示。电阻元件在某一时刻的功率称为瞬时功率，设φi=0，则把瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，即

(4-16)

(4-17)

式(4-14)、(4-16)和(4-17)中公式的形式，与直流电路中相应公式的形式完全相同，但公式中符号的意义完全不同，此处U、I均指正弦量的有效值。

例4-9有一个220V、40W的白炽灯，其两端电压u=311sin(314t+30°)V。试求：

(1)通过白炽灯电流的相量和瞬时值表达式；

(2)每天使用4h，每kW·h收费0.45元，每月(30天)应付的电费。

解

(1)白炽灯属于电阻性负载，电压的相量表达式为

电流的相量表达式为

=0.182∠30°

电流的瞬时值表达式为

每月消耗的电能为

W=Pt=40×4×30=4.8kW·h

则每月应付电费

4.8×0.45=2.16元4.3.2电感元件连接形式及其正弦交流电路的分析

1．电感元件连接

电路中电感元件经常以导线绕成的线圈形式出现。当电流通过线圈时，线圈周围就建立了磁场，根据电磁感应定律，在电压、电流关联参考方向下，线圈的端电压与电流的

变化率成正比，即

(4-18)上式说明，变化的电流流过电感时产生电压降。在直流电路中，电流不变化，理想电感元件上的电压降为零，相当于短路。

图4-3-2(a)所示为电感串联电路，各电压、电流参考方向关联，由电感元件的电压、电流关系知

，

，

。由KVL可知电路端口电压为

即电感串联后的等效电感为各串联电感之和:

L=L1+L2+L3

(4-19)图4-3-2(b)所示为电感并联电路。利用电感元件上电压、电流的关系知:

由KCL得

i=i1+i2+i3端口电压

即电感并联电路的等效电感的倒数等于并联各电感倒数之和，即

(4-20)图4-3-2电感连接电路

2．电压、电流关系

如图4-3-3(a)所示，电感元件的电压、电流为关联参考方向。

设通过电感元件的正弦

电流为

图4-3-3纯电感电路则电感元件的电压为

所以

U=ωLI

(4-21a)或

Um=ωLIm

(4-21b

φu=φi+90°(4-22a)

或

φui=φu-φi=90°(4-22b)电压的相量表达式为

式中，ωL称为电感元件的感抗，用XL表示，即XL=ωL=2πfL，单位为欧姆(Ω)。XL与ω成正比，频率愈高，XL愈大，在一定电压下，I愈小；在直流情况下，ω＝0，XL=0，则电感元件在交流电路中具有通低频、阻高频的特性。电压的相量表达式还可写为

(4-23)式(4-23)即为电感元件在正弦交流电路中电压、电流的相量关系式。

电感元件在正弦交流电路中电压、电流的相量图如图4-3-3(b)所示。

由式(4-23)可知：

(1)电感元件的电压和电流的最大值、有效值之间符合欧姆定律形式。

(2)电感元件的电压相位超前电流相位90°。3．纯电感电路的功率

设φi=0，纯电感电路的瞬时功率为

瞬时功率是以两倍于电流的频率、按正弦规律变化的，最大值为UI＝I2XL，其波形如图4-3-3(c)所示。

从瞬时功率的波形可以看出，在第1个T/4和第3个T/4时间内，U与I同方向，P为正，电感从外界吸收能量，线圈起负载作用；在第2个T/4和第４个T/4时间内，U与I反向，P为负值，电感向外释放能量，即把磁能转换为电能。电感元件放出的能量等于其吸收的能量，故电感元件是储能元件，只与外电路进行能量交换，本身不消耗能量。因此，电感元件在一个周期内的平均功率为零。这一点可由正弦函数的对称性，利用积分的概念加以证明。本书从略。

为了衡量电感元件与外界交换能量的规模，引入电感元件无功功率QL的概念，即

(4-24)这里，“无功”的含义是“功率交换而不消耗”，并不是“无用”。无功功率的单位是var(乏)或kvar(千乏)。与无功功率相对应，工程上还常把平均功率称为有功功率。

例4-10

电路如图4-3-4所示，直流电压源US=8V，R1=1Ω，R2=R3=6Ω，L=0.1H，电路已经稳定。求L的电流和磁场储能。

解电路直流稳定状态时，电感相当于短路，电路总电阻为

图4-3-4例4-10图则

电感电流为

电感储存的磁场能量为

例4-11

一个线圈电阻很小，可略去不计。电感L=35mH，求该线圈在50Hz和1000Hz交流电路中的感抗。若把该线圈接在U=220V、f=50Hz的交流电路中，电流I、有功功

率P和无功功率QL各是多少？

解

(1)f=50Hz时

XL=2πfL=2π×50×35×10-3≈11Ωf=1000Hz时

XL=2πfL=2π×1000×35×10-3≈220Ω

(2)当U=220V，f=50Hz时

电流

有功功率

P=0

无功功率

QL=UI=220×20=4400var4.3.3电容元件连接形式及其正弦交流电路的分析

1．电容元件

在电路中还经常用到另一种电路元件，称为电容器。当两个金属板中间用介质(绝缘材料)隔开时，便组成电容器。在交流电路中，由于电流方向不断发生变化，电容上存储

的电荷量也随着变化。根据电流的定义，流过电容的电流等于其电荷量的变化率，故有

(4-25)上式说明，流过电容的电流与电容两端电压的变化率成正比。

1)电容并联电路

电容并联电路如图4-3-5(a)所示，设端口电压为u，每个电容的电压都为u，它们所充的电荷量为

q1=C1u,q2=C2u,q3=C3u图4-3-5电容连接电路它们所充的总电荷量为

q=q1+q2+q3=(C1+C2+C3)u

故并联电容的等效电容

(4-26)即并联电容的等效电容等于各个电容之和。

2)电容串联电路

电容串联电路如图4-3-5(b)所示，由电路可知，

因此，串联电容的等效电容的倒数等于并联各电容倒数之和，即

(4-27)

2．电压、电流关系

如图4-3-6(a)所示，电容元件的电压、电流为关联参考方向。

设电容元件的端电压u=U

sin(ωt+φu)，则电路中的电流为

图4-3-6纯电容电路因此

I=ωCU

(4-28a)

或

Im=ωCUm

(4-28b

φi=φu+90°(4-29a)或

φui=φu-φi=-90°

(4-29b)电流的相量表达式为

式中，称为电容元件的容抗，用XC表示，即

，单位为欧姆(Ω)。XC与ω成反比，频率愈高，XC愈小，电压一定时，I愈大；在直流情况下，ω＝0，XC=∞。

电容元件在交流电路中具有隔直、通交和通高频、阻低频的特性。电容元件电压的相量表达式还可写为

(4-30)该式为电容元件在正弦交流电路中电流、电压的相量关系式，图4-3-6(b)所示为电流、电压的相量图(设φi=0，则φu=-90°)。

由式(4-30)可知：

(1)电容元件的电压和电流的最大值、有效值符合欧姆定律。

(2)电容元件的电流相位超前电压相位90°。

3．纯电容电路的功率

设φi=0，纯电容电路的瞬时功率为

与纯电感电路的瞬时功率相似，纯电容电路瞬时功率也是以两倍于电流的频率、按正弦规律变化的，其最大值为UI＝I2XC，其波形如图4-3-6(c)所示。从瞬时功率的波形可以看出，在第一个和第三个内，u与i反向，p为负值，即电容元件释放能量，但在第二和第四个内，u与i同方向，p为正值，即电容吸收能量，P为正。由曲线的对称性可知，吸收的能量与释放的能量相同，因此电容元件是储能元件。同理，电容的平均功率为零，电容的无功功率为

(4-31)电容元件的无功功率为负值，表明它与电感转换能量的过程相反，电感吸收能量时，电容释放能量，反之亦然。

例4-12

电路如图4-3-7所示，R1=4Ω，R2=R3=R4=2Ω，C=0.2F，IS=2A，电路已经稳定。求电容元件的电压及储能。图4-3-7例4-12图

解电路稳定时，电容相当于开路，则

电容电压为

UC=UBD=R3I+R4IS=(2×1+2×2)=6V

电容储存的电场能量为

例4-13流过0.5F电容的电流i=sin(100t-30°)A，求关联参考方向下，电容的电压u和无功功率QC。

解用相量关系求解:

4.4.1基尔霍夫电压定律的相量形式

根据能量守恒定律，基尔霍夫电压定律也同样适用于交流电路的任一瞬间，即同一瞬间，电路的任一个回路中各段电压瞬时值的代数和等于零，即

∑u=04.4基尔霍夫定律的相量形式在正弦交流电路中，各段电压都是同频率的正弦量，所以表示一个回路中各段电压相量的代数和也等于零，即

(4-32)

这就是相量形式的基尔霍夫电压定律(KVL)。4.4.2基尔霍夫电流定律的相量形式

基尔霍夫电流定律的实质是电流的连续性原理。在交流电路中，任一瞬间电流总是连续的，因此，基尔霍夫定律也适用于交流电路的任一瞬间，即任一瞬间流过电路的一个节

点(闭合面)的各电流瞬时值的代数和等于零，即

∑i=0正弦交流电路中各电流都是与电源同频率的正弦量，把这些同频率的正弦量用相量表示,即得

(4-33)电流前的正负号是由其参考方向决定的。若支路电流的参考方向流出节点，取正号，流入节点取负号，式(4-33)就是相量形式的基尔霍夫电流定律(KCL)。

例4-14

在如图4-4-1所示电路中，已知电流表、、

、的读数分别是3Ａ、8Ａ、4Ａ，求电路中电流表的读数。图4-4-1例4-14图

解设端电压，选定电流参考方向如图4-4-1所示，则

由KCL得

电流表的读数为5Ａ。

例4-15

如图4-4-2所示电路中，电压表、、的读数都是50Ｖ，试分别求各电路中的读数。图4-4-2例4-15图

解设电流为参考相量，即=I∠0°A。选定i、u1、u2、u3的参考方向如图4-4-2所示，则

由KVL

电压表的读数为50Ｖ。4.5.1

RLC串联电路

1．电流、电压关系

如图4-5-1(a)所示，正弦电流i对应的相量=I∠φi，通过RLC元件，分别产生的电压降为uR、uL、uC，相应的相量为、、，3个元件通过相同电流，每个元件的电流、电压关系如下：

4.5RLC串联电路及复阻抗

而端口总电压u=uR+uL+uC，对应的相量式为

整理得

令，而Z=R+j(XL-XC)=R+jX称为电路的复阻抗，单位为欧姆(Ω)，其中X=XL-XC称为电抗，单位为欧姆(Ω)，故有

(4-34)图4-5-1RLC串联式(4-34)称为相量形式的欧姆定律。RLC串联电路的相量图，如图4-5-1(b)所示(设ＸL>ＸC)。从相量图可以看出，总电压与总电流有一个相位差φ，由图知

若=U∠φu，=I∠φi，则式(4-34)可写为

(4-35)其中，|Z|称为复阻抗的阻抗值;φ称为阻抗角，是电流与电压的相位差。

由此可以看出，通过电路的电流的频率及元件参数不同，电路所反映出的性质也不同。

如果频率和元件参数使得ＸL>ＸC，则Ｘ>0，电压超前电流，电路呈感性，如图4-5-1(b)所示；相反，若ＸL<ＸC，Ｘ<0，电压滞后电流，电路呈容性，如图4-5-1(c)所示；若ＸL=ＸC，X=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，如图4-5-1(d)所示。此时，我们也称电路发生谐振。

2．功率

为了分析方便，取电路电流为参考正弦量，φi=0,φu=φ，则瞬时功率可写为

相应的平均功率或有功功率为

即

P=UIcosφ(4-36a)

对于RLC串联电路，流过电阻、电感、电容3元件的电流相同，因此绘制出的电压、阻抗和功率三角形如图4-5-2所示。图4-5-2电压、阻抗和功率三角形由功率三角形很容易得到无功功率Q和视在功率Ｓ

Q=UIsinφ(4-36b)

S=UI(4-36c)虽然式(4-36)是由串联电路推出的，但它却是计算正弦交流电路功率的一般公式。

由上述可知，交流发电机输出的功率不仅与发电机的端电压及输出电流有效值的乘积有关，还与电路(负载)的参数有关。电路参数不同，电路的性质就不同，电压与电流的相位差也不同，在同样的电压U和电流I之下，电路的有功功率和无功功率也就不同。式(4-36a)中的cosφ称为功率因数。视在功率也称为功率容量，交流电气设备是按照规定的额定电压UN和额定电流IN来设计使用的。变压器的容量就是以额定电压和额定电流的乘积来表示的，即SN=UNIN。

视在功率的单位是V·A(伏安)或kV·A(千伏安)。由功率三角形或式(4-36b)可以得出3个功率之间的关系

(4-37)4.5.2复阻抗

1.复阻抗的计算

(1)直接计算:

Z=R+jXL-jXC=R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

式中，R为电阻，X为电抗，|Z|=为阻抗模值，φ=arctan为阻抗角。

(2)间接计算:

即阻抗模值是电压有效值与电流有效值的比，阻抗角等于电压与电流的相位差。

2.阻抗角与电路性质

(1)当φ>0(XLXC)时，电压超前电流，电路呈感性；

(2)当φ<0(XLXC)时，电流超前电压，电路呈容性；

(3)当φ=0(XL=XC)时，电压与电流同相，电路呈电阻性。

例4-16

有一RLC串联电路，外加电压其中R=30Ω，L=382mH，C=39.8μF，求:

(1)复阻抗Z，并确定电路性质；

(2)、、、。

解

(1)复阻抗

因此，此电路为感性。

(2)

例4-17

日光灯导通后，镇流器与灯管串联，其模型为电阻与电感的串联。一个日光灯电路的电阻R=300Ω、L=1.66H，工频电源的电压为220V，试求灯管电流及其与电源电压的相位差、灯管电压、镇流器电压。

解镇流器的感抗

XL=ωL=314×1.66Ω=521.5Ω电路的复阻抗

Z=R+jXL=(300+j521.5)Ω=601.6∠60.1°Ω

即灯管电压比灯管电流超前60.1°。灯管电流、灯管电压及镇流器电压分别计算如下：

4.6.1RLC并联电路

对如图4-6-1所示电路，根据KCL可得：

4.6RLC并联电路及复导纳图4-6-1RLC并联电路由R

、L

、C三元件的伏安关系得：

即

(4-38)

式中Y=G+jBC-jBL=G+jB称为复导纳。以电压相量为参考相量，可做如图4-6-2所示的相量图。从该图可见，I、IG、IB(IL-IC)三者组成一个直角三角形，称为电流三角形，三者之间满足：

图4-6-2相量图4.6.2复导纳

1.复导纳的计算

(1)直接计算:

Y=G+jBC-jBL

=G+j(BC-BL)

=G+jB

=|Y|∠φ′图4-6-3导纳三角形式中,G为电导，B为电纳，|Y|为导纳模值，φ′为导纳角，G、B和|Y|之间符合导纳三角形关系，如图4-6-3所示。

(2)间接计算:

2.导纳角与电路性质

(1)当φ′>0时，电流超前电压，电路呈容性；

(2)当φ′<0时，电压超前电流，电路呈感性；

(3)当φ′=0时，电压与电流同相，电路呈电阻性。

例4-18

电路如图4-6-4所示。已知U=10V，求各支路电流，并画出相量图。

解令端电压为参考相量，则=10∠0°V。由=Y可得各支路电流分别为

=G

=10∠0°×0.5=5∠0°A

=-jBL

=10∠0°×(-j0.2)=2∠-90°A

=jBC

=10∠0°×j0.4=4∠90°A

并联电路的复导纳为

Y=G-jBL+jBC=0.5-j0.2+j0.4

=0.5+j0.2=0.54∠21.8°S

则总电流为

=Y=0.54∠21.8°×10∠0°=5.4∠21.8°A图4-6-4例4-18图4.7.1阻抗的串联

图4-7-1所示是两个阻抗串联的电路，由基尔霍夫定律可写出其相量表达式：

(4-39)

所以，其等效复阻抗Z=Z1+Z2。4．7阻抗的串联与并联图4-7-1两个阻抗串联

由于U≠U1+U2，即I|Z|≠I|Z1|+I|Z2|，所以|Z|≠|Z1|+|Z2|。由此可见，等效复阻抗等于各个串联复阻抗之和，而阻抗值的关系不成立。一般情况下，等效复阻抗可写为

Z=∑ZK=∑RK+j∑XK=|Z|ejφ

(4-40a)其中

(4-40b)

复阻抗串联时，分压公式仍然成立。以两个阻抗的串联为例，其分压公式为

(4-41)

例4-19

在图4-7-2(a)所示电路中，Z1=6+j9Ω，Z2=2.66-j4Ω，，试计算电路中的电流和各阻抗上的电压，并做相量图。

解由于阻抗串联，有

Z=Z1+Z2=(6+j9+2.66-j4)Ω=(8.66+j5)Ω=10∠30°Ω

所以各阻抗上的电压分别为

做出的相量图如图4-7-2(b