2024届浙江省金华市高三上学期2月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省金华市2024届高三上学期2月期末考试数学试题选择题部分一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，即，解得，则，又，则.故选：D.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.3.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，故，，故，，故，故.故选：B.4.若，则（）A. B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】令，则，即，令，则，即，故，即，故.故选：C.5.某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（）参考数据：若，则A.3173 B.6346 C.6827 D.13654【答案】A【解析】由题意可得，又，故，则80分以上的人数大约是人.故选：A.6.在中，“”是“为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，，所以均为锐角，又，则，且，则为锐角，故为锐角三角形，充分性成立；若为锐角三角形，则，故，故，必要性成立；综上，是“为锐角三角形”的充要条件.故选：C7.若，则最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】因为，所以，设，则，当且仅当时，等号成立.故选：D.8.已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】令，则，故在定义域内单调递增，又，故为奇函数，由，可得，故有，，又在定义域内单调递增且为奇函数，故有，即，即，故，又，即，故.故选：A.二、选择题9.设平面向量，，（）A.若，则 B.若，则C.， D.，使【答案】ABC【解析】A：当时，，故A正确；B：若，，，所以，所以，故B正确；C：，故C正确；D：若，则，等式不成立，故D错误.故选：ABC10.已知函数的图象经过点与，则（）A.是的最大值 B.是的最小值C. D.在单调递增【答案】AC【解析】由函数的图象经过点，故有，即，或，又，故，由函数的图象经过点，故，又，故，对A：，，故A正确；对B，，故B错误；对C：，故C正确；对D：当时，，故D错误.故选：AC.11.已知函数，．（）A.若，则B.若，则C.对于，若，则D.对于，若，则【答案】CD【解析】对A：若，则，，故A错误；对B：若，则，，，故B错误；对C：若，则，，又，故，故，即，即恒成立，故，故C正确；对D：若，则，，又，故恒成立，即，故，即恒成立，故，即，故D正确.故选：CD.12.已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（）A.若，则 B.若，则C.则的面积最小值为 D.则的面积大于【答案】ABD【解析】对于A，如图1，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，又，，则，所以，故A正确；对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，，即，又，则为等边三角形，所以，且，，故B正确；对于C，分两种情况：当点都在第一象限，如图1所示，设，，由焦半径公式可得，，，令，设，且，，当且仅当时取得最小值.当点在第四象限时，如图2所示，设，，则，，所以，同理令，且，，所以，当且仅当时取得最小值，综上，面积的最小值为，故C错误；对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，则，所以，即，，当点在第四象限时，如图2所示，同理可得，即，，综上，的面积大于，故D正确.故选：ABD.非选择题部分三、填空题13.双曲线的渐近线方程为_________．【答案】【解析】由双曲线的相关知识可知：，所以焦点在轴双曲线的渐近线方程为：故答案为：14.已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，所以侧面积.故答案为：.15.某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为______．【答案】0.6【解析】设电价定为元，，则由题意可得，整理可得，又，故，即，故最低的电价可定为.故答案为：.16.直三棱柱中，，，，分别是棱，上一点，且，若三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，则的长为______．【答案】4【解析】如图所示，取、中点、，连接，由题意可得平面且平面，，，在线段上取，由，故，故点、分别是与外接圆圆心，又，平面、平面，故点到三棱锥四个顶点距离相等，点到三棱锥四个顶点距离相等，即点、分别为三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心，则三棱锥的外接球半径为，三棱锥的外接球半径为，由三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，故.故答案为：4.四、解答题17.浙江省普通高中学业水平考试分五个等级，剔除等级，等级的比例分别是，现从当年全省数学学考四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．（1）分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；（2）从样本中用简单随机抽样方法（不放回）抽取4份试卷，记事件为抽取的4份试卷中没有等级的试卷，事件为抽取的4份试卷中有等级的试卷，求．解：（1）由题意可得：，，，，所以样本中A，B，C，D各等级的试卷份数分别是1，3，8，8．（2）因为，，所以.18.记的内角，，的对边分别为，,，已知，．（1）求角；（2）求．解：（1），∴，则．（2）由余弦定理可得，∴，则．19.如图在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，现将绕翻折至的位置，为的中点．（1）求证：平面；（2）当平面垂直于平面时，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：∵在等腰梯形中，，∴，，又为的中点，∴，及均为正三角形，而，∴，∵为的中点，∴，，三点共线，，又为的中点，∴，连接交于，连，易得为的中点，∴为的中位线，∴．又∵平面，平面，故平面；（2）解：∵平面平面，为交线，，又平面∴平面．以，，所在射线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，，，，所以，，设平面的法向量为，则有，令，所以，易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则有．平面与平面夹角的余弦值为.20.已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，（1）求；（2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．解：（1）∵是等差数列，，，∴，．∵，，构成等比数列，∴，化简可得，∴，所以．（2）∵，，，又数列为等比数列，∴，而，∴，∴，所以，设数列的前项和为，则①，②，①②相减得，化简可得又因为等差数列的前项和为，综上可得．21.已知函数在定义域上不是单调函数．（1）求实数的取值范围；（2）若在定义域上的极大值为，极小值为，求的取值范围．解：（1）函数的定义域为，，由得：，设．∵函数不是单调函数，∴在有正实根，又，设的两根为，，则由可得：有两个不相等的正实根，且．（2）由（1）可知：，．令，所以，因为，所以，故．22.已知点是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点，的轨迹分别为，．（1）证明：，有相同的离心率；（2）若直线与曲线交于，，与曲线交于，，与圆交于，，当时，试比较与的大小．（1）证明：设，，由得，∴，即的轨迹方程为，同理可得的轨迹方程为，所以，的离心率均为，（2）解：设，分别为，，联立，消去得，则，，，则，同理可得，，∴，令，，，，当时，，，则，则，因为且，所以，，，所以，所以在上单调递减，所以当时，，所以．.浙江省金华市2024届高三上学期2月期末考试数学试题选择题部分一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，即，解得，则，又，则.故选：D.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.3.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，故，，故，，故，故.故选：B.4.若，则（）A. B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】令，则，即，令，则，即，故，即，故.故选：C.5.某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（）参考数据：若，则A.3173 B.6346 C.6827 D.13654【答案】A【解析】由题意可得，又，故，则80分以上的人数大约是人.故选：A.6.在中，“”是“为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，，所以均为锐角，又，则，且，则为锐角，故为锐角三角形，充分性成立；若为锐角三角形，则，故，故，必要性成立；综上，是“为锐角三角形”的充要条件.故选：C7.若，则最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】因为，所以，设，则，当且仅当时，等号成立.故选：D.8.已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】令，则，故在定义域内单调递增，又，故为奇函数，由，可得，故有，，又在定义域内单调递增且为奇函数，故有，即，即，故，又，即，故.故选：A.二、选择题9.设平面向量，，（）A.若，则 B.若，则C.， D.，使【答案】ABC【解析】A：当时，，故A正确；B：若，，，所以，所以，故B正确；C：，故C正确；D：若，则，等式不成立，故D错误.故选：ABC10.已知函数的图象经过点与，则（）A.是的最大值 B.是的最小值C. D.在单调递增【答案】AC【解析】由函数的图象经过点，故有，即，或，又，故，由函数的图象经过点，故，又，故，对A：，，故A正确；对B，，故B错误；对C：，故C正确；对D：当时，，故D错误.故选：AC.11.已知函数，．（）A.若，则B.若，则C.对于，若，则D.对于，若，则【答案】CD【解析】对A：若，则，，故A错误；对B：若，则，，，故B错误；对C：若，则，，又，故，故，即，即恒成立，故，故C正确；对D：若，则，，又，故恒成立，即，故，即恒成立，故，即，故D正确.故选：CD.12.已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（）A.若，则 B.若，则C.则的面积最小值为 D.则的面积大于【答案】ABD【解析】对于A，如图1，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，又，，则，所以，故A正确；对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，，即，又，则为等边三角形，所以，且，，故B正确；对于C，分两种情况：当点都在第一象限，如图1所示，设，，由焦半径公式可得，，，令，设，且，，当且仅当时取得最小值.当点在第四象限时，如图2所示，设，，则，，所以，同理令，且，，所以，当且仅当时取得最小值，综上，面积的最小值为，故C错误；对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，则，所以，即，，当点在第四象限时，如图2所示，同理可得，即，，综上，的面积大于，故D正确.故选：ABD.非选择题部分三、填空题13.双曲线的渐近线方程为_________．【答案】【解析】由双曲线的相关知识可知：，所以焦点在轴双曲线的渐近线方程为：故答案为：14.已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，所以侧面积.故答案为：.15.某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为______．【答案】0.6【解析】设电价定为元，，则由题意可得，整理可得，又，故，即，故最低的电价可定为.故答案为：.16.直三棱柱中，，，，分别是棱，上一点，且，若三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，则的长为______．【答案】4【解析】如图所示，取、中点、，连接，由题意可得平面且平面，，，在线段上取，由，故，故点、分别是与外接圆圆心，又，平面、平面，故点到三棱锥四个顶点距离相等，点到三棱锥四个顶点距离相等，即点、分别为三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心，则三棱锥的外接球半径为，三棱锥的外接球半径为，由三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，故.故答案为：4.四、解答题17.浙江省普通高中学业水平考试分五个等级，剔除等级，等级的比例分别是，现从当年全省数学学考四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．（1）分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；（2）从样本中用简单随机抽样方法（不放回）抽取4份试卷，记事件为抽取的4份试卷中没有等级的试卷，事件为抽取的4份试卷中有等级的试卷，求．解：（1）由题意可得：，，，，所以样本中A，B，C，D各等级的试卷份数分别是1，3，8，8．（2）因为，，所以.18.记的内角，，的对边分别为，,，已知，．（1）求角；（2）求．解：（1），∴，则．（2）由余弦定理可得，∴，则．19.如图在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，现将绕翻折至的位置，为的中点．（1）求证：平面；（2）当平面垂直于平面时，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：∵在等腰梯形中，，∴，，又为的中点，∴，及均为正三角形，而，∴，∵为的中点，∴，，三点共线，，又为的中点，∴，连接交于，连，易得为的中点，∴为的中位线，∴．又∵平面，平面，故平面；