第四章-指派问题

信息处理中的组合优化

第四章指派问题CombinatorialOptimizationinInformationProcessing

指派问题（AssignmentProblem,AP）是一种特殊的线性规划问题，也属于0-1整数规划问题.在图论中称为最佳匹配问题（OptimalMatching）.问题描述：有n

项任务需要去完成，恰好有

n

个人可以去完成这n项任务，而每个人完成各项任务的效率是不同的，如果要求每人完成其中一项，且每项任务只交给其中一人去完成，应如何分配，使总的效率最高.第四章指派问题§1最大基数匹配问题§2指派问题§3指派问题的应用§4瓶颈分配问题第四章指派问题§1最大基数匹配问题人员工作分配问题：某公司有工作人员x1,x2,…,xn,他们去做n

项工作y1,y2,…,yn

，每人会做其中的一项或几项，要求每人至多做一项，每项工作至多由一人来做，问能否每人都分配到一项会做的工作？x3x1x2y2y1y3如果不那么最多几人有会做的工作可做？且如何安排？可用图和矩阵给出它的数学模型及求解方法

.§1最大基数匹配问题Definition4.1设图

G=(V，E)GraphVertexEdge1、如果，且对，与

无公共顶点，则称边子集M是G的一个匹配；2、M中的每条边的两个顶点称为关于

M是饱和的，否则称为非饱和的；3、G中每个顶点都关于

M是饱和的，则称M

是

G的一个完备匹配；4、如果M

是一匹配，而不存在其他匹配M1，使得5、如果M

是一匹配，而对不是G

的匹配，则称

M

是G的一个极大匹配

.Note:最大匹配与极大匹配的边数是不同的x3x1x2y2y1y3，则称M

是G的最大（基数）匹配；第四章指派问题6、如果G的顶点V可分成两个满足如下条件的子集X，Y

：②对，则与ej

关联的两个顶点分属X

Y，称G=(X,Y,E)为二部图或偶图

.x3x1x2y2y1y3x4x5y4y5①人员工作分配问题就是在二部图中寻找最大匹配.§1最大基数匹配问题x3x1x2y2y1y3x4x5y4y5该问题也可用矩阵表示如果xi

会做yj否则1111111111000000000000000

在矩阵中寻找什么？

寻找最多的不同行不同列的1元素.(二部图G的邻接矩阵)

称为独立元（素）第四章指派问题如何寻找？礼让原则

从每行、每列中，1

最少的行或列先取，一样多时随意

.×××××

遗憾的是这是错的××××××××ק1最大基数匹配问题

1965年匈牙利著名数学家Edmonds

为之设计了命名为“匈牙利算法”的有效算法，计算复杂性为O(n).就二部图的邻接矩阵，先给出几个概念：

在第i

行第j列上的①（1被加圈）表示xi(或yj

)已被分配，或该行（或列）已被分配；

此时，由于所在行和列的1元素不能再取，用1表示;×不同行不同列的①，称为A的一个分配，用M

表示;第四章指派问题×××设M为已知分配，xi

未被分配，而该行没有1，则xi

不能被分配；若有1，选择一个1(aij),如果第j列没有加圈1，则对该1加圈，得到一新的分配M′,有，如果有加圈1（ai1j），则对aij,ai1j打√,√√√且划去第j列，再看第i1

行有否没有被划去的1，

没有，结束；有，再重复上述过程，直至不能继续为止.这时所得序列，称为关于M

的交互链

.如果在交互链中，最后得到的是无圈1，则称该交互链为可增广链

.把可增广链中的加圈1与没圈的1，互换标记，得到一新的分配M′,有.上述过程称之为增广过程.交互链、可增广链可在图G中描述§1最大基数匹配问题Theorem4.1(Berge,1957)

M

是A的最大分配的充要条件是不存在可增广链

.匈牙利算法：Step1任给一初始分配

M

，设S为未被M分配的行集合；Step2如果，则此时已得到最大分配，End否则，取；Step3寻找xi

出发的可增广链，如果存在，则进行增广；且令GotoStep2;否则xi不能被分配，令GotoStep2;对图G的最大匹配，结论也成立proofTheorem4.1的证明Proof:必要性：若M是A

的最大分配，显然A

中无关于M

的可增广链，不然

M

还可以增广成独立元更多的分配，与M是最大分配相违；充分性：反证，若M

不是最大分配，则存在分配

M1,作

由于M2

是由M，M1

中非公共部分组成，而M,M1

都是分配，所以从M2

的任一1出发，按交互链得到方法，得到的链必是M,M1

中的1交替出现.√√√√√√√

由于，所以在所有的交互链中，必有一条链属于M1

的1多于属于M

的1，且以M1

的

1出发、结束，这是关于M

的可增广链.与条件矛盾.证毕√√√√第四章指派问题Example1

求G的最大匹配，G的邻接矩阵如右所示：√Solution:不妨设初始匹配取x3，从x3y2

出发，√√√得一增广链：增广得：√√√√√取x4，得一增广链：增广得：取x5，从x5y3出发，√得一交互链，但不是增广链

.从x5y4

出发，因y4未被分配，所以对x5y4

加圈，得：所以，M

是最大匹配，且是完备匹配.§2指派问题在第一节的人员工作安排问题中，分配工作时，只考虑人员有工作做.但事实上，由于工作的性质和个人的特长不同，在完成不同的任务时，其效益是不同的（成本、时间、利润、费用etc.）.

§2指派问题设有n

个人员去完成n项任务，第i人完成第j

项任务的效益为，要求每人完成且仅完成一项，问如何分配，使完成n

项任务的总效益最佳

.可以是max、min先考察min称C=(cij)n×n

为效益矩阵.

第四章指派问题Example2

任务人员EJGRA215134B1041415C9141613D78119有一份中文说明书需要译成英、日、德、俄四种语言，分别记为E、J、G、R.现有A、B、C、D

四人，他们将中文翻译成不同语言所需时间如表,问应分配何人去完成何任务（一人完成一项任务），使所需总时间最少？Solution:当分配第i

人完成第j项任务否则设s.t.§2指派问题

显然，这是一个0-1

规划问题，

任务人员EJGRA215134B1041415C9141613D78119

任务人员EJGRaiA2151341B10414151C91416131D781191bj1111

也是一个特殊的运输问题

.所以,分配问题可用解IP问题方法（如：分支定界法),或解运输问题的表上作业法.但是，1、IP

是NP-C问题；2、有基变量2n-1个，而有n-1个为零，高度退化.

1955年，Kuhn-Munkras

提出了解AP

的算法，将求AP

转化为求完备匹配问题，其计算复杂性为O(n3).

由于算法引用了匈牙利数学家

König

的结论,所以，该算法也称为匈牙利算法.第四章指派问题Theorem4.2(König,1931)

Definition4.2图G=(V，E)，一个顶点在C中，称C

为G的一个点（对边的）覆盖

.点集若G中每条边至少有点数最少的点覆盖C称为G的最小点覆盖

.二部图G=(X，Y，E)，M为最大匹配，C为最小点覆盖，则有监测点的设置等是最小点覆盖的应用

.

点覆盖在二部图G的邻接矩阵上如何表示？Proof

Theorem4.2的证明Proof:显然，若，则若，设X1为在M

中没有独立元的行的集合.如右

令Z是X1中行出发的关于M

的交互链上的所有点，如右

记则

表示S中的行的所有1对应的列取则B

是A

的一个覆盖，如果不是，则有1元素行在S

列在

Y-T

中，这与矛盾.而，显然所以B

是最小覆盖.证毕§2指派问题显然，Ex.2的可行解可用一个0-1矩阵表示

.表示：因此，求解指派问题可在效益矩阵上进行

.Theorem4.3如果从效益矩阵(cij)的第i行中每个元素减去a和第j

列中每个元素加上b，得到一个新的效益矩阵.则以为新的目标函数与原目标函数的指派问题最优解相同

.第四章指派问题匈牙利算法：Step1使效益矩阵各行各列出现零元素；具体：从效益矩阵的每行各元素减去该行最小元素；再从所得矩阵的每列各元素减去该列最小元素

.称各行各列所减的数值之总和为缩减量，记为

S.S=2+4+9+7+4+2=28§2指派问题Step2试寻求最优解；用上节的求最大匹配的算法

.这时得到最大匹配

M.如果，则已得到最优解；即28=S每行每列有零元素，能保证有n个独立零元素吗？

如果，则gotostep3

；第四章指派问题Step3作缩减后的效益矩阵的最小覆盖；具体：a、对没有0

的行打√；

b、对已打√的行中所有含0

元素的列打√；

c、对打√的列上有

0的行打√；

d、重复b、c

，直到得不出新的打√的行列为止；

e、对打√的列画纵线，没打√行画横线.这就得到最小覆盖

.§2指派问题Example3求效益矩阵为C

的最小指派.Solution:√√√缩减量S1=26此时，.第四章指派问题Step4增加零元素√√√具体：a、求出未被直线覆盖的元素中的最小值k；

显然，在直线下增加零元素是不增加独立零的本例k=2b、对打√的行减去k

，打√的列加上k

，gotostep2.-2-2+2缩减量为S2=2+2-2=2此时，所以最优解为zmin=

S1+S2=26+2=2828

零元素是增加吗？§2指派问题考虑极大化问题令可以吗？匈牙利算法要求矩阵元素非负作一新矩阵

取则Example4（婚姻问题）取M=28对人多任务少，人少任务多，如何？虚设.第四章指派问题§3指派问题的应用Example5现有6项任务，由4个工厂来完成，已知各个工厂完成各项任务的费用矩阵为C，应如何分配任务，使总费用最小？具体分别1、无要求；2、一厂至多完成两项；3、一厂至多完成两项，至少完成一项

.Solution:1、无要求碰巧，符合2、3的要求Zmin=13§3指派问题的应用2、一厂至多完成两项

设想每个工厂由两个分厂组成，问题变为

8个工厂完成6项任务,虚设2个任务，费用为零.

说明什么？3、一厂至多完成两项，至少完成一项

.一个厂不能同时完成最后两个任务.如何做到？MM

MM

MM

MM

Zmin=13第四章指派问题Example6（铁路列车运行分派问题）

A

站与B

站之间拟开7对客车，客车的运行时间如图，现在要给列车固定乘务组.现在假定，哪站的乘务组换班地点就在那站，乘务组在对方折返停留的最短时间为2小时，问如何分派任务使7个乘务组在折返点的总耗时最小？

问题：列车如何配对，乘务组由哪个车站提供？AB0246810121416182022241214108642131197531§3指派问题的应用AB0246810121416182022241214108642131197531Solution:24681012142024最大数与最小数？217

2468101214221825……24…14构造一个新矩阵

C,2468101214

zmin=20小时如何考虑A

、B

两站的均衡？第四章指派问题指派问题的分支与定界算法

因为，所以是没必要使用B.B.M，在此只是对方法的训练.参见

Ex.3Solution:该问题的可行解仅有24个，然而若n=20,则可行解超过1018个.指派问题的约束为：考虑去掉约束（*）得一松弛问题.§3指派问题的应用

分配人工作时间

A

E2

BJ4

AG9

AR7

总时间

=22解松弛问题，得：下界为22.显然，不是可行解

.考虑最优解中，任务

E

必为A、B、C、D

四人中一人完成.所以分成四支，每支先确定一人完成E

，余下三项按前述松弛问题处理.第一支AE

，

不可行，得

下界为27.

分配人工作时间

A

E2

BJ4

DG13

BR8

总时间

=27类似得到：第二支BE

，etc.

分配人工作时间

B

E15

AJ10

AG9

AR7

总时间

=41第四章指派问题1222273414336367248341237112813399281031AEEEEDCBDE,524EJJJCBACAGG可行可行*JJJDCB*可行***经计算13次(几乎是可行解的一半)找到最优解，BJAG,CRzmin=28§4瓶颈分配问题§4瓶颈分配问题经典分配问题（AP）

任务人员EJGRA215134B1041415C9141613D78119每人完成一个任务每个任务一人完成条件：目标：总完成时间最少总效益最佳数学模型：求解方法：匈牙利算法s.t.第四章指派问题瓶颈分配问题(BAP)每人完成一个任务每个任务一人完成条件：目标：最大完成时间最小经典分配问题：z=5瓶颈分配问题：z=2数学模型：当分配第i

人完成第j项任务否则设§4瓶颈分配问题

任务人员EJGRA215134B1041415C9141613D78119第一个任务的完成时间：s.t.这是非线性的第四章指派问题求解方法：首先会想到什么方法一、化为经典分配问题1144413404013求效益矩阵(dij)的经典分配：所以，fmin

=2§4瓶颈分配问题对原效益矩阵C

的元素cij

的不同的值按从小到大的顺序排序.

c(k)

为第k

个值，用s表示不同c(k)