【八年级上册数学浙教版】专题2.2 最值模型之将军饮马 专项讲练（原卷版）

第第页专题2.2最值模型之将军饮马专项讲练三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希望大家学习完第3章后再完成该专题训练。【解题技巧】将军饮马模型图形原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点题型1:求两条线段和最小值例1．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．变式2．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．变式3．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．变式4．（2021·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为；（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．例2．（2022·重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．变式5．（2022.山东青岛九年级一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）变式6．（2022·广东·深圳市福田区莲花中学八年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为_________________．题型2:求两条线段差最大值例3．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130变式7．（2022·河北承德·八年级期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．（1）________；（2）________．题型3:求三条（周长）最小值（双动点问题）【模型图示】要求：点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出要求：点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，例4．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15 B．30 C．45 D．60变式8．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．课后训练：1.（2022·河南八年级期末）如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，边上的动点，则的最小值为__________．2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为___．3．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．4．（云南省红河哈尼族彝族自治州建水县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（2022·山东山东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是(

)A． B． C． D．6．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．127.（2022•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（

）A． B． C． D．9．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°11．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则________．12．（2021·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___．13．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．14．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________．15．（20