2025年高考数学复习新题速递之函数概念与性质（2024年9月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习新题速递之函数概念与性质（2024年9月）一．选择题（共10小题）1．（2024•包头开学）若f(x)=(x+a)2-loA．14 B．12 C．0 D2．（2024•福鼎市校级开学）已知f(x)=ex-2，x＜4loA．15 B．1e C．1 D3．（2024•河西区校级开学）下列函数是偶函数的是（）A．y=ex-x2C．y=ex-xx+14．（2024•福鼎市校级开学）已知函数y＝f（2x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，则y=f(x)A．（﹣2，5] B．（﹣2，3] C．[﹣1，3] D．[﹣2，5]5．（2024秋•五华区校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝ax+1，则f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．20256．（2024•河西区校级开学）已知函数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．（﹣4，0）7．（2024秋•五华区校级月考）函数f(x)=ln(x2+1+kx)是奇函数且在A．{﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}8．（2024•宝山区校级开学）定义在R上的函数y＝f（x）和y＝g（x）的最小正周期分别是T1和T2，已知y＝f（x）+g（x）的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（）A．T1＝1，T2＝2 B．T1C．T1=349．（2024•回忆版）已知函数为f（x）=-x2-2ax-a，A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）10．（2024•珠海模拟）函数f（x）＝lg（2x﹣1）的定义域为（）A．R B．（﹣∞，12） C．[12，+∞） D．（12二．多选题（共3小题）（多选）11．（2024•河南模拟）若函数f（x）的定义域为R，则下列说法正确的是（）A．若f（x）＝﹣f（x），则f（x）＝0 B．若对∀x∈R，f（x+1）+f（x）＝1，则f（x+2）＜f（x） C．若对∀x1，x2∈R且x1≠x2，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则f（x）是R上的增函数 D．若对∀x∈R，|f（﹣x）|＝|f（x）|，则f（x）＝0（多选）12．（2024•湖南开学）已知函数f(x)=(1A．f（x）为偶函数 B．f（x）的值域为（0，2024] C．f（x）在[2024，+∞）上单调递减 D．f（66）＜f（88）（多选）13．（2024秋•新乡月考）已知函数f（x）的定义域为R，且其图象是一条连续不断的曲线，f（xy）＝xf（y）+yf（x），记f′（x）为f（x）的导函数，则下列说法正确的是（）A．f（0）＝0 B．f（x）为奇函数 C．若f(12)=1，则f（4D．若f′（x）在（0，+∞）上单调递减，则f（x）恰有三个零点三．填空题（共3小题）14．（2024•湖南开学）已知函数f(x)=a3x+1，满足f(0)=12，则f（2024）+f（﹣15．（2024•苏州模拟）已知奇函数y＝f（x）的定义域为（2a，1﹣a），则实数a＝．16．（2024•南开区校级开学）函数f(x)=x-2|x|-3的定义域为四．解答题（共4小题）17．（2024秋•三元区校级月考）已知函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，满足f(1)=15，当﹣2＜x≤0时，有（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．18．（2024•沙坪坝区校级开学）已知定义在（﹣1，b）上的奇函数f(x)=lga-x（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）在（m，n）上的值域为（﹣1，+∞），求实数m，n的值．19．（2024•雁塔区校级开学）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）解不等式f（a2+1）+f（﹣4）＞020．（2023秋•宝安区校级期末）已知函数f（x）=mx+nx2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（（1）求m，n的值：（2）试判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）求使f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0成立的实数a的取值范围．

2025年高考数学复习新题速递之函数概念与性质（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•包头开学）若f(x)=(x+a)2-loA．14 B．12 C．0 D【考点】奇函数偶函数的性质；对数的运算性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（x）＝f（﹣x），即(x+a)2【解答】解：根据题意，f(x)=(x+a)2-lo由于f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（﹣x），即(x+a)2变形可得：(x+a)2则有4ax=log必有4a＝1，即a=1故选：A．【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及对数的性质，属于基础题．2．（2024•福鼎市校级开学）已知f(x)=ex-2，x＜4loA．15 B．1e C．1 D【考点】函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得．【解答】解：函数f(x)=ex-2，x＜4log5(x-1)，所以f(f(6))=f(1)=1故选：B．【点评】本题考查函数求值，属于基础题．3．（2024•河西区校级开学）下列函数是偶函数的是（）A．y=ex-x2C．y=ex-xx+1【考点】奇函数偶函数的判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可．【解答】解：对A，设f(x)=ex-x2x2+1，函数定义域为R，但f(-1)=e-1-12，f(1)=e-1对B，设g(x)=cosx+x2且g(-x)=cos(-x)+(-x)2(-x)2对C，设h(x)=ex-xx+1，函数定义域为{x|x≠﹣1}，不关于原点对称，则h（x对D，设φ(x)=sinx+4xe|x|，函数定义域为R，因为φ(1)=则φ（1）≠φ（﹣1），则φ（x）不是偶函数，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考察了函数奇偶性的判断，属于基础题．4．（2024•福鼎市校级开学）已知函数y＝f（2x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，则y=f(x)A．（﹣2，5] B．（﹣2，3] C．[﹣1，3] D．[﹣2，5]【考点】抽象函数的定义域．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得．【解答】解：由函数y＝f（2x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，得﹣3≤2x﹣1≤5，因此在函数y=f(x)x+2中，-3≤x≤5所以函数y=f(x)x+2的定义域为（﹣2，故选：A．【点评】本题考查抽象函数的定义域及其求法，是基础题．5．（2024秋•五华区校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝ax+1，则f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025【考点】函数的奇偶性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】由函数奇偶性，确定f（x）为周期函数，再结合f（﹣1）＝0，求得a，即可求解．【解答】解：因为f（2x﹣1）为奇函数，所以f（x）关于点（﹣1，0）中心对称，又f（x+1）为偶函数，所以f（x）关于直线x＝1对称，所以f（x）为周期函数且周期T＝4×|1﹣（﹣1）|＝8，∴f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+1，∵f（﹣1）＝﹣a+1＝0，∴a＝1，∴f（2025）＝a+1＝2．故选：C．【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．6．（2024•河西区校级开学）已知函数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．（﹣4，0）【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】由已知条件得到f（x）的图象关于x＝﹣2对称，从而可知f（x）在（﹣∞，﹣2]上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，且f（﹣4）＝0，再画出折线图表示出函数f（x）的单调性，即可得到答案．【解答】解：根据题意，因为数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），则所以f（x）的图象关于x＝﹣2对称．因为函数f（x）对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有f(x所以f（x）在（﹣∞，﹣2]上为增函数．又因为f（x）的图象关于x＝﹣2对称，f（0）＝0，所以f（x）在（﹣2，+∞）为减函数，且f（﹣4）＝0．用折线图表示函数f（x）的单调性，如图所示：由图知：f（x）＞0⇒﹣4＜x＜0．故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的图象分析，属于中档题．7．（2024秋•五华区校级月考）函数f(x)=ln(x2+1+kx)是奇函数且在A．{﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析求出k的值，进而验证函数的单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=ln(x2+1f（﹣x）＝ln（x2+1若f（x）为奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝ln（x2+1﹣k2x2）＝0，必有1﹣k2＝0，解可得k＝1或﹣1，当k＝1时，f（x）＝ln（x2+1设t=x2+1+x，易得t在[0，+∞）上递增，为y＝lnt在（故f（x）＝ln（x2+1+x）在[0而f（x）为奇函数，故f（x）＝ln（x2+1+x当k＝﹣1时，f（x）＝ln（x2+1设t′=x2+1-x=1x2+1+x，易得t′在[0，+故f（x）＝ln（x2+1-x）在[0故k＝1，则k的取值集合为{1}．故选：C．【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数的奇偶性，属于基础题．8．（2024•宝山区校级开学）定义在R上的函数y＝f（x）和y＝g（x）的最小正周期分别是T1和T2，已知y＝f（x）+g（x）的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（）A．T1＝1，T2＝2 B．T1C．T1=34【考点】函数的周期性．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据题意，通过举例说明：f（x）＝cos4π3x，g（x）＝sin（2πx）﹣cos4π3x，满足f（x）的周期为32，g（x）的周期为3，且f（x）+g【解答】解：设f（x）＝cos4π3x，g（x）＝sin（2πx）﹣cos4π3x，可知f（x）的周期根据y＝sin（2πx）的周期T3=2π2π=1，y＝﹣cos4π3x可得g（x）＝sin（2πx）﹣cos4π3x的周期T2＝此时f（x）+g（x）＝sin（2πx），最小正周期T＝1，综上所述，存在f（x）的周期T1=32，g（x）的周期T2＝3，使f（x）+g（x）的周期为1，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数与余弦函数的周期公式、函数的周期性及其应用等知识，属于中档题．9．（2024•回忆版）已知函数为f（x）=-x2-2ax-a，A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）【考点】函数的单调性；由函数的单调性求解函数或参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．【解答】解：函数为f（x）=-x2可知：-a可得a∈[﹣1，0]．故选：B．【点评】本题考查分段函数的单调性的应用，考查计算能力，是中档题．10．（2024•珠海模拟）函数f（x）＝lg（2x﹣1）的定义域为（）A．R B．（﹣∞，12） C．[12，+∞） D．（12【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【答案】D【分析】函数f（x）＝lg（2x﹣1）有意义，可得2x﹣1＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）＝lg（2x﹣1）有意义，可得2x﹣1＞0，解得x＞1则定义域为（12，+故选：D．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）11．（2024•河南模拟）若函数f（x）的定义域为R，则下列说法正确的是（）A．若f（x）＝﹣f（x），则f（x）＝0 B．若对∀x∈R，f（x+1）+f（x）＝1，则f（x+2）＜f（x） C．若对∀x1，x2∈R且x1≠x2，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则f（x）是R上的增函数 D．若对∀x∈R，|f（﹣x）|＝|f（x）|，则f（x）＝0【考点】定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】AC【分析】对于A项，直接计算即可判定；对于B项，通过递推关系可判定f（x+2）＝f（x）即可；对于C项，利用函数单调性的定义即可判定；对于D项，举出反例即可判定．【解答】解：A选项中，因为f（x）＝﹣f（x），所以2f（x）＝0，所以f（x）＝0，故A正确；B选项中，因为f（x+1）+f（x）＝1，所以f（x+1）＝1﹣f（x），所以f（x+2）＝1﹣f（x+1）＝f（x），故B错误；C选项中，不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），所以f（x）是R上的增函数，故C正确；D选项中，若f（x）＝x2，满足|f（﹣x）|＝|f（x）|，但f（x）＝0不成立，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．（多选）12．（2024•湖南开学）已知函数f(x)=(1A．f（x）为偶函数 B．f（x）的值域为（0，2024] C．f（x）在[2024，+∞）上单调递减 D．f（66）＜f（88）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】BC【分析】根据函数的性质逐项分析判断即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f(-则f（x）不为偶函数，故A错误；令u＝（x+2）2﹣1≥﹣1，则y=(12024)u在u∈[﹣则其值域为（0，2024]，故B正确；因为u＝（x+2）2﹣1在[﹣2，+∞）上单调递增，且y=(12024)u在u∈[﹣由复合函数单调性法则，可知函数f（x）在[2024，+∞）上单调递减，故C正确；由于函数f（x）在[﹣2，+∞）上单调递减，所以f（66）＞f（88），故D错误．故选：BC．【点评】本题考查函数性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题．（多选）13．（2024秋•新乡月考）已知函数f（x）的定义域为R，且其图象是一条连续不断的曲线，f（xy）＝xf（y）+yf（x），记f′（x）为f（x）的导函数，则下列说法正确的是（）A．f（0）＝0 B．f（x）为奇函数 C．若f(12)=1，则f（4D．若f′（x）在（0，+∞）上单调递减，则f（x）恰有三个零点【考点】抽象函数的奇偶性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】ABD【分析】利用赋值法可得f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），f（4）＝﹣16可判断A，B，C；利用单调性以及f（0）＝f（1）＝0，结合函数是奇函数，可得f（x）恰有三个零点，判断D．【解答】解：对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，得f（1）＝2f（1），f（1）＝0，令x＝y＝﹣1，得f（1）＝﹣2f（﹣1），f（﹣1）＝0，所以f（﹣x）＝xf（﹣1）﹣f（x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故B正确；对于C，令x=y=12，得令x=14，所以f（4）＝﹣16，故C错误；对于D，因为f′（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（0）＝f（1）＝0，所以存在x0∈（0，1），满足f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，因此f（x）在（0，+∞）上只有一个零点1，又f（x）是奇函数，所以f（x）恰有三个零点﹣1，0，1，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、利用赋值法求抽象函数的值及零点存在定理，属于中档题．三．填空题（共3小题）14．（2024•湖南开学）已知函数f(x)=a3x+1，满足f(0)=12，则f（2024）+f（﹣【考点】奇函数偶函数的性质．【专题】整体思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】1．【分析】利用f(0)=12，求出a＝【解答】解：f(0)=a30+1=a2则f(x)=1故f(2024)+f(-故答案为：1．【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．15．（2024•苏州模拟）已知奇函数y＝f（x）的定义域为（2a，1﹣a），则实数a＝﹣1．【考点】奇函数偶函数的性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】﹣1．【分析】由已知结合奇函数定义域关于原点对称即可求解a．【解答】解：由于f（x）是奇函数，所以2a+（1﹣a）＝a+1＝0，a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．16．（2024•南开区校级开学）函数f(x)=x-2|x|-3的定义域为[2，3）∪（3，+【考点】简单函数的定义域．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】[2，3）∪（3，+∞）．【分析】根据函数的解析式，列出不等式组求解即可．【解答】解：由题意，令x-2≥0|x|-3≠0，解得x≥2所以函数f（x）=x-2|x|-3的定义域为[2，3）∪（3，故答案为：[2，3）∪（3，+∞）．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•三元区校级月考）已知函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，满足f(1)=15，当﹣2＜x≤0时，有（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合；奇函数偶函数的性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）f(x)=x（2）{x|-【分析】（1）由奇函数的性质求解解析式即可；（2）判断出f（x）为增函数，结合单调性和定义域列出不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，所以f（0）＝0，即b4=0，解得b＝因为f(1)=15，所以f(-1)=-所以当﹣2＜x≤0时，f(x)=x当0＜x＜2时，﹣2＜﹣x＜0，则f(x)=-综上所述，f(x)=x（2）任取x1，x2∈（﹣2，2），且x1＜x2，则f(=x=x=(因为﹣2＜x1＜x2＜2，所以x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＜0，所以(x2-x1)(x1x2-4)故f(x)=xx2+4在（﹣因为函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，所以f（2x﹣1）+f（x）＜0⇔f（x）＜﹣f（2x﹣1）⇔f（x）＜f（1﹣2x），又由f(x)=xx2+4在（﹣所以x＜解得-1故原不等式的解集为{x|-【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查解不等式，考查转化思想，是一道中档题．18．（2024•沙坪坝区校级开学）已知定义在（﹣1，b）上的奇函数f(x)=lga-x（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）在（m，n）上的值域为（﹣1，+∞），求实数m，n的值．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）a＝b＝1；（2）m=-【分析】（1）根据函数为奇函数，得到﹣1+b＝0，f（﹣x）+f（x）＝0，求出a，b的值；（2）根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到m=-【解答】解：（1）由于﹣1+b＝0，故b＝1，f(x)=lga-x由f(x)=lga-xb+x为奇函数得故(a+x)(a-x)(1-x)(1+x)=1，解得a＝1或﹣故a＝b＝1；（2）f(x)=lg1-x1+x＞又﹣1＜x＜1，解得-1故m=-【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，还考查了对数函数性质的应用，属于中档题．19．（2024•雁塔区校级开学）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）解不等式f（a2+1）+f（﹣4）＞0【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象的变换；奇函数偶函数的判断．【专题】整体思想；函数的性质及应用；排列组合；数学运算．【答案】（1）函数f（x）为奇函数，证明见解析；（2）(-【分析】（1）根据题意求f（x）的定义域，结合奇函数的定义分析证明；（2）利用导数求出f（x）在(12，+∞)上的单调性，结合单调性和奇偶性，将不等式转化为：a2【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：由题意可得：|2x+1|＞0|2x-1|所以函数f（x）的定义域为{x|x≠±又因为f（x）+f（﹣x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|+ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|+ln|2x﹣1|﹣ln|2x+1|＝0，即f（x）＝﹣f（﹣x），所以函数f（x）为奇函数．（2）当x∈(12，+∞)时，f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln（2x+1）﹣ln所以f'所以f（x）在(1因为函数f（x）为奇函数．，所以不等式f（a2+1）+f（﹣4）＞0等价于f（a2+1）＞f（4），由于a2+1≥1，4＞12，函数f（x所以f（a2+1）＞f（4）等价于a2+1＜4，解得：-3所以不等式f（a2+1）+f（﹣4）＞0的解集为(-【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（2023秋•宝安区校级期末）已知函数f（x）=mx+nx2+1是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（（1）求m，n的值：（2）试判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）求使f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0成立的实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）m＝2，n＝0；（2）f（x）在[﹣1，1]上为增函数，证明见解答；（3）[0，1）．【分析】（1）由奇函数的性质可得f（0）＝0，结合f（1）＝1，解方程可得m，n的值；（2）f（x）在[﹣1，1]上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；（3）由奇函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数，可将不等式的两边的“f”去掉，解不等式可得所求取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=mx+nx2+1是定义在[﹣且f（1）＝1，可得f（0）＝0即n＝0；又12（m+n）＝1，则m＝2，所以m＝2，n＝0（2）f（x）=2xx2+1在[﹣证明：设﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）==2(由﹣1≤x1＜x2≤1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（3）由f（x）为奇函数，可得f（a﹣1）+f（a2﹣1）＜0即为f（a﹣1）＜﹣f（a2﹣1）＝f（1﹣a2），由f（x）在[﹣1，1]上为增函数，可得﹣1≤a﹣1＜1﹣a2≤1，解得0≤a＜1，即a的取值范围是[0，1）．【点评】本题考查函数的奇欧旭和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

考点卡片1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．简单函数的定义域【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．【命题方向】常见的题目包括求一次函数、二次函数、分式函数的定义域，以及结合实际应用题求定义域．函数f(x)=2x-3解：由题意得：2x-解得：x≥32且x≠故函数的定义域是[32，3）∪（3，+3．抽象函数的定义域【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】涉及抽象函数的定义域求解，常见于参数未知的函数定义域问题．已知函数f（3x+2）的定义域为（0，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为_____．解：由函数f（3x+2）的定义域为（0，1），即0＜x＜1，得2＜3x+2＜5，令2＜2x﹣1＜5，解得32∴函数f（2x﹣1）的定义域为(34．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5．函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1-x2f(x1)-f(x2)x1-x2②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．6．定义法求解函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1-x2f(x1)-f(x2)x1-x2②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．已知函数f(x)=x2+2x+m，且（1）求实数m的值；（2）判断f（x）在区间(2解：（1）因为f（x）是奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）．所以有x2+2-x+m=-x2+2x+m，得﹣解得m＝0．（2）函数f（x）在区间(2证明：由于m＝0，所以f(x)=x设∀x1，x2∈(2则f(x由x1，x所以x1x2＞2，x1x2﹣2＞0．又由x1＜x2，得x1﹣x2＜0，于是(x1-x2)x1x2(所以函数f（x）在区间(27．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．8．复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【解题方法点拨】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题方向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．9．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．10．奇函数偶函数的判断【知识点的认识】奇函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．偶函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．【命题方向】奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．11．奇函数偶函数的性质【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．【命题方向】题目包括判断奇偶函数，分析其对称性及应用，结合实际问题解决奇偶函数相关的问题．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（3）＝_____．解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[2×（﹣3）2﹣（﹣3）]＝﹣21．故答案为