高考数学总复习《等比数列》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《等比数列》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等比数列与指数函数的关系．一等比数列的有关概念1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1qn－1.3．等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.二等比数列的有关公式1．通项公式：an＝a1qn－1.2．前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1)).三等比数列的性质1．通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．2．对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).3．若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．4．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.5．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减．常/用/结/论1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．衍生数列，仔细体会．2．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.3．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…仍成等比数列．1．判断下列结论是否正确．(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝eq\f(a1－an,1－a).()(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.解析：a1a2a3×a7a8a9＝aeq\o\al(6,5)＝50，∴a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝5eq\r(2).答案：5eq\r(2)3．在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．解析：设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±84．《八骏图》是从六朝起就很流行的一幅图，传说中有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异．已知第i(i＝1,2，…，7)匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为________里．(取1.18≈2.14)解析：依题意可得，第8匹马、第7匹马、…、第1匹马的最长日行路程里数构成递增的等比数列，且首项为400，公比为1.1，故这8匹马的最长日行路程之和为eq\f(400×1－1.18,1－1.1)≈4000×(2.14－1)＝4560(里)．答案：4560题型等比数列基本量的计算典例1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝()A．7 B．9C．15 D．30(2)(2023·全国甲卷，文)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公转化为基本量a1，q的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．比为________．(3)(2023·全国乙卷，理)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.解析：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由S5＝5S3－4得，S5－S3＝4S3－4，即a4＋a5＝4(a1＋a2＋a3)－4.因为a1＝1，所以q3＋q4＝4(1＋q＋q2)－4，所以q3(1＋q)＝4q(1＋q)，所以q2将条件转化为a1，q的方程，求解q的值．＝4.因为q>0，所以q＝2，所以S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝eq\f(1－24,1－2)＝15，故选C.(2)因为8S6＝7S3，显然公比q≠1，则8×eq\f(a11－q6,1－q)＝7×eq\f(a11－q3,1－q)，整理得1＋q3＝eq\f(7,8)，解得q＝－eq\f(1,2).故答案为－eq\f(1,2).(3)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5，,a1q8·a1q9＝－8，))将条件转化为a1，q的方程，利用乘除法求解q的值．解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝1，,q5＝－2，))所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.故答案为－2.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：在等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，数列{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).eq\o(\s\up7(),\s\do5())对点练1(1)(2024·广西桂林模拟)朱载堉(1536年—1611年)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度12个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2，则eq\f(f2,f1)等于()A.eq\r(11,26) B.eq\r(8,2)C.eq\r(12,2) D．4eq\r(12,2)(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是()A．插入的第8个数为eq\r(3,4)B．插入的第5个数是插入的第1个数的eq\r(3,2)倍C．M>3D．N<7解析：(1)设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a12＝2a＝aq11，即q＝2eq\f(1,11)，所以eq\f(f2,f1)＝eq\f(a8,a2)＝q6＝eq\r(11,26).(2)设该等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，故q12＝eq\f(a13,a1)＝2.插入的第8个数为a9＝a1q8＝eq\r(3,4)，故A正确；插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，所以eq\f(a6,a2)＝eq\f(a1q5,a1q)＝q4＝eq\r(3,2)，故B正确；M＝eq\f(a21－q11,1－q)＝eq\f(\r(12,2)1－\r(12,211),1－\r(12,2))＝－1－eq\f(1,1－2eq\s\up15(eq\f(1,12)))，要证M>3，即证－1－eq\f(1,1－2eq\s\up15(eq\f(1,12)))>3，即证eq\f(1,2eq\s\up15(eq\f(1,12))－1)>4，即证eq\f(5,4)>2eq\s\up15(eq\f(1,12))，即证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))12>2，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))12>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))6>2成立，故C正确；N＝M＋3.因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))12>(1.4)6>(1.9)3>2，所以eq\f(6,5)>2eq\s\up15(eq\f(1,12))，所以eq\f(1,2eq\s\up15(eq\f(1,12))－1)>5，所以－1－eq\f(1,1－2eq\s\up15(eq\f(1,12)))>4，即M>4.所以N＝M＋3>7，故D错误．答案：(1)A(2)D题型等比数列性质的多维研讨维度1等比数列通项的性质典例2(1)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)的值为()A．2 B．4C．8 D．16(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1＋log3a2＋…＋log3a2021＝()对数运算性质的应用，同时运用等比数列积的对称性．A．4042 B．2021C．4036 D．2018解析：(1)eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)＝eq\f(a1＋a8,a1a8)＋eq\f(a2＋a7,a2a7)＋eq\f(a3＋a6,a3a6)＋eq\f(a4＋a5,a4a5).巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？a1＋a2＋…＋a7＝8，且a1·a2·a3·…·a7＝128，求eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a7)的值，可先求a4＝2，a1·a7＝a2·a6＝a3·a5＝4.因为a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5，所以原式＝eq\f(a1＋a2＋…＋a8,a4a5)＝eq\f(4,a4a5)，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an>0，所以a4a5＝2，所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)＝2.故选A.(2)因为a1011＝3，所以a1a2…a2021＝(a1011)2021＝32021，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a2021＝log3(a1a2…a2021)＝log332021＝2021.故选B.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有aman＝apaq”，则可减少运算量．解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．对点练2(1)在等比数列{an}中，a1，a17是方程x2－14x＋9＝0的两根，则eq\f(a2a16,a9)的值为()A.eq\r(,14) B．3C．±eq\r(,14) D．±3(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知0<a1<1，其前n项之积为Tn，且T12＝T6，则Tn取得最小值时，n的值是________．解析：(1)因为a1，a17是方程x2－14x＋9＝0的两根，所以a1a17＝9，a1＋a17＝14，所以a1>0，a17>0.又数列{an}为等比数列，所以a1a17＝a2a16＝aeq\o\al(2,9)＝9，且a9>0，所以a9＝3，因此eq\f(a2a16,a9)＝a9＝3.故选B.(2)由T12＝T6得eq\f(T12,T6)＝1，即a7a8a9a10a11a12＝(a9a10)3＝1，故a9a10＝1，因为a1a18＝a9a10，则a1a18＝1，由于0<a1<1，得a18>1，所以等比数列{an}是递增数列，故0<a9<1<a10，则Tn取得最小值时，n＝9.答案：(1)B(2)9维度2等比数列前n项和的性质典例3(1)(2021·全国甲卷，文)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝()A．7 B．8C．9 D．10(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.解析：(1)方法一：设数列{an}的公比为q，因为S2＝4，S4＝6，则易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2＝\f(a11－q2,1－q)＝a11＋q＝4，,S4＝\f(a11－q4,1－q)＝a11＋q1＋q2＝6，))此法是方程思想的应用，这也是数列问题中常用的方法，不致于失去解题方向．两式相除，得q2＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝42－\r(,2)，,q＝\f(\r(,2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝42＋\r(,2)，,q＝－\f(\r(,2),2)，))所以S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝7.方法二：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，此法属于整体思想的应用，由此得S2，S4，S6的方程．由等比中项的性质得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故选A.(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(－160,－80)＝2.本题的核心在于理解eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(a2＋a4＋…＋a2n,a1＋a3＋…＋a2n－1)＝q，巧妙应用条件，求得S奇，S偶．故答案为2.1．等比数列前n项和的性质主要是若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列(q＝－1且n为偶数除外)．2．注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)．数列{an}为等比数列⇔前n项和Sn＝A(1－qn)．3．利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.对点练3(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·2n－1－1，则t＝()A．2 B．－2C．1 D．－1(2)(2024·安徽安庆模拟)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若q>0，则eq\f(S1＋S3,S2)的最小值是________．解析：(1)设等比数列的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，不符合题意；当q≠1时，等比数列的前n项和公式为Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)·qn＋eq\f(a1,1－q)，依题意Sn＝t·2n－1－1＝eq\f(1,2)t·2n－1，即eq\f(1,2)t＋(－1)＝0，解得t＝2.(2)由题意知，eq\f(S1＋S3,S2)＝eq\f(a1＋a1＋a2＋a3,a1＋a2)＝eq\f(2＋q＋q2,1＋q)＝eq\f(q＋12－q＋1＋2,1＋q)＝q＋1＋eq\f(2,q＋1)－1，又q>0，则q＋1＋eq\f(2,q＋1)－1≥2eq\r(,2)－1，当且仅当q＝eq\r(,2)－1时，等号成立．即eq\f(S1＋S3,S2)的最小值是2eq\r(,2)－1.答案：(1)A(2)2eq\r(,2)－1题型等比数列的判定典例4已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解：选①②作为条件证明③：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，从通项公式反映出Sn＋a1是等比数列，这是对条件②的描述．当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；从而得到基本量a1＝eq\f(A,2).当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，利用Sn求得an.因为{an}是等比数列，所以eq\f(Aq－1,q)＝eq\f(A,2)，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：这样选已知条件较简单，计算过程也是从基本量入手．因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，所以Sn＝eq\f(a11－2n,1－2)＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n，所以eq\f(Sn＋1＋a1,Sn＋a1)＝2