2024-2025学年福建省福州市高二上册期中联考数学检测试题1（含解析）

2024-2025学年福建省福州市高二上学期期中联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．已知两直线，若，则与间的距离为（

）A． B． C． D．4．点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．5．设，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（

）A．20 B． C．10 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知椭圆，下列结论正确的是（

）A．椭圆的长轴长是B．椭圆的短半轴长是4C．经过椭圆焦点的最短弦长是D．椭圆的焦点坐标分别是10．已知圆，直线，则（

）A．直线恒过定点B．直线l与圆C有两个交点C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1D．圆C与圆恰有三条公切线11．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得平面B．周长的最小值为C．三棱锥的外接球的体积为D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是．13．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求的面积．16．已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______.在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①顶点；②；③.(1)求圆的标准方程；(2)若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求的最小值.17．如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点.(1)求证：平面；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.18．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．(3)点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．19．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．(1)求椭圆的方程；(2)点是椭圆C上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；(3)过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．

答案1．【正确答案】D【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为1，所以直线的倾斜角为.故选：D2．【正确答案】A【详解】由题意，，，则向量在向量上的投影向量为．故选：A．3．【正确答案】D【详解】已知两直线，若，则，解得，则直线，则与间的距离为.故选：D.4．【正确答案】B【详解】设的对称点坐标为，则对称点与已知点连线的中点为，由题意可得，解得．所以对称点坐标为．答案：B5．【正确答案】A【详解】因为直线，当时，，此时，即可以推出，当时，，解得或，又时，，此时，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.6．【正确答案】B【详解】若方程表示椭圆，则有，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．7．【正确答案】C【详解】由椭圆定义得：，又因为，所以解得：，再由于，，结合勾股定理可得：，解得，所以椭圆的离心率为，故选：C.8．【正确答案】A【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解.【详解】对于圆，整理可得：，可知圆心为，半径为，令，则，解得或，即；令，则，解得或，即；因为与相外切，则，可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

则点的轨迹方程为，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20.故选A.【关键点拨】根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果.9．【正确答案】AC【详解】因为椭圆方程为，所以，，则，所以椭圆的长轴长为，短轴长为，经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，，所以A正确，B错误，C正确，D错误.故选：AC.10．【正确答案】ABD【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确；对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为，而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误；对于D，圆的方程化为，其圆心为，半径为3，两圆圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.故选ABD.11．【正确答案】ACD【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D.【详解】A：由题意知，，又平面，所以平面，由平面，得；当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点，所以，由平面，所以平面，故A正确；B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于，此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值，又，所以的周长的最小值为，故B错误；C：易知中，，取的中点，过作平面，如图，则三棱锥的外接球的球心必在上，且，所以球的半径为，其体积为，故C正确；D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，设，所以，易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以，当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为，则，所以，故D正确.故选：ACD方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12．【正确答案】【详解】直线过定点，则，，如图，要使直线与线段相交，则直线l的的斜率应满足，所以直线l的倾斜角的取值范围是.故答案为:.13．【正确答案】【详解】若，则，当时，则，解得，此时，方向相同，故的夹角为锐角时，且，故14．【正确答案】【详解】连接，设，因为点在第一象限，所以，由对称性可知，因为，所以，即，由椭圆定义可得，由圆的性质得⊥，由勾股定理得，所以，即，因为，设，，则，由对勾函数性质，单调递增，所以，即，当时，解得，即，解得当时，解得，即，解得，综上，所以C的离心率的最大值为.故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）解：由，得，又，即，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）解：由，得，又由，得，可得：，即，则的面积.16．【正确答案】(1);(2)3【详解】（1）若选①：设圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为圆过点，，所以圆心在直线上，即；因为圆过点，，所以圆心在直线上，即，所以圆的圆心为，半径，所以圆的标准方程为；若选②：因为，所以是直角三角形，所以的外接圆圆心为斜边的中点，设圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题知，圆心为，半径，所以圆的标准方程为；若选③：因为，所以圆心为边的中点，为圆的直径，设圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题知，圆心为，半径，所以圆的标准方程为；（2）依题意,，圆心到直线：的距离为，又因为，所以，即，所以的最小值为3.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，取的中点，连接，，在中，因是的中点，故，且.在三棱柱中，且，又为棱的中点，故得，且，故得，则有，又因为平面，平面，所以平面.（2）由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则与都是等边三角形，如图，取上的四等分点，满足,取的中点,连接,则,易知,且，故可得，则有，故有则四点共面.因平面平面，平面平面，且平面平面可得平面，又.故可建立以为原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系.不妨取，则，由可解得则有，，，则,设平面法向量为，则，取，可得，，故为平面的一个法向量，因平面，故为底面的一个法向量，则，设二面角的平面角为，由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.18．【正确答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【详解】（1）由平面，平面，平面，得，，与底面所成角为．所以三角形为等腰直角三角形，．又由四边形是直角梯形，，可知，所以为等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．则有，所以．又因为，，平面，平面．所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因为T是的中点，点M是的中点，所以，．设平面的法向量为，，，则，得，取，则，得平面的一个法向量为，而,所以点P到平面的距离为．（3）设，注意到A0,0,0，所以，所以，设，注意到P0,0,1，所以，因为A0,0,0，B1,0,0，所以若平面，则当且仅当，即当且仅当，此时，综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面.19．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，则，将代入中，得，则，结合，从而，，椭圆C方程为；（2）由