2025届高考数学二轮总复习专题5统计与概率专题突破练19统计与概率解答题课件

专题突破练19统计与概率解答题123456主干知识达标练1.(17分)(2024山东济宁一模)袋中装有大小相同的4个红球,2个白球.某人进行摸球游戏,游戏规则如下:①每次从袋中摸取一个小球,若摸到红球则放回袋中,充分搅拌后再进行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束.(1)求摸球游戏结束时摸球次数不超过3的概率;(2)若摸出1次红球计1分,摸出1次白球记2分,求游戏结束时,此人总得分X的分布列和数学期望.123456123456123456所以X的分布列为

1234562.(17分)(2024陕西西安一模)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如图所示的频率分布直方图.(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,用X表示其中预赛成绩优良的人数,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求X的分布列及数学期望;123456(2)由频率分布直方图可认为该市参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=362,已知小明的预赛成绩为91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛?附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973;123456解

(1)根据频率分布直方图可得,抽取的100人中,成绩位于区间[60,80)内的有0.012

5×20×100=25(人),成绩优良(位于区间[80,100)内)的有0.007

5×20×100=15(人),则X服从超几何分布,且N=40,M=15,n=2.123456(2)由频率分布直方图可知,样本数据的平均数的估计值为(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012

5+90×0.007

5)×20=53,所以μ=53.故全市参加预赛的学生中,成绩高于91分的约有12

000×0.022

75=273(人).因为273<300,所以小明有资格参加复赛.123456关键能力提升练3.(17分)(2024广西南宁模拟)为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分k的频率分布直方图如图所示.甲型号减排器

乙型号减排器123456综合得分k的范围减排器等级减排器利润率k≥85一级品2a75≤k<85二级品3a270≤k<75三级品a2(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用比例分配的分层随机抽样方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取5件,求抽取的5件中至少有3件一级品的概率.(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,则①若从乙型号减排器中随机抽取4件,记X为其中二级品的个数,求X的分布列及数学期望;②从数学期望来看,投资哪种型号减排器的利润更大?123456解

(1)根据频率分布直方图可得,抽取的100件甲型号减排器中,综合得分位于区间[85,95]内的频率为0.08×5+0.04×5=0.6,即一级品的频率为0.6,所以从中按等级用比例分配的分层随机抽样方法抽取10件,需要从一级品中抽取10×0.6=6(件).用Y表示从抽到的10件产品中随机抽取5件,其中一级品的数量,则Y服从超几何分布,且N=10,M=6,n=5.因此至少有3件一级品的概率为P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)123456(2)①根据频率分布直方图可得,抽取的100件乙型号减排器中,综合得分位于区间[75,85)内的频率为0.02×5+0.03×5=0.25,即二级品的频率为0.25,所以可以估计该厂生产的乙型号减排器中,二级品的概率为0.25.由题可知,X服从二项分布,即X~B(4,0.25),所以X的分布列为P(X=k)=(0.25)k(0.75)4-k,k=0,1,2,3,4.X的数学期望为E(X)=4×0.25=1.123456②由题可知,甲型号减排器无三级品.由(1)知,抽取的100件甲型号减排器中,一级品的频率为0.6,二级品的频率为1-0.6=0.4,所以可以估计该厂生产的甲型号减排器中,一级品的概率为0.6,二级品的频率为0.4,所以甲型号减排器的利润率的平均值为E甲=0.6×2a+0.4×3a2=1.2a2+1.2a.根据频率分布直方图可得,抽取的100件乙型号减排器中,综合得分位于区间[70,75)内的频率为0.01×5=0.05,即三级品的频率为0.05,所以可以估计该厂生产的乙型号减排器中,三级品的概率为0.05.123456由(2)①知,该厂生产的乙型号减排器中,二级品的概率为0.25,所以一级品的概率为1-0.05-0.25=0.7,所以乙型号减排器的利润率的平均值为E乙=0.7×2a+0.25×3a2+0.05×a2=0.8a2+1.4a.E甲-E乙=1.2a2+1.2a-(0.8a2+1.4a)=0.4a2-0.2a=0.2a(2a-1).因为

,所以E甲-E乙<0,即E甲<E乙,所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.1234564.(17分)(2024浙江金丽衢十二校二模)某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取100件该元件进行检测,检测结果如下表所示.测试指标[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件数/件121836304(1)现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率;(2)关于随机变量,俄罗斯数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对任意正数ε,均有123456(ⅱ)由切比雪夫不等式可知,即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合切比雪夫不等式说明该工厂所提供的合格率是否可信?(注:当随机事件发生的概率小于0.05时,可称其为小概率事件,小概率事件基本不会发生)123456(1)解

由题可知,样品中合格品有36+30+4=70(件),从这100件样品中随机抽取2件.123456123456(ⅱ)解

用Y表示随机抽取100件产品中合格品的件数,假设产品合格率为90%的说法成立,则Y~B(100,0.9),所以E(X)=100×0.9=90,D(X)=100×0.9×(1-0.9)=9.由切比雪夫不等式知,P(X=70)≤P(|X-90|≥20)即在假设下随机抽取100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022

5,所以该事件为小概率事件,基本不会发生,据此我们有理由推断该工厂所提供的合格率不可信.123456核心素养创新练5.(多选题)(2024浙江温州模拟)某企业协会规定:企业员工一周7天要有一天休息,另有一天的工作时间不超过4h,且其余5天的工作时间均不超过8h(每天的工作时间以整数计),则认为该企业“达标”.请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征,判断其中无法确保“达标”的企业有(

)A.甲企业:均值为5,中位数为8B.乙企业:众数为6,中位数为6C.丙企业:众数和均值均为5,下四分位数为4,上四分位数为8D.丁企业:均值为5,方差为6ABD123456解析

甲企业一周7天的工作时间可以为9,8,8,8,2,0,0,满足均值为5,中位数为8,故不达标,故A正确;乙企业一周7天工作时间可以为6,6,6,6,6,6,6,满足众数为6,中位数为6,故不达标,故B正确;丙企业一周7天的工作时间的众数和均值均为5,下四分位数为4,上四分位数为8,设其一周7天的工作时间为4,5,5,8,a,b,c(0≤a≤4≤b≤8≤c≤24),b+c+a=13,为满足众数为5,则b≠4,则b≥5.若a=4,则b=5,则c=4,不满足题意;若c=8,则b=5,则a=0,满足题意,所以0≤a<4<5≤b≤8≤c,所以a+b≥5,所以c≤8,所以c=8,所以a=0,b=5,故丙企业一定达标,故C错误;丁企业一周7天的工作时间可以为0,5,5,5,5,6,9,满足均值为5,方差为6,故不达标,故D正确.故选ABD.1234566.(17分)(2024浙江台州二模)台州是全国三大电动车生产基地之一,拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入,该公司近5年的年广告费xi(单位:百万元)和年销售量yi(单位:百万辆)关系如图所示.123456令vi=lnxi(i=1,2,…,5),数据经计算可知:现有①y=bx+a和②y=nlnx+m两种模型作为年销售量y关于年广告费x的回归模型,其中a,b,m,n均为常数.(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好;(2)根据拟合程度更好的回归模型及表中数据,求出y关于x的经验回归方程,并预测年广告费为6百万元时产品的年销售量;123456(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入,年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ(单位:百万元)影响,设随机变量ξ服从正态分布N(600,σ2),且满足P(ξ>800)=0.3.在(2)的条件下,求该公司年净利润的最大值大于1000(百万元)的概率.(年净利润=毛利润×年销售量-年广告费