2025届高考数学二轮总复习专题4立体几何专题突破练13空间几何体的结构表面积与体积课件

专题突破练13空间几何体的结构、表面积与体积123456789101112主干知识达标若一个正方体的顶点都在某个球面上,则该正方体的表面积与球的表面积的比值是(

)B12345678910111213141516172.(2024陕西宝鸡模拟)2023年3月11日,“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务,顺利返回三亚.“奋斗者”号模型图如图1所示,其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体,其轴截面如图2所示,则该模型球舱的体积为(

)D1234567891011121314151617解析

由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为2

cm,高为2

cm,圆柱的底面半径为2

cm,高为8

cm,故该模型球舱的体积为12345678910111213141516173.(2024山东淄博一模)某圆锥的侧面积为16π,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径长为(

)解析

设圆锥的母线长为l,底面半径为r,即侧面展开图的半径为l,侧面展开图的弧长为πl.又圆锥的底面周长为2πr,所以2πr=πl,即l=2r,所以圆锥的侧面积为πrl=2πr2=16π,解得r=2.故选C.C12345678910111213141516174.(2024东北三省三校第一次联考)已知正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上,且正四棱锥底面边长为4,体积为,则该球表面积为(

)B解析

如图,点H为四边形ABCD的中心,连接PH,AH,则PH⊥平面ABCD.因为正四棱锥底面边长为4,所以四边形ABCD的面积为16,且

,即PH=4.由题可得外接球的球心O在线段PH上,设外接球的半径为R,则OH=4-R,故R2=8+(4-R)2,解得R=3,故正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4×π×9=36π.故选B.123456789101112131415161712345678910111213141516175.(2024湖南邵阳模拟)现准备给一半径为6cm的实心球体玩具制作一个圆台形带盖的纸质包装盒,要使制成的包装盒能装下该球体玩具,且该包装盒的下底面是半径为4cm的圆,则制成的包装盒的容积最小为(

)A.133πcm3

B.399π

cm3C.266πcm3

D.532π

cm3D1234567891011121314151617解析

要使制成的包装盒的容积最小,则该球体玩具与包装盒的上、下底面及侧面都相切,作该圆台形包装盒的轴截面得等腰梯形ABCD如图所示,其中点O为球体玩具的球心,点F,E分别是圆台上、下底面圆的圆心,作AG⊥BC于点G,连接EF,则AG∥EF,AG=EF=12

cm.易知AB=BF+AE,BG=BF-AE,而AB2=AG2+BG2,即(BF+4)2=122+(BF-4)2,所以BF=9

cm,所以该包装盒的容积最小为12345678910111213141516176.(2024湖南常德模拟)我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,本是官员或私人签署文件时代表身份的信物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物来使用.明清时期的一个金属印章摆件如图所示,除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体,已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1,且该几何体的顶点均在体积为36π的球的表面上,则该几何体的表面积为(

)A1234567891011121314151617解析

设球的半径为R,∵球的体积为36π,∴

=36π,∴R=3.∵正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1,且底面积相等,∴正四棱柱和正四棱锥的高相等,设正四棱柱和正四棱锥的高都为h,底面正方形的边长为a,作SH⊥底面ABCD,交平面EFGM于N,易知N,H分别为四边形EFGM、四边形ABCD的中心,根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线,设球心为O,则O为NH中点,∴(2R)2=a2+a2+h2,即2a2+h2=36.如图,作SI⊥EF,则I为EF中点,连接NI,则12345678910111213141516177.(多选题)(2024新疆乌鲁木齐一模)如图,某个几何体是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的,则(

)A.该几何体有12个顶点B.该几何体有24条棱C.该几何体的表面积为(4800+800)cm2D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项ABD1234567891011121314151617解析

因为该几何体的顶点是正方体各棱的中点,正方体有12条棱,所以该几何体有12个顶点,故A正确;由题意知,该几何体在正方体的每个面上有4条棱,正方体有6个面,故该几何体有6×4=24条棱,故B正确;123456789101112131415161712345678910111213141516178.(5分)(2024浙江金丽衢十二校联考)已知圆柱的轴截面面积为4,则该圆柱侧面展开图的周长最小值为

.

12345678910111213141516179.(5分)(2024黑龙江双鸭山模拟)如图所示,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为3,则这个圆锥的高为

,体积为

.

1234567891011121314151617解析

作出该圆锥的侧面展开图,如图所示,123456789101112131415161710.(5分)(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为

.

1234567891011121314151617解析

(方法一

直接法)如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱台中,1234567891011121314151617(方法二

补形法)如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,解得1234567891011121314151617关键能力提升练11.(2023天津,8)在三棱锥P-ABC中,点M,N分别在棱PC,PB上,且PM=PC,PN=PB,则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为(

)B解析

如图,分别过M,C作MM'⊥PA,CC'⊥PA,垂足分别为M',C'.过B作BB'⊥平面PAC,垂足为B',连接PB',过N作NN'⊥PB',垂足为N'.因为BB'⊥平面PAC,BB'⊂平面PBB',所以平面PBB'⊥平面PAC.又因为平面PBB'∩平面PAC=PB',NN'⊥PB',NN'⊂平面PBB',所以NN'⊥平面PAC,且BB'∥NN'.1234567891011121314151617123456789101112131415161712.(2024天津,9)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(

)C1234567891011121314151617解析

如图,用一个和五面体ABC-DEF完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF拼在一起,其中顶点L,M,N分别与顶点D,E,F重合.由题意可知,拼成的组合体是一个三棱柱,且该三棱柱与侧棱垂直的截面是边长为1的等边三角形,其面积为123456789101112131415161713.如图,一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是(

)A1234567891011121314151617解析

将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则如图,水最少的临界情况为水面为面A1BD,水最多的临界情况为水面为面B1CD1.因为1234567891011121314151617BD1234567891011121314151617图1若放入容器内的球可以接触到容器的底面,则当球的半径最大时,球恰好与平面ADD1A1、平面BCC1B1、平面ABCD均相切,过三个切点的截面如图1所示.1234567891011121314151617图21234567891011121314151617图3123456789101112131415161715.(多选题)(2024河北邯郸三模)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”,与正多面体类似,它们也都是凸多面体,每个面都是正多边形,并且所有棱长也都相等,但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到,如图,正八面体E-ABCD-F的棱长为3,取各条棱的三等分点,截去六个角后得到一种阿基米德多面体,则该阿基米德多面体(

)A.共有18个顶点

B.共有36条棱C.表面积为6+8

D.体积为8BD1234567891011121314151617解析

由图可知该多面体有24个顶点,36条棱,故A错误,B正确;该多面体的棱长为1,且表面由6个正方形和8个正六边形组成,故该多面体的表面积为正八面体E-ABCD-F可分为两个全等的正四棱锥,其各棱长均为3,在四棱锥E-ABCD中,过E作EO⊥平面ABCD于点O,连接AO,如图所示.1234567891011121314151617123456789101112131415161716.(多选题)(2024福建厦门模拟)如图,扇形ABC的弧长为12π,半径为6,线段AB上有一动点M,点N是弧BC的三等分点,现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥,使得AB和AC重合,则(

)A.圆锥的体积为216πB.当M为AB中点时,线段MN在底面上的投影长为3C.存在M,使得MN⊥ABBCD1234567891011121314151617如图,设圆锥底面圆的圆心为点O,点M在底面上的投影为H,连接OB,ON,MH,NH,则HN为线段MN在底面的投影,因为M为AB的中点,所以点H为OB的中点,所以OH=3.又∠NOH=120°,ON=6,在△OHN中,1234567891011121314151617延长BO交圆O于点E,连接NE,作NT⊥BE于点T,作TM1⊥AB于点M1,连接M1N.因为AB=AE=6,BE=12,所以AB2+AE2=BE2,所以AB⊥AE,所以TM1∥AE.易知△ONE为正三角形,所以T