第4章：基本平面图形章末重点题型复习-七年级数学上册同步课堂（北师大版）

PAGE1（北师大版）七年级上册数学第4章：基本平面图形章末重点题型复习题型一直线、射线、线段的表示方法1．（2023秋•东城区期末）下列四幅图中，射线PA与射线PB是同一条射线的为（）A． B． C． D．【分析】表示射线可以用两个大写字母表示，端点在前．【解答】解：A．射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误，不符合题意；B．射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误，不符合题意；C．射线PA和射线PB是同一条射线，故此选项正确，符合题意；D．射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了射线的表示方法，关键是要注意射线用两个字母表示时，端点的字母放在前边．2．（2023秋•广阳区期末）如图，下列说法错误的是（）A．直线AC还可以表示为直线CA或直线m B．射线AC与射线CA不是同一条射线 C．点B在直线m上 D．图中有直线1条，射线4条，线段1条【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示进行判断作答即可．【解答】解：由题意知，直线AC还可以表示为直线CA或直线m，A正确，故不符合要求；射线AC与射线CA不是同一条射线，B正确，故不符合要求；点B不在直线m上，C错误，故符合要求；图中有直线1条，射线4条，线段1条，D正确，故不符合要求；故选：C．【点评】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示以及数量问题．熟练掌握直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键．3．（2023秋•莲池区期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为3cm；（3）线段AB和线段BA是同一条线段；（4）射线AB和射线BA是同一条射线；（5）直线AB和直线BA是同一条直线．其中错误的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可．【解答】解：（1）两点确定一条直线，也只能确定一条线段，因此（1）正确；（2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确；（3）线段AB和线段BA是同一条线段，因此（3）正确；（4）射线AB和射线BA是两条不同的射线，因此（4）不正确；（5）直线AB和直线BA是同一条直线，因此（5）正确，综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个，故选：B．【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．4．（2024秋•槐荫区月考）下列说法错误的是（）A．直线l经过点A B．点A在直线m上 C．直线a、b相交于点A D．射线CD与线段AB有交点【分析】根据点和直线的位置关系、两条直线相交的性质、射线与线段相交的性质逐项判断即可．【解答】解：A、由图得，直线l经过点A，原说法正确，故此选项不符合题意；B、由图得，点A在直线m外，原说法错误，故此选项符合题意；C、由图得，直线a、b相交于点A，原说法正确，故此选项不符合题意；D、由图得，射线CD与线段AB有交点，原说法正确，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟知它们的性质是解题的关键．5．（2023秋•兰陵县期末）如图，一根10cm长的木棒，棒上有三个刻度，把它作为尺子，量一次要量出一个长度，能量出的长度有（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【分析】首先求出这根木棒上线段的条数，再根据5是中点即可得出答案．【解答】解：∵这根10cm长的木棒，棒上有三个刻度，∴这根木棒被三个刻度所分成的线段的条数为：1+2+3+4＝10（条），又∵5是中点，其余线段距离相等，∴量一次能量出的线段的条数是：10﹣1＝9（条）．故选：C．【点评】此题主要考查了线段的条数，将量一次能量出的线段的条数转化为求线段的条数是解决问题的关键．6．（2023秋•昌黎县期中）如图，能用字母表示的直线有条；能用字母表示的线段有条；在直线EF上的射线有条．【分析】根据直线、射线、线段的表示法即可得到．【解答】解：图中有直线AB、直线AD，直线EF有3条；以B为端点的射线：有射线BE、射线BC；以C为端点的射线有：CE，CD；以D为端点的射线有：DC、DF，射线共有6条；线段有：AB、BC、CA、BD、CD，AD共有6条．故答案为：3，6，6．【点评】本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键．题型二直线的基本事实的应用1．（2023秋•澧县期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（）A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线【分析】根据两点确定一条直线解答即可．【解答】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，说明线动成面，不符合题意；B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，说明点动成线，不符合题意；C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，说明两点之间，线段最短，不符合题意；D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，说明两点确定一条直线，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是两点确定一条直线，熟知经过两点有且只有一条直线是解题的关键．2．（2024秋•和平区校级期中）数学来源于生活，又应用于生活．生活中有下列现象，其中能用“经过两点有且只有一条直线”来解释的现象有（）①植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上；②小狗看到远处的食物，径直向食物奔跑过去；③木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线；④把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【分析】根据直线的性质、线段的性质、点动成线逐一判断即可求解．【解答】解：①植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，利用了“经过两点有且只有一条直线”，②小狗看到远处的食物，径直向食物奔跑过去，利用了“两点之间线段最短”，③木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“经过两点有且只有一条直线”，④把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，利用了“点动成线”，∴能用“经过两点有且只有一条直线”来解释的现象有①③，故选：B．【点评】本题考查了直线的性质、线段的性质、点动成线，熟练掌握基础知识是解题的关键．3．（2024秋•郑州期中）在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案．【解答】解：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧；“弯曲公路改值”，可以用“两点之间线段最短”来解释，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释．∴这些现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有1个．故选：A．【点评】本题考查直线的性质：两点确定一条直线，关键是掌握直线的性质．4．（2023秋•西华县期末）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是．【分析】根据两点确定一条直线解答即可．【解答】解：工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点评】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键．5．（2024秋•槐荫区月考）在下列现象中：①钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线；可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（填写序号）．【分析】分别根据线动成面、点动成线、两点确定一条直线解释即可．【解答】解：①钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，是线动成面；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，是点动成线；③木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，是两点确定一条直线；可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是③．故答案为：③．【点评】此题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，关键是掌握直线的性质．题型三线段的基本事实的应用1．（2023秋•蒙阴县期末）把弯曲的河道改直，就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是（）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短【分析】根据线段的性质可以直接得出结论．【解答】解：把弯曲的河道改直，就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是：两点之间，线段最短．故选：C．【点评】本题考查了线段的性质，解题的关键是能灵活应用线段的性质．2．（2024春•利津县期末）如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：由于两点之间线段最短，∴剩下树叶的周长比原树叶的周长小，故选：C．【点评】本题考查了线段的性质，利用线段的性质是解题关键．3．（2023秋•左权县期末）下列四个现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（）A．两根电线杆就可以把电线架在空中 B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．射击时目标要在准星和缺口确定的直线上【分析】分别利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．【解答】解：A、两根电线杆就可以把电线架在空中，原理：两点确定一条直线，不符合题意；B、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，原理：两点确定一条直线，不符合题意；C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，原理：两点之间，线段最短，符合题意；D、射击时目标要在准星和缺口确定的直线上，原理：两点确定一条直线，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确区分直线与线段的性质是解题关键．4．（2024•前郭县一模）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，故选：A．【点评】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题关键．5．（2023秋•信阳期末）用所学知识解释生活中的现象，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．．【分析】根据两点之间线段最短，可以说明少数同学的做法不对．【解答】解：从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，用所学数学知识来说明这个问题原因是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．【点评】本题考查了线段的性质，解决本题的关键是掌握线段的性质．题型四线段长度的计算1．（2024秋•万柏林区校级月考）如图，AB＝18cm，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长为（）A．16cm B．15cm C．14cm D．12cm【分析】利用两点间的距离，线段的和差，线段的中点的定义解答．【解答】解：∵AB＝18cm，C为AB的中点，∴AC＝BC＝9cm，∵点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，∴AD9=13，∴DB＝AB﹣AD＝18﹣3＝15（cm）．故选：B．【点评】本题考查了线段的和差，线段的中点，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离，线段的和差，线段的中点的定义．2．（2024秋•晋源区月考）如图，C，D是线段AB上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，若AB＝10，CD＝4，则线段MN的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据线段的和差，可得AC+BD，根据线段中点的性质，可得MC，ND，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由AB＝10，CD＝4，∴AC+BD＝AB﹣CD＝10﹣4＝6．∵M、N分别为AC与BD的中点，∴MC=12AC，ND=∴MC+ND=12（AC+BD）∴MN＝MC+ND+CD＝3+4＝7．故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出AC+BD的长是解题关键．3．（2023秋•惠城区期末）已知点C是线段AB上一点，AC=13（1）若AB＝60，求BC的长；（2）若AB＝a，D是AC的中点，E是BC的中点，请用含a的代数式表示DE的长，并说明理由．【分析】（1）首先根据AB＝60，AC=13AB，求出AC的长度是多少；然后用AB的长减去AC的长，求出（2）首先根据D是AC的中点，E是BC的中点，可得：DC=12AC，CE=12BC，推得DE=12AB；然后根据AB＝【解答】解：（1）∵AB＝60，AC=1∴AC=1∴BC＝AB﹣AC＝60﹣20＝40．（2）如图，，∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DC=12AC∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（AC+BC【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．4．（2023秋•海珠区期末）如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．【分析】（1）根据图示知AM=12AC，AC＝AB﹣（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵点M是AC的中点．∴AM=12AC=12×5=（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN=25BC又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC=12AC∴MN＝MC+NC=172，即MN的长度是【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．5．（2023秋•化州市期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BD＝2cm．（1）求AC的长．（2）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．【分析】（1）根据AC＝AD﹣CD＝AC﹣2BC，即可求出答案；（2）分点E在A的左边和右边两种情形求解即可．【解答】解：（1）∵点B为CD的中点，∴CB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝4cm，∴AC＝AD﹣CD＝9﹣4＝5cm，答：AC的长为5cm．（2）AB＝AC+BC＝7cm，EA＝3cm，当点E在线段AD上时，BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4cm，当点E在线段DA的延长线上时，BE＝AB+AE＝7+3＝10cm．答：BE的长为4cm或10cm．【点评】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本题的关键．6．如图，点C在线段AB上，点M，N分别是线段AC，BC的中点．（1）若CN=15AB＝2cm，求线段（2）若AC+BC＝acm，其他条件不变，请猜想线段MN的长度，并说明理由；（3）若点C在线段AB的延长线上，AC＝p，BC＝q，其他条件不变，求线段MN的长度．【分析】（1）由中点的性质得MC=12AC，CN=12BC，根据MN＝MC+CN=12AC+1（2）与（1）同理；（3）根据中点的性质得MC=12AC，CN=12BC，结合图形依据MN＝MC﹣CN=12AC−1【解答】解：（1）∵CN=15AB＝2∴AB＝10（cm），∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴MC=12AC，CN=∴MN＝MC+CN=12AC+12BC=12（AC+BC（2）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=12AC，CN=∵AC+CB＝acm，∴MN＝MC+CN=12（AC+CB）=12（3）如图，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴MC=12AC，CN=∵AC＝p，BC＝q，∴MN＝MC﹣CN=12AC−12BC=12（AC【点评】本题主要考查的是线段的和差，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．题型五角的概念及表示方法1．（2023秋•坪山区期末）如图所示，∠1还可以表示为（）A．∠A B．∠CAD C．∠BAC D．∠BAD【分析】根据角的表示方法解答即可．【解答】解：∠1还可以表示为∠CAD，故选：B．【点评】本题考查了角的概念，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．2．（2023秋•盘州市期末）平板电脑支架方便用户在不同位置和角度观看平板电脑，如图是支架侧面的平画示意图，其中∠1还可以表示为（）A．∠A B．∠DAC C．∠BAC D．∠ACE【分析】角的表示方法有四种：①用三个字母，中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点；②当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表示；③用一个数字表示一个角；④用一个希腊字母表示一个角，由图即可得出答案．【解答】解：∠1还可以表示为∠BAC．故选：C．【点评】本题考查了角的概念，熟知角的三种表示方法是关键．3．（2023秋•房山区期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误；B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确；C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误；D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．4．（2023秋•湘潭县期末）如图，下列说法错误的是（）A．∠ECA是一个平角 B．∠ADE也可以表示为∠D C．∠BCA也可以表示为∠1 D．∠ABC也可以表示为∠B【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．【解答】解：A、∠ECA是一个平角，故正确，不符合题意；B、∠ADE也可以表示为∠D，故正确，不符合题意；C、∠BCA也可以表示为∠1，故正确，不符合题意；D、∠ABC也不可以表示为∠B，故错误，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了角的表示，解题时注意：在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来记这个角．5．（2023秋•隆化县期末）如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个【分析】利用角的意义分别找出各角即可得出结论．【解答】解：从点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10个，故选：D．【点评】本题主要考查了交点概念，利用角的定义找出各角是解题的关键．6．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（）A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线 B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线 C．∠A和∠BAD表示的是同一个角 D．∠1和∠B表示的是同一个角【分析】根据线的表示方法和角的表示方法逐个判断即可．【解答】解：A、直线BD和直线CD表示的是同一条直线正确，故A正确；B、射线BD和射线CD的端点不同，表示的是不同射线，故B不正确；C、点A处共三个角，不能将某个角表示成∠A，故C不正确；D、点B处有两个小于180°的角，不能将某个角表示成∠B，故D不正确；故选：A．【点评】本题考查了角的表示方法和线的表示方法的应用，准确识图是解题关键．题型六角的度量及角度的计算1．（2023秋•雁塔区校级期中）36.33°用度、分、秒表示正确的是（）A．36°19'48″ B．36°18'108″ C．36°30'33″ D．36°30'3″【分析】将0.33°化为分，再化成秒，可得答案．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.33°＝19.8′，∵1′＝60″，∴0.8′＝48″，∴36.33°＝36°19′48″．故选：A．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．2．（2023秋•五华区期末）将12.28°转化为度分秒的形式为（）A．12°20′8″ B．12°16′48″ C．12°12′48″ D．12.28°【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行换算即可得到答案．【解答】解：∵1°＝60′，1′＝60″，∴12.28°＝12°+0.28×60′＝12°+16.8′＝12°+16′+0.8×60″＝12°+16′+48″＝12°16′48″，故选：B．【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，熟练掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．3．（2023秋•永年区期末）下面等式成立的是（）A．83.5°＝83°50' B．90°﹣57°23'27″＝32°37'33″ C．15°48'36″+37°27'59″＝52°16'35″ D．41.25°＝41°15'【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行换算即可．【解答】解：A、83.5°＝83°30'，故本选项不符合题意；B、90°﹣57°23'27″＝32°36'33″，故本选项不符合题意；C、15°48'36″+37°27'59″＝53°16'35″，故本选项不符合题意；D、41.25°＝41°15'，故本选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了度、分、秒的计算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．4．（2024秋•永年区期中）计算：（1）131°28′﹣32′15″；（2）58°38′27″+47°42′40″．【分析】（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可；（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝130°55′45″（2）58°38′27′+47°42′40″＝106°21′7″【点评】此题考查了度分秒的计算，度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．5．（2023秋•裕华区校级期中）计算：（1）33°16′28″+24°46′37″；（2）24°31′×4﹣62°10′．【分析】（1）根据度分秒的进制，进行计算即可解答；（2）根据度分秒的进制，进行计算即可解答．【解答】解：（1）33°16′28″+24°46′37″＝57°62′65″＝58°3′5″；（2）24°31′×4﹣62°10′＝96°124′﹣62°10′＝34°114′＝35°54′．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．6．（2023秋•汉川市期末）计算：（1）35°45′+23°29′﹣53°17′（2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5【分析】（1）度、分、秒分别相加减得结论；（2）先算乘法，再算加减．【解答】解：（1）35°45′+23°29′﹣53°17′＝58°74′﹣53°17′＝5°57′；（2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5＝67°31′+48°39′﹣106°25′＝115°70′﹣106°25′＝9°45′．【点评】本题考查了角运算，掌握角的运算法则、度数的互换是解决本题的关键．题型七钟表中的角度问题1．（2024春•湛河区校级期末）如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（）A．100° B．105° C．115° D．120°【分析】时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，由此即可算出10时10分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案．【解答】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∴钟表上10时10分钟时，时针从10时转过10分钟转了0.5°×10＝5°，此时时针与垂直线的夹角为60°﹣5°＝55°，分针从12的位置顺时针转了6°×10＝60°，∴10时10分钟时分针与时针的夹角55°+60°＝115°．故选：C．【点评】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．2．（2023秋•澧县期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（）度．A．20 B．120 C．90 D．150【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：4×30°＝120°，∴时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，故选：B．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．3．（2023秋•西固区校级期末）当时钟是3：30时，时针和分针的夹角是（）A．75° B．105° C．85° D．70°【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出3：30时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【解答】解：3：30时，时针和分针中间相差2.5个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴3：30时，分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°．故选：A．【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角，掌握钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°是解题的关键．4．（2023秋•梁山县期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A．110° B．75° C．105° D．90°【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2×30°+1＝60°+15°＝75°，∴钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为75°．故选：B．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．5．（2023秋•雅安期末）钟表上的时间是3时30分，此时时针与分针所成的夹角是度．【分析】3点30分时，时针与分针的夹角分两种情况，根据每相邻两个时间点的夹角为30°，较小夹角是2.5个大格，从而可以求出较小夹角．【解答】解：3点30分时，时针与分针的较小夹角是2.5个大格，一个大格的度数是30°，所以30°×2.5＝75°；故答案为：75．【点评】本题主要考查钟面角的大小，熟知钟面上每相邻两个时间的夹角是30度是解题的关键．6．（2024秋•黄岛区月考）2024年10月30日4时27分神舟十九号载人飞船在洒泉卫星发射中心发射成功．此时分针与时针夹角的度数是．【分析】根据时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：7×6°﹣27×0.5°＝42°﹣13.5°＝28.5°，∴分针与时针夹角的度数是28.5°，故答案为：28.5°．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°是解题的关键．题型八角度的计算1．（2023秋•庆阳期末）如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC＝50°，∠AOD=13∠AOE，∠BOEA．20° B．30° C．50° D．60°【分析】求出∠AOE＝90°，则∠AOD=13∠【解答】解：∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOD=13∠AOE∵∠AOC＝50°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝50°﹣30°＝20°，故选：A．【点评】本题考查了角的计算，求出∠AOD的度数是解题的关键．2．（2023秋•渝中区校级期末）如图，O为直线AB上一点，∠COD＝100°，∠BOD：∠AOC＝1：3，则∠BOC的度数为（）A．110° B．120° C．135° D．140°【分析】利用角的和差关系和平角的定义，先求出∠BOD，再得结论．【解答】解：设∠BOD＝x°则∠AOC＝3x°．∵∠BOD+∠COD+∠AOC＝180°，∴x°+100°+3x°＝180°．∴x＝20．∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝120°．故选：B．【点评】本题主要考查了角的计算，掌握平角的定义和角的和差关系是解决本题的关键．3．（2024春•张店区校级月考）从O点出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．80°或20° B．40°或10° C．40°或20° D．80°或10°【分析】分当OC在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部时，两种情况根据角的和差关系求解即可．【解答】解：如图所示，当OC在∠AOB内部时，∵∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝20°；如图所示，当OC在∠AOB外部时，∵∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝80°；综上所述，∠BOC的度数为80°或20°，故选：A．【点评】本题主要考查了角的计算，关键是掌握几何图形中角度的计算．4．（2023秋•新疆期末）如图所示，点O是直线AB上一点，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，若∠AOC＝68°，则∠BOF和∠EOF是多少度？【分析】由角平分线的定义，结合平角的定义，易求∠BOF和∠EOF的度数．【解答】解：点O是直线AB上一点，则∠AOB＝180°，若∠AOC＝68°，则∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣68°＝112°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=12∠BOC又∵OE平分∠AOC，∴∠EOF=12∠AOC+1故∠BOF和∠EOF分别是56°和90°．【点评】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．5．（2023秋•青龙县期中）如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．（1）当∠AOC＝50°时，求∠DOE的度数；（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，可求出∠BOC的度数，OB平分∠COD，可求出∠COD的度数，根据平角即可求解；（2）∠BOC＝90°﹣∠AOC，∠DOE＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），由此即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝40°，∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．【点评】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解图示中角度的数量关系，位置关系，互余、互补的运算是解题的关键．6．（2023春•高青县期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，∵∠BOD＝90°，∴6α＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝2α＝30°．【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键．题型九线段（或角）的规律探究问题1．（2023秋•绥棱县期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（）A．15 B．30 C．20 D．10【分析】可以借助线段图来分析，有多少条线段，就有多少中不同的票价．【解答】解：如图所示：A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站，图中共有线段：AB，AC，AD，AE，AF．BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，总共15条，所以共有15种不同的票价，故选：A．【点评】本题考查了直线，射线，线段，借助线段图来解决是解题的关键．2．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段，则当线段上有20个点时，共有线段（）条．A．171 B．190 C．210 D．231【分析】根据题意在MN上1个点有1+2＝3条线段，2个点可组成1+2+3＝6条线段，进而可得答案．【解答】解：由题意可知：如果线段上有3个点时，线段共有1+2＝3条，如果线段上有4个点时，线段共有1+2+3＝6条，如果线段上有5个点时，线段共有1+2+3+4＝10条，由以此类推可以得出：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21=1故选：D．【点评】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，根据规律是解题的关键．3．（2023秋•乾安县期末）在∠AOB的内部引一条射线，图中共有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有个角．【分析】每两条射线组成一个角，一条射线与其他射线都能组成一个角，当引出n条射线时，此时共有（n+2）条射线，其中每一条射线与剩余（n+1）条射线都组成一个角，可组成（n+1）个角，（n+2）条射线可组成的角（n+2）（n+1）个角，但每个角都算了两次，则引出n条射线能组成12【解答】解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角；若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角；…若引n条射线，图中共有1+2+3+⋯+(n+1)=1故答案是：12【点评】本题主要考查图形变化类的规律题，能够根据题意找出规律是解题的关键．4．在线段AB上选取3种点，第1种是将AB线段10等分的点；第2种是将AB线段12等分的点；第3种是将AB线段15等分的点，这些点连同AB线段的端点可组成线段的条数是（）A．350 B．595 C．666 D．406【分析】先找出重复的点，再求出所有的点的个数，利用组合即可求出线段的条数．【解答】解：10，12，15的最小公倍数为60，重复的点的个数＝（6012−1）+（除端点外的点的个数为：（15﹣1）+（12﹣1）+（10﹣1）﹣7＝27，∴连同AB线段的端点共27+2＝29个端点，∴29个点任取2个的组合有C（29，2）=29×28故选：D．【点评】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是找出所有的端点个数．5．（2023秋•威县期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C，D，分别以点A，B，C，D为端点的线段共有条．（2）模型构建：若线段上有m个点（包括端点），则共有条线段．（3）拓展应用：若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），根据上述模型，求一共要进行多少场比赛．【分析】【观察思考】从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；【模型构建】根据数线段的特点列出式子化简即可；【拓展应用】将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【解答】解：（1）【观察思考】∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1＝6（条）．故答案为：6；（2）【模型构建】设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1），∴x=12m（故答案为：12m（m（3）【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当m＝8时，m(m−1)2答：一共要进行28场比赛．【点评】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．6．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点．（1）如图1，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有个角．（2）如图2，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有个角．（3）如图3，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有个角．（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有个角．【分析】（1）根据角的定义解决此题．（2）根据角的定义解决此题．（3）根据角的定义解决此题．（4）根据角的定义以及特殊到一般的数学思想解决此题．【解答】解：（1）由图可得，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有的角的个数为2+1＝3（个）．故答案为：3．（2）由图可得，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有的角的个数为3+2+1＝6（个）．故答案为：6．（3）由图可得，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有的角的个数为4+3+2+1＝10（个）．故答案为：10．（4）由（1）（2）（3），以此类推，在角的内部作n条射线，那么图中一共有的角的个数为n+1+n+n﹣1+…+2+1=(n+2)(n+1)故答案为：(n+2)(n+1)2【点评】本题主要考查角，熟练掌握角的定义以及特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．题型十多边形及相关的概念1．（2023秋•济南期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】n边形从一个顶点引出的对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形，由此即可得到答案．【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得：n﹣2＝8，∴n＝10，故选：C．【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握：n边形从一个顶点引出的对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形．2．（2024秋•宁乡市月考）若一个四边形截去一个角后，可能为（）边形．A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．【解答】解：可能为3或4或5边形．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．3．下列说法中错误的是（）A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形【分析】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断．【解答】解：A、多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故A不符合题意；B、四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故B不符合题意；C、多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故C不符合题意；D、三角形是多边形，但多边形不一定是三角形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的定义．4．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能【分析】分为三种情况，画出图形，解答即可．【解答】解：如图1，剩余图形是四边形；如图2，剩余图形是五边形；如图3，剩余图形是六边形；综上所述，剩余的部分是四边形或五边形或六边形．故选：D．【点评】本题考查了多边形，能画出符合的所有情况是解此题的关键．5．（2024•礼县模拟）如图，正六边形的边长为12，AP，BP分别平分∠BAF，∠ABC，则△ABP的周长为（）A．24 B．36 C．38 D．40【分析】根据正六边形可知∠APB为60°，又因为AP＝BP，所以△ABP为等边三角形，可求得△ABP的周长．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠APB=360°6=60°，AP∴△ABP是等边三角形，∴AB＝AP＝BP＝12，故△ABP的周长为36，故选：B．【点评】本题考查正六边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6．（2024秋•黄陂区校级月考）七边形的对角线条数为条．【分析】根据从n多边形的一个顶点可以作对角线的条数为（n﹣3），可得n多边形的对角线共有n(n−3)2条（n【解答】解：七边形的对角线条数为7(7−3)2故答案为：14．【点评】本题考查多边形的对角线条数，熟记多边形对角线条数的公式是解题的关键．7．（2023秋•兴平市期末）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则n＝．【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣3＝9，解得n＝12．故多边形的边数为12，即它是十二边形．故答案为：12．【点评】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．题型十一扇形面积的计算1．（2024•皇姑区开学）下列各图中的正方形面积相等，图（）的阴影面积与另外三图不同．A． B． C． D．【分析】令正方形的边长为a，用a分别表示出四个选项中阴影部分的面积即可解决问题．【解答】解：令正方形的边长为a，则A选项中阴影部分的面积可表示为：a2−π⋅(aB选项中阴影部分的面积可表示为：a2C选项中阴影部分的面积可表示为：a2−π⋅(aD选项中阴影部分的面积可表示为：a2−π⋅(a所以B选项符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，能用a分别表示出各选项中阴影部分的面积是解题的关键．2．（2023秋•鹿寨县期末）一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（）A．4π B．3π C．2π D．π【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案，【解答】解：由题意得：r＝3，n＝120，∴这个扇形面积=120×π×故选：B．【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式nπr3．（2023秋•榆阳区校级月考）如图是一个半径为2cm的圆，扇形AOB（阴影部分）的圆心角为144°，求扇形AOB的面积．（结果保留π）【分析】根据S扇=n【解答】解：扇形AOB的面积为：144360∴扇形AOB的面积为8π5【点评】本题考查扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解决本题的关键．4．（2023秋•兴庆区校级月考）将一个半径为10cm的圆分成3个扇形，其圆心角的比1：2：3，求：①各个扇形的圆心角的度数．②各个扇形的面积．【分析】①三个圆心角的度数之和为360°，据此进行解答；②根据扇形的面积公式进行解答．【解答】解：①设三个圆心角的度数分别是x、2x、3x，则x+2x+3x＝360°，解得x＝60°．故这三个扇形的圆心角分别是：60°、120°、180°；②圆心角为60°的扇形面积为：60×π×10圆心角为120°的扇形面积为：120×π×10圆心角为180°的扇形面积为：180×π×10【点评】本题考查了扇形的面积的计算，认识平面图形，掌握周角的定义和扇形的面积即可解答该题，属于基础题．5．（2023秋•新城区校级月考）如图，把一个圆分成了四个扇形，已知圆的半径为6cm，求扇形甲与扇形丙的面积之和．（结果保留π）【分析】利用360°×百分比求出扇形乙的圆心角，再利用扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：扇形乙的圆心角的度数为360°×35%＝126°，扇形甲、丙的度数之和为：360°﹣126°﹣60°＝174°．因为圆的半径为6cm，所以扇形甲、丙的面积之和为：174360【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形的圆心角度数的计算公式和扇形的面积公式是解题的关键．6．（2024春•临淄区期中）如图，把一个圆分成甲，乙，丙，丁四个扇形．（1）求甲，乙，丙三个扇形的圆心角的度数；（2）若圆的半径为1cm，求扇形丁的面积．【分析】（1）每个扇形的圆心角度数等于360°乘以各自所占圆的百分比，由此即可计算；（2）求出扇形丁的圆心角度数，即可求出扇形丁的面积．【解答】解：（1）扇形甲的圆心角度数＝360°×25%＝90°；扇形乙的圆心角度数＝360°×30%＝108°；扇形丙的圆心角度数＝360°×20%＝72°．（2）∵扇形丁的圆心角度数是360°﹣90°﹣108°﹣72°＝90°，圆的半径是1cm，∴扇形丁的面积=90π×12360【点评】本题考查圆心角，扇形面积的计算，关键是掌握扇形圆心角的度数等于360°乘以扇形所占圆的百分比；扇形面积的计算公式．题型十二线段动点与动角的探究问题1．（2023秋•冷水滩区校级期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值；（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）；（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；（2）由题意得CM＝2cm、BD＝4cm，根据AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD可得答案；（3）根据C、D的运动速度知BD＝2MC，再由已知条件MD＝2AC求得MB＝2AM，所以AM=13（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上分别求解可得．【解答】解：（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm，∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6（cm）；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM=13AB＝4故答案为：4cm；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝4，∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，∴MNAB②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB＝12，∴MNAB综上所述MNAB【点评】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．2．如图，射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，动点P从O点出发沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，动点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时，立即停止运动），点P，Q同时出发．（1）当点P与点Q同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度．（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P，Q两点相距70cm？（3）当PA＝2PB时，点Q恰好运动到线段AB的三等分点处，求点Q的运动速度．【分析】（1）设点Q的运动速度为xcm/s，根据题意列出方程，求出x即可；（2）原本P、Q之间距离大于70cm，所以要分两种情况，第一相距70cm跟相遇后两者相距70cm，根据路程＝速度×时间，即可求得，不过第二次相距70cm时，Q点早已到达O点停止运动；（3）PA＝2PB分两种情况，一种P在线段AB内，一种P在线段AB的延长线上，根据速度＝路程÷时间，即可求得点Q的速度．【解答】解：（1）设点Q的运动速度为xcm/s，根据题意，得：OA+12AB解得x＝0.8．（2）∵OA+AB+BC＝90cm＞70cm，∴分两种情况，①Q在P的右侧，经过时间为90−701+3=5（②Q在P的左侧，∵点Q运动到点O时，立即停止运动，∴Q运动的时间为903=30（两者相距70cm时运动的时间为701=70（综合①②得知，经过5秒和70秒的P、Q两点相距70m．（3）PA＝2PB，分两种情况，①当点P在A、B两点之间时，∵PA＝2PB，∴PA=23AB＝40此时运动的时间为OA+PA1=60∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，∴BQ=13AB＝20cm，或BQ=23点Q的运动速度为BC+BQ60=0.5cm/s或56cm②当点P在线段AB的延长线上时，∵PA＝2PB，∴PA＝2AB＝120cm，此时运动的时间为OA+PA1=140∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，∴BQ=13AB＝20cm，或BQ=23点Q的运动速度为BC+BQ140=314cm/s或5综合①②得知，当点P在A、B两点之间时，点Q的运动速度为0.5cm/s或56cm/s；当点P在线段AB的延长线上时，点Q的运动速度为314cm/s或514cm【点评】本题考查了线段的和差，解题的关键是（1）熟练运用解分式方程的知识解决问题；（2）PQ相距70cm分两种情况，第一次相距70cm和相遇后再次相距70cm；（3）当PA＝2PB时，分两种情况，一种点P在线段AB内，一种点P在线段AB延长线上．3．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）当t＝0秒时，AC的长为，当t＝2秒时，AC的长为．（2）用含有t的代数式表示AC的长为．（3）当t＝秒时AC﹣BD＝5，当t＝秒时AC+BD＝15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可．（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点A、点D表示的数；根据两点间的距离＝|a﹣b|表示出AC、BD，根据AC﹣BD＝5和AC+BD＝15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC＝2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）当t＝0秒时，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；当t＝2秒时，移动后C表示的数为2，∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．故答案为：2；4．（2）点A表示的数为﹣2，点C表示的数为t；∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．故答案为t+2．（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，∴C表示的数是t，D表示的数是3+t，∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，∵AC﹣BD＝5，∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．解得：t＝6．∴当t＝6秒时AC﹣BD＝5；∵AC+BD＝15，∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，t＝11；当t＝11秒时AC+BD＝15，故答案为6，11；（4）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，∵AC＝