成都二诊高三数学试卷

成都二诊高三数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=\sqrt{4x^2-3x+2}$的定义域为$D$，则$D$为（）

A.$(-\infty,\frac{1}{4}]$

B.$[\frac{1}{4},+\infty)$

C.$(-\infty,\frac{1}{4})\cup(\frac{1}{4},+\infty)$

D.$(-\infty,\frac{1}{4}]\cup[\frac{1}{4},+\infty)$

2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,-2)$，$\overrightarrow{b}=(2,1)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为（）

A.$-5$

B.$-3$

C.$3$

D.$5$

3.在三角形ABC中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，则$\angleC$的度数为（）

A.$75^\circ$

B.$105^\circ$

C.$120^\circ$

D.$135^\circ$

4.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项$a_{10}$的值为（）

A.25

B.28

C.31

D.34

5.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)$的零点为（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

6.已知复数$z=a+bi$（其中$a,b\in\mathbb{R}$），若$|z|=1$，则$z$在复平面上的几何意义为（）

A.$z$的实部为1

B.$z$的虚部为1

C.$z$在单位圆上

D.$z$在单位圆内

7.在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于直线$x+y=1$的对称点为（）

A.（1，2）

B.（1，0）

C.（3，2）

D.（3，0）

8.已知函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f'(x)$的值为（）

A.$2$

B.$2x$

C.$2x-2$

D.$2x+2$

9.在三角形ABC中，若$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，则$\angleA$的正弦值为（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{3}$

D.$\frac{5}{4}$

10.已知等比数列$\{a_n\}$的首项为2，公比为$\frac{1}{2}$，则第5项$a_5$的值为（）

A.$2$

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{1}{8}$

D.$8$

二、判断题

1.函数$y=x^3-3x$在$x=0$处取得极小值。（）

2.向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$90^\circ$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$。（）

3.在等腰三角形中，底角相等。（）

4.等差数列的前$n$项和可以表示为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）

5.函数$y=\frac{1}{x}$在$x=0$处没有定义，因此它的图像在$x$轴上有间断点。（）

三、填空题

1.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项为3，公差为2，则第10项$a_{10}$的值为______。

2.在三角形ABC中，若$AB=5$，$AC=12$，$BC=13$，则$\angleB$的正切值为______。

3.函数$f(x)=x^2-4x+3$的顶点坐标为______。

4.若复数$z=3+4i$，则$z$的模长为______。

5.在平面直角坐标系中，点P（-3，4）关于原点的对称点坐标为______。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像特征，并说明如何根据函数的系数判断其图像的开口方向和顶点位置。

2.给定两个向量$\overrightarrow{a}=(2,3)$和$\overrightarrow{b}=(-1,2)$，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的点积，并解释其几何意义。

3.证明等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$的正确性。

4.设函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，求函数的垂直渐近线方程，并解释垂直渐近线的概念。

5.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2）和点B（4，6），求线段AB的中点坐标，并解释中点坐标的计算方法。

五、计算题

1.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$，求导数$f'(x)$，并找出函数的极值点。

2.给定两个向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$和$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的叉积，并计算其模长。

3.计算等差数列$\{a_n\}$的前10项和，其中首项$a_1=5$，公差$d=3$。

4.求解方程组$\begin{cases}x^2-2x-3=0\\y-2x=1\end{cases}$，其中$x$和$y$为实数。

5.若函数$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$在区间$[1,3]$上的最大值为$M$，求$M$的值。

六、案例分析题

1.案例背景：某班级组织了一次数学竞赛，共有30名学生参加。竞赛成绩的分布如下表所示：

|成绩段|人数|

|--------|------|

|90-100|5|

|80-89|8|

|70-79|10|

|60-69|7|

|50-59|0|

|40-49|0|

|30-39|0|

|20-29|0|

|10-19|0|

|0-9|0|

请根据上述数据，完成以下分析：

（1）计算该班级数学竞赛的平均成绩。

（2）分析该班级学生在数学竞赛中的成绩分布情况，并给出可能的改进措施。

2.案例背景：某工厂生产一批产品，其质量分布如下：

|质量等级|百分比|

|----------|--------|

|A|30%|

|B|50%|

|C|20%|

请根据上述数据，完成以下分析：

（1）计算该批产品的平均质量等级。

（2）如果工厂希望提高产品的质量等级，应该采取哪些措施？请结合数据分析你的建议。

七、应用题

1.应用题：某商店以每件100元的价格购进一批商品，为了促销，商店决定将商品提价20%后进行销售。请问商店在提价后每件商品的售价是多少？如果商店预计销售100件商品，那么总收入是多少？

2.应用题：一个长方形的长是宽的两倍，且长方形的周长是24厘米。求长方形的长和宽。

3.应用题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时后，发现油箱中的油还剩下一半。如果汽车的平均油耗是每公里0.5升，那么汽车油箱的容量是多少升？

4.应用题：某班级有学生40人，为了参加学校组织的篮球比赛，需要选出10名学生组成一支队伍。如果每个学生都有机会被选中，且每个学生只能被选中一次，那么有多少种不同的选人方法？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.C

3.B

4.B

5.B

6.C

7.A

8.A

9.A

10.C

二、判断题答案：

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.31

2.$\frac{4}{3}$

3.（$\frac{3}{2}$，-2）

4.5

5.（3，-4）

四、简答题答案：

1.函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像是一个抛物线。当$a>0$时，抛物线开口向上，顶点为极小值点；当$a<0$时，抛物线开口向下，顶点为极大值点。顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$。

2.向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的点积为$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times(-1)+3\times2=4$。点积的几何意义是向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$在相同方向上的投影长度的乘积。

3.等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$可以通过等差数列的定义和求和公式推导得出。

4.函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的垂直渐近线方程为$x=1$和$x=-1$。垂直渐近线是函数图像在某个点处趋向无穷大的直线。

5.线段AB的中点坐标为$\left(\frac{1+4}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(2.5,4)$。中点坐标的计算方法是将线段两端点的坐标分别求平均值。

五、计算题答案：

1.$f'(x)=6x^2-6x+4$，极值点为$x=\frac{1}{2}$。

2.叉积为$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=2\times2-3\times(-1)=7$，模长为$\sqrt{7^2}=7$。

3.前10项和为$S_{10}=\frac{10(5+5+9\times3)}{2}=330$。

4.解得$x=3$，$y=5$。

5.$M=\max\{f(1),f(3)\}=\max\{\frac{1}{2},\frac{9}{4}\}=\frac{9}{4}$。

六、案例分析题答案：

1.（1）平均成绩为$\frac{5\times90+8\times80+10\times70+7\times60}{30}=72$。

（2）学生成绩分布不均衡，大多数学生成绩在70分以上，说明教学效果较好。建议加强基础知识的辅导，提高低分学生的成绩。

2.（1）平均质量等级为$30\%\timesA+50\%\timesB+20\%\timesC=0.3\timesA+0.5\timesB+0.2\timesC$。

（2）为了提高产品质量等级，建议加强质量控制，提高A等级产品的比例，降低C等级产品的比例。

题型知识点详解及示例：

一、选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，如函