安徽省单招数学试卷

安徽省单招数学试卷一、选择题

1.下列函数中，定义域为全体实数的函数是（）

A.f(x)=1/x

B.f(x)=√(x-1)

C.f(x)=x^2

D.f(x)=log2(x)

2.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，对称轴为x=1，则下列结论正确的是（）

A.a>0,b<0

B.a>0,b>0

C.a<0,b<0

D.a<0,b>0

3.若函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则该极值为（）

A.1

B.-1

C.0

D.3

4.下列各式中，表示x的一次函数的是（）

A.y=2x+3x^2

B.y=x^2+2

C.y=2x+3

D.y=3x+5+x^3

5.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=2处取得极值，且极值为0，则下列结论正确的是（）

A.a>0,b<0

B.a<0,b>0

C.a>0,b>0

D.a<0,b<0

6.下列函数中，f(2)>f(1)的是（）

A.f(x)=x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=2x

D.f(x)=1/x

7.下列各式中，表示y的二次函数的是（）

A.y=x^2+2

B.y=2x+3x^2

C.y=3x+5+x^3

D.y=1/x

8.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，若f(-1)=0，且f(x)在x=0处取得极值，则下列结论正确的是（）

A.a>0,b>0

B.a<0,b<0

C.a>0,b<0

D.a<0,b>0

9.下列函数中，f(0)=f(2)的是（）

A.f(x)=x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=2x

D.f(x)=1/x

10.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且极值为0，则下列结论正确的是（）

A.a>0,b<0

B.a<0,b>0

C.a>0,b>0

D.a<0,b<0

二、判断题

1.函数y=√(x^2-1)的定义域为{x|x≤1或x≥-1}。（）

2.如果一个函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内的任意两个不同点，都有f(x1)<f(x2)，其中x1<x2。（）

3.一个函数在某个点取得极小值，那么这个点一定是函数的局部最小点。（）

4.如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在x=a处连续。（）

5.函数y=x^3在全体实数域上既有最大值也有最小值。（）

三、填空题

1.函数f(x)=3x^2-12x+5的顶点坐标为______。

2.若函数f(x)在区间[0,2]上连续，在区间(0,2)内可导，且f(0)=2，f(2)=6，则函数f(x)在x=1处的导数值为______。

3.已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，则f(0)的值为______。

4.函数y=log2(x)的图像与x轴的交点坐标为______。

5.若函数f(x)=x^2+2x+1在x=-1处的导数等于______。

四、简答题

1.简述二次函数的图像特征，并给出二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式。

2.什么是函数的可导性？简述可导性的几何意义，并举例说明。

3.解释函数的极值和最值的概念，并说明如何判断一个函数在某一点是否取得极值。

4.简述拉格朗日中值定理的内容，并给出其数学表达式。

5.证明函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,3]上至少有一个零点。

五、计算题

1.计算函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的导数f'(x)。

2.已知函数f(x)=(x-1)/(x^2+1)，求f(x)在x=0处的导数f'(0)。

3.求函数f(x)=e^(2x)-3x的极值点，并判断是极大值还是极小值。

4.设函数f(x)=x^2+4x+3，求f(x)在区间[-2,5]上的最大值和最小值。

5.已知函数f(x)=x^3-4x+6，求f(x)在x=2处的切线方程。

六、案例分析题

1.案例背景：某工厂生产一批产品，其成本函数为C(x)=10x+100，其中x为生产的产品数量，售价为每件20元。

问题：

（1）求该工厂生产x件产品的利润函数L(x)。

（2）若要使利润最大化，工厂应该生产多少件产品？

（3）如果市场需求限制工厂最多只能生产200件产品，求在此条件下的最大利润。

2.案例背景：某城市公共交通系统正在考虑引入新的票价结构以优化运营成本和乘客满意度。当前的票价结构为单程票价与乘车距离成正比，即P(d)=kd，其中d为乘车距离，k为比例系数。

问题：

（1）如果城市交通系统的运营成本函数为C(d)=0.1d^2+10d，求比例系数k，使得总收入R(d)=P(d)d等于运营成本。

（2）如果为了提高乘客的出行频率，城市决定将票价降低10%，新的票价函数为P'(d)=0.9kd，求新的总收入R'(d)与原来的总收入R(d)之间的关系，并分析对运营成本和乘客满意度的影响。

七、应用题

1.应用题：某商品的成本函数为C(x)=100x+2000，其中x为生产的商品数量，市场需求函数为D(x)=1500-2x。求：

（1）该商品的销售收入函数R(x)。

（2）当产量为多少时，利润最大？

（3）若要使利润达到2000元，应生产多少商品？

2.应用题：某工厂的日产量为Q(t)=50t，其中t为生产时间（天），每单位产品的生产成本为C=10元，市场需求函数为D(p)=200-5p，其中p为产品单价（元）。求：

（1）求该工厂的日销售收入函数R(p)。

（2）若要使日利润最大，产品单价应定为多少？

（3）如果工厂希望日利润达到3000元，产品单价应设定为多少？

3.应用题：某城市计划在一条街道上安装路灯，已知每盏路灯的安装费用为200元，每年维护费用为30元。街道长度为1000米，每20米安装一盏路灯。求：

（1）安装这些路灯的总费用。

（2）每年的总维护费用。

（3）如果街道长度增加到1500米，每30米安装一盏路灯，重新计算总费用和总维护费用。

4.应用题：某公司生产一种产品，其需求函数为Q(p)=500-10p，其中p为产品价格（元），成本函数为C(Q)=2000+50Q，其中Q为生产的数量。求：

（1）求该公司的收入函数R(Q)。

（2）若公司希望利润最大，应生产多少产品？

（3）如果公司希望利润达到10000元，应设定产品价格是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.B

3.C

4.C

5.A

6.C

7.A

8.C

9.A

10.D

二、判断题答案：

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.（1,-2）

2.3

3.-1

4.（0,0）

5.0

四、简答题答案：

1.二次函数的图像特征包括：开口向上或向下，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。顶点坐标公式为：(-b/2a,c-b^2/4a)。

2.函数的可导性是指函数在某一点的导数存在。其几何意义是：在函数图像上，某一点处的切线斜率就是该点的导数值。例如，函数f(x)=x^2在x=0处的导数为f'(0)=2，表示在x=0处切线的斜率为2。

3.极值是指函数在某一点取得的最大值或最小值。最值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。判断极值的方法有：一阶导数法、二阶导数法等。例如，函数f(x)=x^3在x=0处取得极小值，因为在x=0处的一阶导数为0，二阶导数为正。

4.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在至少一点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

5.证明：根据罗尔定理，函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且f(0)=f(3)=0，因此存在至少一点c∈(0,3)，使得f'(c)=0。由于f'(x)=3x^2-3，当x=0或x=1时，f'(x)=0，因此c=1。故函数f(x)在区间[0,3]上至少有一个零点。

五、计算题答案：

1.f'(x)=3x^2-12x+9

2.f'(0)=-1

3.极值点为x=1，是极小值。

4.最大值为23，最小值为-1。

5.切线方程为y=5x-3

六、案例分析题答案：

1.（1）L(x)=20x-10x^2-100

（2）生产100件产品时利润最大。

（3）生产150件产品时利润达到2000元。

2.（1）R(p)=200-10p^2

（2）产品单价应定为10元。

（3）日利润最大，产品单价应定为10元。

3.（1）总费用为18000元。

（2）每年总维护费用为3000元。

（3）总费用为22500元，总维护费用为3750元。

4.（1）R(Q)=500Q-10Q^2

（2）生产50产品时利润最大。

（3）产品价格应设定为50元。

知识点总结：

本试卷涵盖的理论基础部分主要包括函数的基本概念、函数图像、导数、极值、最值、中值定理、拉格朗日中值定理以及应用题的解决方法。

知识点详解及示例：

1.函数的基本概念：函数的定义、函数的图像、函数的性质等。

示例：函数f(x)=x^2的定义域为全体实数，值域为[0,+∞)，图像是一个开口向上的抛物线。

2.函数图像：函数图像的绘制、函数图像的变换等。

示例：函数f(x)=2x的图像是一条通过原点且斜率为2的直线。

3.导数：导数的定义、导数的计算、导数的几