基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块

基础知识梳理及基础题型归纳

立体几何模块目录

第一节简单空间几何体..............................................1

【知识点1】认识简单几何体..........................................1

【知识点2】投影问题................................................7

【知识点3】三视图回题（备选内容）..................................9

【知识点4】斜二测画法.............................................11

第二节点、线、面的位置关系.......................................15

【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系...................15

【知识点6】空间两条直线的位置关系.................................21

【知识点7】平行公理（公理4）...............................................................................22

【知识点8】等角定理及异面直线所成的角.............................23

【知识点9】直线和平面的位置关系...................................27

【知识点101两个平面的位置关系....................................28

第三节直线、平面平行的判定及其性质..............................31

【知识点11】直线与平面平行的判定..................................31

【知识点12】平面与平面平行的判定定理..............................35

【知识点13】直线与平面平行的性质..................................39

【知识点14］平面与平面平行的性质.................................44

第四节直线、平面垂直的判定及其性质..............................51

【知识点15】直线与平面垂直的判定..................................51

【知识点16】直线与平面所成的角....................................55

【知识点17】距离问题..............................................58

【知识点18］二面角的概念..........................................62

【知识点19］平面与平面垂直........................................65

【能力提升】垂直问题难点突破专题..................................68

第五节空间几何体的表面积却体积..................................73

【知识点20】空间几何体的表面积....................................73

【知识点21】空间几何体的体积......................................82

第六节空间向量与立体几何.........................................89

一、空间向量的线性运算............................................89

【知识点1］空间向量的概念.........................................89

【知识点2】空间向量的加减运算及运算律.............................90

【知识点3】数乘向量运算...........................................91

二、空间向量的基本定理............................................93

【知识点4】共线向量定理...........................................93

【知识点5】共面向量定理...........................................94

【知识点6】空间向量分解定理.......................................95

三、两个向量的数量积..............................................98

1

【知识点7】两个向量的数量积.......................................98

四、空间向量的直角坐标运算.......................................103

【知识点8】空间向量的坐标表示....................................103

【知识点9】空间向量的坐标运算....................................104

【知识点101空间向量的平行、垂直及模、夹角.......................104

第七节立体几何中的向量方法.....................................108

一、空间向量与平行关系...........................................108

二、空间向量与垂直关系...........................................112

三、空间向量与空间角.............................................115

四、空间向量与距离...............................................120

2

篇一立体几何知识点全面扫描及典例体验

第节简单空间几何体

【知识点1】认识简单几何体

1.空间几何体

（1）概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空

间几何体.

（2）多面体与旋转体

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（如图），围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;

相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

2.几种常见的多面体

多而体定义图形及表示相关概念

有两个面互相平行，其余各

底面（底）：两个互相平行的面

面都是四边形，并且每相邻

侧面:其余各面..

棱柱两个四边形的公共边都互相

如图可记作：棱柱ABCDEF侧棱：相邻侧面的公共边.

平行，由这些面所围成的多

-A'B'CD'E'F'顶点：侧面与底面的公共顶点.

面体叫做棱柱.

N联炊

有一个面是多边形，其余各分MJ：\\^«W底面（底）：多边形面.侧面：有

面都是有一个公共顶点的三公共顶点的各个三角形面

棱锥

角形，由这些面所围成的多人B侧棱：相邻侧面的公共边.

如图可记作，

面体叫做棱锥.顶点：各侧面的公共顶点.

棱锥S-ABCD

蕖上底面：原棱锥的截面

/八、

:件：下底面：原棱锥的底面.

用一个平行于棱锥底面的平

侧面：其余各面

棱台面去截棱锥，底面与截面之

侧棱：相邻侧面的公共边.

间的部分叫做棱台.

如图可记作：棱台顶点：侧面与上（下）底面的公

ABCD-A'B'CD'共顶点.

3.棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.

上底面变小上底面缩小为一个点

上底面扩大到顶点拓展为与下底面平

与下底面相等行，相似但不全等的面

4.（1）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

'正棱柱（底面是正多边形）

直棱柱（侧棱垂直底面）•

棱柱一般的直棱柱

斜棱柱（侧棱不垂直底面）

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

底面是平行四边形侧横垂直于底面

平行六面体

四

棱

柱

侧柱垂直于底面底面是平行四边形

直四楂柱

底

底面是正方形-面

_是

所

_长

有

_方

棱

_形

K_

相_

等

体

方

长

⑦所有棱长相等体底面是矩形平行六面体

（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表:

平行于底面

名称底面侧面侧棱高

的截面

平行且全等的两个

斜棱柱平行四边形平行且相等与底面全等

多边形

棱柱

平行且全等的两个平行、相等且垂等于

直棱柱矩形与底面全等

多边形直于底面侧棱

全等的等腰三有一个公共顶

正棱锥一个正多边形过底面中心与底面相似

角形点且相等

棱锥

其他棱有一个公共顶

一个多边形三角形与底面相似

锥点

平行.旦相似的两个全等的等腰梯相等且延长后

正棱台与底面相似

正多边形形交于一点

棱台

其他棱平行且相似的两个延长后交于一

梯形与底面相似

台多边形点

2

温馨提醒：正四面体是所有极长相等的特殊的正三棱锥。正楂柱：底面是正多边形的直棱柱。

5.旋转体

（1）圆柱

①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

②相关概念（图1）

③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱（70.

底而

圆锥

图1图2

（2）圆锥

①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.

②相关概念（图2）

③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.

（3）圆台

①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

②相关概念（图3）

③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台00。

（4）球

①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

②相关概念（图4）

③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.

（5）圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

隹上底缩小

上底缩小,/：为一点

顶点拓

工底扩大至展为

行

与面

平

：4底

等下底面■一

的

但

全等

L不

上面

底

圆柱圆台

6.简单组合体

（1）概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、

3

球等几何结构特征的物体组成的.

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

【典型题型】

【例1】下列几何体中，是棱柱，是棱锥，是棱台(仅填相应序号).

【变式1】下列几何体是台体的是(

【变式2】如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形

成的几何体的形状是.

【例2】下列说法正确的有(填序号).

①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；

③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的恻棱所在直线均相交于同一点；

⑤多面体至少有四个面.

【变式1】判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形;

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.

4

【例3】在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正

五棱柱对角线的条数共有（）

A.20B.15C.12D.10

【变式1】过球面上任意两点4、8作大圆，可能的个数是（）

A.有且只有一个B.一个或无穷多个C.无数个D.以上均不正确

【例4】某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该

为（）

【变式1】如图，在4X3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能

画出4个这样的图形吗？

【例5】（1）在半径等于13cm的球内有一个截面，它的面积是25ncm2,求球心到截面的距离.

（2）一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4ncm?和25兀cm?.求：

①圆台的高：

②截得此圆台的圆锥的母线长.

5

【变式1】已知球的两个平行截面的面积分别为5n和8口，它们位于球心的同一侧，且距离为1,那么这

个球的半径是（）

A.4B.3C.2D.O.5.

【能力】【例6】如图所示，在侧棱长为2百的正三棱锥V—ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=40°,

过A作截面AEF,求截面4AEF周长的最小值.

V

B

【探究变式】

【变式1】如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行

一周到达点A1,则爬行的最短路程为.

【变式2】如图，一只正三棱锥ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发，沿着三棱柱的

侧面绕行两周到达A1的最短路线长为？

6

【变式3】如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1,母线长/=4,M为母线以上的一个点，且SM=

x,从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点4求：

(1)绳子的最短长度的平方次防；

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离;

(3次用的最大值.

【知识点2】投影问题

1.投影问题

光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.

其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影

平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。

在平行投影中，投影线正对着(即垂直)投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.

例1.如图所示，在正方体力5co中中，M、N分别是BC的中点.则图中阴影部分在平面

力。。上的正射影为()

7

CD

3

aMb0HD-x

人

【变式1】如图所示，在正方体ABCD-AMCR中，M为DD的中点,则图中阴影部分BC.M在平面BCC,B,±

的正投影是（）

C1_B.CiBiCiBi

N。0

D.Bk

cCBCBc

【变式2］将正方体（如图①所示）截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体在平面BCGBi的正

投影为

ABCD

【答案】B

【变式3】下列图形：①线段；②直线：③球；④梯形；⑤长方体，其中投影不可能是线段的是

（填序号）.

【例2】如图所示，棱长为1的正方体中，若E,尸分别为/Ui，CMi的中点，G是正

方形BCGB］的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的投影的面积的最大值为.

8

【变式1】半径为R的球。放置在水平平面a上，点P位于球O的正上方，且到球。表面的最小距离为R,

则从点P发出的光线在平面a上形成的球。的中心投影的面积等于.

【知识点3］三视图问题（备选内容）

（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图,叫做几何体的正视图;

（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图,叫做几何体的侧视图:

（3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图,叫做几何体的俯视图;

正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.

太难了，有没有熟悉的场景理解三视图啊？长方体看为空间，下面对应的面看为投影面。

熟悉1：简单几何体的三视图

9

正视图州视图

动动手：作出三棱锥P-ABD的三视图

例1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()

例2.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()

B

正视图侧视图

B

俯视图

【变式2】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为)

【变式3】如图(1)(2)(3)(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这匹个几何体依次分别为()

10

二A

正视图侧视图

俯视图俯视图

(1)(4)

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆令

【例3】如图所示，画出下列组合体的三视图.

----

①

【变式1】某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征.

S：土

由正视图：侧视图

俯视图

【知识点4】斜二测画法

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点。，画直观图时，把它们画成对应的f

轴和y轴，两轴相交于点O,且使//。了=45。(或135。)，它们确定的平面表示水平面.

(2)画线：已知图形中平行于X轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于V轴或y轴的线段.

(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变,平行于y轴的线段，袋

度变为原来的一半.

2.立体图形直观图的画法规则：画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面，O'垂直

的轴O'z',且平行于O'z'的线段长度不变，其他同平面图形的画法.

【典例】

11

例1（平面图形的直观图）画出如图水平放置的直角梯形的直观图.

OB

【思考】若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

【反思】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关钝之一，一般要使平面多边形

尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线

段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这

些顶点顺次连结即可.

变式1：如图所示，为一个水平放置的正方形/8CO,它在直角坐标系xOv中，点8的坐标为（2,2）,则在

用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点夕到/轴的距离为.

例2（由直观图还原平面图形）如图所示，B'C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还

原成平面图形.

12

【反思】由直观图还原平面图形的关键

(1)平行,轴的线段长度不变，平行V轴的线段扩大为原来的2倍.

(2)对于相邻两边不与/、轴平行的顶点可通过作/轴，/轴的平行线确定其在x。，中的位置.

【变式2】如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6cm,

CD'=2cm,则原图形是

【例3】(原图形与直观图的面积计算)如图所示，梯形是一平面图形力8co的直观图.若

401〃。'y',A\B\//C\D\,48i=；GDi=2,A\D\=O'1.试画出原四边形的形状，并求出原图形

的面积.

【反思】(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中

变为与水平直线成45。(或135。)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.

(2)若一个平面多边形的面积为S,它的直观图面积为S',则S'=S.

4

【变式3】如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形HB'0',若O'B1

=1»那么原三角形ABO的面积是.

13

【例4】(简单几何体的直观图)用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体

ABCD—A1B'CD'的直观图.

【反思】直观图中应遵循的基本原则

(1)用斜二测画法画空间图彩的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、n轴的线段在直观图中应分别画成平

行于.一轴、yf轴、z'轴的线段.

(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的；

(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.

【变式4】用斜二测画法画出六棱锥尸一488所的直观图，其中底面48CDE尸为正六边形，点P在底

面上的投影是正六边形的中心0.(尺寸自主)

14

第二节点、线、面的位置关系

【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系

1.平面的概念

(1)平面的概念：

广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的

几何概念.

(2)平面的画法：

D_______c

一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图4_/7

AB

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被

遮挡部分用虚线画出来.

AEX/B

(3)平面的表示方法

平面通常用希腊字母a,夕，y…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面a、

平面AC等.

2.点、线、面之间的位置关系

点、立线、平面之间的基本位置关系及语言表达

位置关系符号表示

点尸在直线上PW4B

点C不在直线彳B上C^AB

点M在平面AC内平面AC

点4不在平面4C内4至平面AC

直线AB与直线BC交于点BABQBC=B

直线4B在平面4C内48U平面/C

直线441不在平面4C内441a平面AC

15

3.平面的基本性质

公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用

如果一条直线上的两点在一(1)判定直线在平面

A^a

公理1个平面内，那么这条直线上所内：

%///BGa

有的点都在这个平面内(2)证明点在平面内

(1)判断两个平面是

如果两个平面有一个公共点，

P^a否相交；

那么它们还有其他公共点，这=>aCl^=/

公理2受PW(2)判定点是否在直

些公共点的集合是经过这个

旧_PRl线上：

公共点的一条直线

(3)证明点共线问题

力，8,。不共线今4,

经过不在同一条直线上的三

公理3ZBB,C确定一个平面

点，有且只有一个平面3

a

经过一条直线和这条直线外A^l=^A和/确七一(1)确定一个平面的

推论1

的一点，有且只有一个平面ZiV个平面a依据；

(2)证明平面重合;

经过两条相交直线，有且只有aC\b=A—a,b确定

推论2(3)证明点、线共面

一个平面/2/一个平面a

经过两条平行直线，有且只有a"b=a、b确定一

推论3

一个平面Z—：/个平面a

【典例讲解】

类型一、符号表示问题

【例1】(点、直线、平面之间的位置关系的符号表示)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间

的位置关系.

(1)

【反思】(1)用文字语言、符号语言表示一个图彩时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之

间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

16

【变式1】若点4在直线b上，匕在平面夕内，则点4直线人平面日之间的关系可以记作.（填

序号）

①ASbSB；②ASbU氏③AUbU0；④AUbe艮

【变式2】空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是.

【思考1】在正方体力8c。一小BiGOi中，P,Q,R分别是川5,4D,81cl的中点，那么正方体经过P,Q,

R的截面图形是.

【变式1】如图，直角梯形。中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形”DC所在平面外一点，画出平

面SBD和平面SAC的交线.

类型二、点线共面问题

【例2】（点线共面）如图，已知：tfCa,bUa,aQb=A,PBb,PQ//af求证：PQUa.

【变式1】求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.

17

【反思】证明多线共面的两种方法

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.

【变式2】已知/2n/3=Z?>!\(^h=c,如图所示.求证；直线/】，，2，，3在同一平面内.

类型三，点共线、线共点问题

【例3】(点共线)如图，在正方体川?45Goi中，设线段4c与平面力3c交于点0,求证：B,

Q,小三点共线.

【反思】证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证

明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.

18

【变式1】已知△48C在平面a外，其三边所在的直线满足/18Ga=P,8Cria=0,ACQa=R,如图所

示.求证：P,0,R三点共线.

【变式2】若直线/与平面a相交于点O,A,BGi,C,D^a,且4C〃8。，则O,C,。三点的位置关系

是.

【例4】（线共点问题）如图所示，在正方体488—小田中，E为48的中点，尸为彳出的中点.求

证：CE,DiF,。力三线交于一点.

【反思】证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直

线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别

交于两点，再证点重合，从而得三线共点.

19

【变式,1］如图，已知。，E是△/8C佗边AC,8c上的点，平面a经过。，E两点,若直线48与平面a

的交点是P,则点P与直线。E的位置关系是

【变式2】如图所示，在空间四边形48co中，E,厂分别是⑷5和C8上的点，G,，分别是。。和40上

的点,啥吐AHCG.

c

求证：EH,BD,产G三条直线相交于同一点.

20

【知识点6】空间两条直线的位置关系

1.在同一平面内，两条直线位置关系：平行与相交.

空间中，既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线。

空间两条直线的位置关系

位置关系共面情况公共点个数

相交直线在同一平面内有且只有二个

平行直线在国二平面内没有

异面直线不同在任何一个平面内没有

判断异面直线的方法

方法内容

定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线

典型例题异面直线的判断

【例1】（1）在四棱锥尸一/8CO中，各棱所在的直线互为异面的有对.

（2）如国是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么48,CD,EF,G//这四条线段所在直线是

异面直线的有几对？分别是哪几对?

【反思】（1）判断空间中两条直线位置关系的关键点

①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.

②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.

（2）判定两条直线是异面直线的方法

①证明两条直线既不平行又不相交.

②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是

异面直线.用符号语清可表示为4任。，Bi=a,B年I,/JQ,则力片与/是异面直线（如图）.

21

【变式1］（1）如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有

________对.

（2）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:

®ABLEF；

②七户与A/N是异面直线；

③MN〃CD.

以上结论中正确的序号为

【变式2】如图所示，在三棱锥4—8C。中，E,F是棱4D上异于4,。的两个不同点，G,H是梭BC

上异于8,。的两个不同点，给出下列说法:

①48与8互为异面直线；

②切分别与。C,互为异面直线;

③EG与/互为异面直线；

④EG与48互为异面直线.

其中说法正确的是.（填序号）

【知识点7】平行公理（公理4）

jj•

平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：

hi/c

典型例题

【例1】（概念理解）.下列四个结论中错误命题的个数是.

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线mb,c满足q〃b,b_Lc,则a_Lc；

④若直线4，/2是异面直线，则与人/2都相交的两条直线是异面直线.

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【变式1】下列三种说法：

①若直线a,8相交，b,c相交，则a,c相交；

②若a〃4则a,6与。所成的角相等；

③若a_Lb,b-Lc,则a〃c.

其中正确的个数是.

【思考1］已知在空间四边形48CQ中，M,N分别是48,8的中点，且4c=4,BD=6,则MN的取

值范围为.

【知识点8】等角定理及异面直线所成的角

（1）等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别壬丘并且方向桓同，那么这两个角相等.

（2）异面直线所成的角

前提两条异面直线出b

定义作法经过空间任意一点O,作直线//a,b'//b

结论我们把加