命题与证明-2024年中考数学复习新题速递

2024年中考数学复习新题速递之命题与证明（2024年3月）

一.选择题（共10小题）

1.在桌面上分开放着“（。24）枚硬币，其中有〃枚硬币反面朝上，其余正面朝上.规定1

次操作是将•。枚硬币中的4枚进行翻转.设经过c次操作后所有硬币都正面朝上.对于

以下命题：①如果〃=。=4,那么c的最小值为1；②如果。=6,且b=2,那么c的最

小值为2：③如果〃=4,且（）＜。＜4,那么。不存在；④如果〃=4奸2"为正整数），且

b=a-1,那么。不存在.正确的命题个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

2.下列命题中，真命题是（）

A.同位角相等

B.如果两个角相等，那么它们是对顶角

C.等腰三角形的两底角相等

D.如果必=0,那么Q=0,h=0

3.下列命题中，真命题的是（）

A.同旁内角相等

B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.若b//c,贝ija〃c

D.三角形的一个外角大于它的内角

4.下列命题中，其中真命题的个数是（）

①三边对应相等的两个三角形全等；

②两边对应相等且一个角对应相等的两个三角形全等；

③两边对应相等的两个直角三角形全等；

④一边对应相等的两个等边三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

5.下列命题是假命题的是（）

A.全等三角形的面积相等

B.两直线平行，同位角相等

C.如果两个角相等，那么它们是对顶角

D.平行于同一条直线的两条直线平行

6.对于命题“如果于1+/2=90°,那么N1WN2.”能说明它是假命题的反例是（)

A.Z1=Z2=45°B.Zl=40°,Z2=50°

C.Zl=50a,Z2=50°D.Zl=40°,Z2=40°

7.下列说法正确的是（）

A.命题一定是正确的

B.不正确的判断就不是命题

C.定埋都是真命题

D.基本事实不一定是真命题

8.下列命题中，属于真命题的是（）

A.8的立方根是±2B.眄是无理数

C.。的平方根是0D."的相反数是2

9.下列命题正确的是（）

A.两个等腰三角形全等

B.平移前后的两个三角形全等

C.等边三角形是中心对称图形

D.直知三角形既是轴对称图形又是中心对称图形

10.下列命题中是假命题的是（）

A.在△A8C中，若则△44C是直角三角形

B.在△A8C中，若三边长为9、40、41,则△44C是直角三角形

C.在△A8C中，若NA：NB：ZC=3：4：5,则AABC是直角三角形

D.在△ABC中，若a：btc=5：4：3,则aABC是直角三角形

二.填空题（共5小题）

II.命题“/=/,贝||。=8，，是命题（填，，真”或，，假，，）.

12.如图，在Riz2xA6C中，ZACB-900,—60°,AC-6V3,将△A6C绕点C逆时

针旋转到△£QC的位置，点B的对应点。首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长

CB

13.将命题“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”改为“如果……，那么

的形式为.

14.将命题“全等三角形对应边上的中线相等”改写成“如果…那么…”的形

式•

15.现有四个命题：

①同位角相等；

②如果”_L〃，aLc,那么〃_Lc；

③在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行；

④当〃为正整数时，〃2+3〃+1的值一定是质数.

其中是假命题的是.（只填序号）

三.解答题（共5小题）

16.如图，点O,E,厂分别是三角形A3。的功A4,AC,4。功上的点，有下列三个条件：

①DE〃BC；

@DF//AC；

③N1=NC.

（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可

以组成的命题；

（2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明.

①②Nl=/2；③BE//CF,以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组

成一个真命题，并证明.

12,

F

D

18.如图，平行四边形ABC。的对角线AC、B。相交于点0,延长4B至点E,连接CE.现

有以下信息：①乙48c=90°；©EC//BD；③AC=EC.从三条信息中选择两条作为条

件，另一条作为结论，组成一个真命题并说明理由.你选择的条件是,结论

是（填写序号）.

E

19.如图，在△A8C和△£>£/中，B,E,C,/在同一条直线上.下面四个条件：①.48=

DE；②AB//DE；®BE=CF；®ZA=ZD.

（1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即

可，填序号）.

①已知：；求证：.

②已知：；求证：.

（2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明.

20.在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究.她发现在直角梯形中，如果两内

角（非直角内角）的隹平分线相交丁腰上同点，那么两底边的K度之和等丁这两内角

夹边的长度.她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的

对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，过点上作AO的垂线，垂足为点尸（只保留作图痕迹）.

已知：在四边形4BCO中，AB//CD,N8=90°,4E平分N84。，OE平分NADC.

求证：AB+CD=AD.

证明：•・•/1£平分N8AD,

^EFIAD,

，NAFE=90°.

，N8=90°,

A.ZB=ZAFE.

在△ABE和△人在中，

(乙B=Z.AFE

J/-BAE=/-FAE,

1()=()

/.^ABE^/\AFE(AAS).

同理可得：CD=DF

：,AB+CD=AF+DF=AD.

小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条

腰上同一点，均有此结论.请你依照题意完成下面命题：

如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那

么_______________________.

D

2024年中考数学复习新题速递之命题与证明（2024年3月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.在桌面上分开放着。（。24）枚硬币，其中有。枚硬币反面朝上，其余正面朝上.规定1

次操作是将。枚硬币中的4枚进行翻转.设经过c次操作后所有硬币都正面朝上.对于

以下命题：①如果。=〃=4,那么c的最小值为1；②如果。=6,Hb=2,那么c的最

小值为2；③如果〃=4,且0VAV4,那么。不存在；④如果。=4女+2（M为正整数），且

b=a-I,那么。不存在.正确的命题个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理；列代数式；一元一次不等式的应用.

【答案】。

【分析】读懂题意理解规则，逐项验证即可得到答案.

【解答】解：①如果。=6=4,根据题意有4枚硬币反面朝上，1次操作是将4枚硬币中

的4枚进行翻转，从而确定经过1次操作即可使所有硬币都正面朝上，故①正确；

②如果〃=6,b=2,根据题意有4枚硬币正面朝上、2枚反面朝上，1次操作是将3枚正

面朝上的硬币和1枚反面朝上的硬币进行翻转，得到2枚正面朝上、4枚反面朝上，2次

操作将4枚反面朝上的硬币进行翻转，即可使所有硬币都正面朝上，故②正确；

③如果a=4,0VAV4,则〃可取1、2、3,即有1人或2个或3个反面朝上，1次操作

是将4枚硬币中的4枚进行翻转，总会有正面也有反面朝上，故不可能使所有硬币都正

面朝上，故③正确；

④如果。=奴+2a为正整数），且/>=4-i,则只有1枚硬币正面朝上，软+1枚硬币反

面朝上，I次操作是将4枚硬币进行翻转，A次可将软枚反面朝上的硬币全部翻转成正

面朝上，也就转变成了软+2枚硬币中有1枚反面朝上，每次翻动4枚的操作，最终无论

翻转多少次都无法使所有硬币都正面朝上，故④正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查命题与定理、列代数式及一元一次不等式的应用，解题的关键是

熟练掌握以上知识点并灵活运用.

2.下列命题中，真命题是（）

A.同位角相等

B.如果两个角相等，那么它们是对顶角

C.等腰三角形的两底角相等

D.如果ab=O,那么B=0,b=0

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性

质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】C

【分析】根据同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式的性质即可判断.

【解答】解：4.同位角不一定相等，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B.两个角相等不•定是对顶角，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；

C.等腰三角形的两个底角相等，所以原命题是真命题，故本选项符合题意；

D.如果“〃=0,那么0=0或方=0,所以原命颍是假命撅，故本诜项不符合题章：

故选：C.

【点评】本题主要考查命题和定理，同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式

的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

3.下列命题中，真命题的是（）

A.同旁内角相等

B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.若〃〃儿b//c,则”〃c

D.三角形的一个外角大于它的内角

【考点】命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的判定与

性质；三角形内角和定理.：三角形的外角性质.

【专题】线段、角、框交线与平行线；三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】根据平行线的性质，、三角形外角性质等逐人判断即可.

【解答】解：人、两条直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，不符合题意；

仄过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；

C、根据平行于同一直线的两直线平行，故原命题是真命题，符合题意；

。、若三角形的外角也可能等于它相邻的内角，此时三角形为直角三角形，故原命题是假

命题，不符合题怠.

故选：c.

【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质等，属于基础题，记牢各性质即可.

4.下列命题中，其中真命题的个数是（）

①三边对应相等的两个三角形全等；

②两边对应相等且一个角对应相等的两个三角形全等；

③两边对应相等的两个直角三角形全等；

④一边对应相等的两个等边三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

【考点】命题与定理：全等三角形的判定；直角三角形全等的判定；等边三角形的性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】C

【分析】根据三角形全等的判定逐一判断即可.

【解答】解：①SSS全等三角形判定，是真命题；

②S4S或SSA,但.SSA不能作为全等三角形判定，是假命题；

③S4S或"L都可以判定两个直角三角形全等，是真命题；

④等边三角形三边都柱等，一边对应相等即三边都对应相等，即SSS,是真命题：

有3个真命题，

故选：C.

【点评】本题主要考杳的是命题与定理的知识，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关

键.

5.下列命题是假命题的是（）

A.全等三角形的面积相等

B.两直线平行，同位角相等

C.如果两个角相等，那么它们是对顶角

D.平行于同一条直线的两条直线平行

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行公理及推论；全等三角形的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力.

【答案】C

【分析】根据全等二角形的性质对A选项进行判断；根据平行线的性质对8选项进行判

断；根据对顶角的定义对C选项进行判断；根据平行线公理对。选项进行判断.

【解答】解：A.全等三角形的面积相等，此命题为真命题，所以A选项不符合题意；

B.两直线平行，同位由相等，此命题为真命题，所以8选项不符合题意；

C.如果两个角相等，那么它们是对顶角，此命题为假命题，所以。选项符合题意；

D.平行于同一条直线的两条直线平行，此命题为真命题，所以。选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一

个命题是假命题，只需举出一个反例即可.掌握对顶角、邻补角、平行线公理和全等三

角形的性质是解决问题的关键.

6.对于命题“如果Nl+N2=90°,那么N1WN2.”能说明它是假命题的反例是（）

A.Z1=Z2=45°B.Zl=40°,Z2=50°

C.Zl=50°,N2=50°D.Zl=40°,Z2=40°

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；数感.

【答案】A

【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断

即可.

【解答】解：4、N1=N2=45°满足Nl+N2=9（）°,但不满足N1KN2,满足题意；

B、Zl=40°,N2=50°满足命题“如果Nl+N2=90°,那么N1KN2."，不符合题

意；

C、Zl=50°,Z2=50°不满足命题“如果Nl+N2=90°,那么N1WN2."，不符合

题意；

。、Zl=40c,Z2=40°不满足命题“如果Nl+N2=90°,那么N1W/2."，不符合

题意；

故选:A.

【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的

关键.

7.下列说法正确的是（）

A.命题一定是正确的

B.不正确的判断就不是命题

C.定理都是真命题

D.基本事实不一定是真命题

【考点】命题与定理.

【答案】C

【分析】根据真、假命题的意义对A、B、。进行判断；根据定理的定义对。进行判断.

【解答】解：人、命题有真命题与假命题，所以A选项错误；

B、不正确的判断是假命题，所以B选项错误；

C、定理都是经过推论、论证得到的真命题，所以。选项正确；

。、基本事实是真命题，所以。选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题：正确的命题称为真命题；错

误的命撅称为假命题：经过推论、论讦得到的真命题称为定理.

8.下列命题中，属卜真命题的是（）

A.8的立方根是±2B.眄是无理数

C.0的平方根是0D.勺相反数是2

【考点】命题与定理；平方根；算术平方根；立方根；无理数；实数的性质.

【专题】实数：运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根据立方根的意义可对选项A进行判断；根据眄=3可对选项3进行判断；根

据平方根的意义可时选项。进行判断:根据逐=2及相反数的定义可对选项。进行判断.

【解答】解：•・•8的立方根为2,

・•・选项A不正确，

故命题8的立方根是±2是假命题，不符合题意；

V>/9=3,

・・・g不是无理数，

，选项B不正确，

故命题g是无理数是假命题，不符合题意；

:0的平方根是0,

・•・选项C正确，

故命题。的平方根是0是真命题，符合题怠:

V>/4=2,

・.・"相反数是-2,

・••命题〃相反数是2是假命题，不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了平方根和立方根的意义，把反数的定义，熟练掌握平方根和立

方根的意义，理解相反数的定义是解决问题的关键.

9.下列命题正确的是（）

A.两个等腰三角形全等

B.平移前后的两个三角形全等

C.等边三角形是中心对称图形

D.直角三角形既是轴对称图形又是中心对称图形

【考点】命题与定理：轴对称图形：平移的性质：中心对称图形：全等三角形的判定：

等腰三角形的性质；等边三角形的性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】B

【分析】由轴对称图形、中心对称图形的定义，全等三角形的判定方法，平移的性质，

等边三角形的性质，等腰三角形的性质，即可判断.

【解答】解：A、两个等腰三角形不一定仝等，故4不符合题意：

B、平移前后的两个三角形全等，正确，故8符合题意；

C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；

D,等腰直角三角形是轴对称图形，其他的直角三角形既不是轴对称图形乂不是中心对称

图形，故。不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，全等三角形的判定，平移的性质，等边

三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键.

10.下列命题中是假命题的是（）

A.在△/WC中，若则△ABC是直角三角形

B.在△ABC中，若三边长为9、40、41,则△ABC是直角三角形

C.在△48C中，若NA：/B：ZC=3：4：5,则4人合。是直角三角形

D.在△A8C中，若a：b：c=5：4：3,则△A8C'是直角二角形

【考点】命题与定理；勾股定理的逆定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】利用直角三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、在△A3C中，若N8=NC+NA,贝!Z\A4c是直角三角形，正确，是真

命题，不符合题意；

B、在ABC中，若三边长为9、40、41,则△ABC不是直角三角形，正确，是真命题，

不符合题意；

C、在△A8C中，若N4：/B：ZC=3：4：5,则△ABC是锐角三角形，故原命题错误，

是假命题，符合题意；

D、在△A8C中，若。b：c=5：4：3,则△ABC是直角三角形，正确，是真命题，不

符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法，难

度不大.

二.填空题（共5小题）

n

11.命题“〃=说RlJa=b是真命题（填“真”或"假”）.

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】真.

【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.

【解答】解:a3=b\则是真命题，

故答案为：真：

【点评】此题考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举

出一个反例即可这是数学中常用的一种方法.

12.如图，在RtZXABC中，ZACZ^=90<>,N3=60°,AC=6V3,将3c绕点C逆时

针旋转到△EOC的位置，点B的对应点。首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长

为2鬲.

A

ED

CB

【考点】轨迹；旋转佗性质；含30度角的直角三角形：勾股定理.

【专题】平移、旋转与对称：推理能力.

【答案】2V3K.

【分析】由直角三角形的性质可求BC,由旋转的性质可求CB=CD,NBCD=NACE,

可证△ACO是等边三角形，可得N8CO=NACE=60°,由弧长公式可求解.

【解答】解:VZACB=9()°,N8=60°,AC=6%/3,

又将△ABC绕点C逆时针旋转到△£：丸•的位置，

:.CB=CD,/BCD=/ACE,

.••△3CO是等边三角形，

：,ZBCD=ZACE=60°,

・••点A的运动路径的长为60"6与=2V3TT,

180

故答案为：2V3TC.

【点评】本题考查了轨迹，旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，求出旋转角

是解题的关键.

13.将命题“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”改为“如果……，那么……”

的形式为如果角内部一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线

±..

【考点】命题与定理；角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设前是如果，结论前是那么，如此答案可

得.

【解答】解：把命题“带的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”改写成“如果…

那么…”的形式是：如果角内部一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角

平分线上，

故答案为：如果角内部一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上.

【点评】本题考查了命题的改写问题.找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键.

14.将命题“全等三角形对应边上的中线相等”改写成“如果…那么…”的形式如果两个

三角形全等，那么对应边上的中线相等.

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】“全等三角形对应边上的中线相等”的条件是：两个三角形全等，结论是：对应

边上的中线相等.据此即可写出所求的形式.

【解答】解：“全等三带形对应边上的中线相等”的条件是：两个三角形全等，结论是：

对应边上的中线相等.

则改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等.

故答案为：如果两个三角形全等，那么对应边上的中线相等.

【点评】本颍考杳了命撅的叙述，正确分清命撅的条件和结论是杷命题写成“如果…那

么…”的形式的关键.

15.现有四个命题：

①同位角相等；

②如果a_LZ?,a_Lc,那么Z?_Lc；

③在同•平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行；

④当为正整数时，〃2+3〃+1的值一定是质数.

其中是假命题的是①②④.（只填序号）

【考点】命题与定理；非负数的性质：偶次方；配方法的应用；同位角、内错角、同旁

内角；平行线的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】①②④.

【分析】根据同位角的定义、平行线的判定、两条直线的位置关系、质数的定义判断即

可.

【解答】解：①同位角不一定相等，故①是假命题；

②在同一平面内，如果。，力，ale,那么〃〃c,故②是假命题；

③在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故③是真命题；

④当〃=6时，〃2+3〃+|=55,而55不是质数，故④是假命题.

具中是假命题的是①

故答案为：①②④.

【点评】本题主要考看命题与定理的知识，熟练掌握同位角的定义、平行线的判定、两

条直线的位置关系、质数的定义是解答此题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.如图，点。，“分别是三角形ABC的边AC,4C边上的点，有下列三个条件：

®DE//BCx

®DF//AC；

③N1=NC.

（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可

以组成的命题：

（2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明.

【考点】命题与定理；平行线的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力.

【答案】（1）可以组成三个命题，（i）如果①OE〃8C,②。/〃AC,那么③Nl=NC.（ii）

如果①③N1=NC,那么②。尸〃4c.（iii）如果②。尸〃AC,③N1=NC,那

么①DE〃BC；

（2）三个命题都是真命题，证明见解答过程.

【分析】（I）可以组成三个命题，（i）①②为题设，③为结论；（ii）①③为题设，②

为结论；（适）②③为题设，①为结论；

（2）上述的三个命题都是真命题，（i）由。E〃8c得NC+NOEC=180°,再由D/〃

AC得Nl+NQEC=180°,由此可得出结论；（ii）由。£〃8C得NC+/O£C=180°,

再根据N1=NC得NI+NQEC=180°,由此可得出结论；（造）由。AC这/I+N

DEC=I8O°,再根据/l=NC得NC+NDEC=18（）c,由此可得出结论.

【解答】解：（1）可以组成三个命题，

(i)如果①。E〃BC@DF//AC,那么③N1=NC.

(ii)如果①DE〃3c③NUNC,那么②OF〃AC.

(iii)如果②。/〃AC③/1=NC,那么①O£〃8c.

(2)上述的三个命题都是真命题，证明如下：

(i)*：DE//BC,

AZC+ZDEC=180°,

又尸〃AC,

/.Zl+ZDEC=180°,

AZ1=ZC.

(ii)VDE/7BC,

AZC+ZDEC=180°,

VZ1=ZC,

AZ1+ZD£C=180°,

：,DF//AC.

(iii)9：DF//AC,

AZl+ZD£：C=180o,

*/Zl=ZC,

：.ZC+ZDEC=\^°,

：.DE//BC.

【点评】此题主要考查了命题，平行线的判定和性质，理解命题的定义，准确识图，熟

练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键.

17.如图，有如下三个论断：

①AB〃CD；②Nl=/2；③8E〃CH以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组

成个真命题，并证明.

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、杵交线与平行线；推理能力；应用意识.

【答案】若AB〃C。，Z1=Z2,^\BE//CF.证明见解析部分.

【分析】可以有①®得到③（答案不唯一）.

【解答】解：可以选①©=③.

即：潦AB//CD,ZI=Z2,则

理由：*：AB//CD,

，NABC=NDCB,

VZ1=Z2,

/.NEBC=/FCB,

：,BE//FC.

【点评】此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题：正确的命题叫真命题，错误

的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理.也考查了平行线的性质.

18.如图，平行四功形的对角线AC、4。相交于点O,延长A4至点E,连接现

有以下信息：①//WC=90°；②EC〃B»③AC=EC从三条信息中选择两条作为条

件，另一条作为结论，组成一个真命题并说明理由.你选择的条件是®®,结论是

③（答案不唯一）（填写序号）.

E

【考点】命题与定理；平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】①②；③（答案不唯一）.

【分析1任选其中两条作为已知条件，剩余一条作为结论，均为真命题，结合平行四边

形、矩形的判定与性质等知识进行证明即可.

【解答】解：情况一：选择条件是①②，结论是③，是真命题；理由如下：

;四边形A8CD是平行四边形，ZABC=90°,

・•・四边形A8CO为矩形，

：.AC=BD,AB//CD,

•:EC"BD,

•••BEC。为平行四边形，

:.BD=CE,

：,AC=CE；

情况二：选择条件是①③，结论是②，是真命题；理由如下：

\'AC=EC,N4BC=90°,

：,AB=BE,

•・•四边形ABC。是平行四边形，

：,AB//CD,AB=CD,

:・BE=CD,

・•・四功形3QCE星平行四功形，

：,EC//BD；

情况三：选择条件是②结论是①，是真命题；理由如下：

•・•四边形ABCO是平行四边形，

J.AB//CD,

*：EC//BD,

...四边形是平行四边形，

:.BD=EC,

\*AC=EC,

：,AC=BD,

•・•四边形ABC。是平行四边形，

・•・四边形ABC。是矩形，

AZABC=90°.

故答案为：①②；③（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行四边形、矩形的判定与性质，等

腰三角形的性质等知识是解答此题的关键.

19.如图，在△ABC和△£>£/中，B,E,C,尸在同一条直线上.下面四个条件：①48=

DE；②AB〃DE；③BE=CF；®ZA=ZD.

（1）请选择具中的二个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即

可，填序号).

①已知：①②③：求证：④.

②已知：②③④；求证：①.

(2)在(1)的条件下，选择一种情况进行证明.

【考点】命题与定理；平行线的判定与性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】(1)①②③，④；②③④，①；答案不唯一

(2)见解答.

【分析】(1)根据全等三角形的判定方法选则条件即可；

(2)若已知①②③，求证④，则根据“SAS”证明△ABCgaDEF,从而得到NA=ND.

【解答】(1)解：①可以选择①②③为条件，④为结论；

故答案为：①②③，④；

②可以选择②③④为条件，①为结论；

故答案为：②③④，①；

(2)已知①@③，求证④；

证明：-：AB//DE,

：・NB=NDEF,

•:BE=CF,

:,BE+EC=EC+CF,

即BC=EF,

在△ABC和△£)£：/中，

(AB=DE

=乙DEF，

(BC=EF

/.AABC^ADEF(SAS),

ZA=ZD.

【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一

个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

20.在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究.她发现在直角梯形中，如果两内

角（非直角内角）的隹平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角

夹边的长度.她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的

对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，过点七作的垂线，垂足为点尸（只保留作图痕迹）.

已知：在四边形ABCO中，AB//CD,NB=90°,4E平分DE平分NADC.

求证：AB+CD=AD.

证明：平分N84D,

，/BAE=/FAE.

*：EF±AD,

产E=90°.

AZB=90°,

...ZB=ZAFE.

在AABE和△AFE中，

（乙B=Z.AFE

jLBAE=ZLFAE,

:（AAS）.

AAB=AF.

同理可得：CD=DF

：.AB+CD=AF+DF=AD.

小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条

腰上同点，均有此结论.请你依照题意完成下面命题：

如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么

两底边的长度之和等「这两内角夹边的长度..

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质：角平分线的性质；直角梯形；作图一

基本作图.

【专题】图形的全等；梯形；尺规作图；推理能力.

【答案】ZBAE=ZFAE,AE=AE,AB=AF；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长

度.

【分析】用尺规作E凡LA。，见作图；由A4S证明得到4B=AF,同理

可得：CD=DF,即可证明问题，如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相

交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.

【解答】解:EFLAD,见作图；

证明：・・・AE平分N8AD,

：.^BAE=Z.FAE,

'/EFLAD,

/.ZAFE=90°.

VZ5=90°,

：.ZB=ZAFE,

在AABE和△AFE中，

ZB=Z.AFE

匕BAE=Z.FAE,

AE=AE

：.^ABE^/XAFE(AAS),

：.AB=AF,

同理可得：CD=DF,

：.AB+CD=AF+DF=AD.

如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两

底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.

故答案为：/BAE=/FAE,AE=AEfAB=AF；两底边的长度之和等于这两内角夹边的

长度.

DC

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，作图-基本作图，直角梯形，角平分线定

义，关键是通过作辅助线构造全等三角形.

考点卡片

1.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为。时，则其中的每一项都

必须等于0.

2.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于小这个数就叫做〃的平方根，也叫做〃的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为“介,负的平方根表示为“-6”.

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作6.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，

0的立方根是0.

3.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于小即/=〃，那么这个正数

X叫做4的算术平方根.记为

（2）非负数。的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数：②算术平方根。本

身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

4.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，

如果f=〃，那么x叫做a的立方根.记作：VH.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数。的立方根的运算叫开立方，其中〃叫做被开方数.

注意：符号狙中的根指数“3”不能省略：对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数：。的平方根是0;负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，

0的立方根是0.

5.无理数

（1）＞定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、

2的平方根等.

（2）、无理数与有理数的区别：

①杷有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,：=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如a=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有n的数，如分数］是无理数，因为n是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如虎，V5,遥等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有二的绝大部分数,如2n.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如S%是有理数，而不是

无理数.

6.实数的性质

（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样.实数。的绝对值就是在数轴上这

个数对应的点与原点的距离.

（2）实数的绝对值：正实数。的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，。的绝

对值是0.

（3）实数〃的绝对值可表示为|〃|=5（。20）（〃V0）,就是说实数。的绝对值一定是

一个非负数，即同20.并且有若用=〃（〃20）,则工=±”.

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若。与〃互为倒数，则"=1；反之，若必=1,则。与

〃互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数.

7.列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，

就是列代数式.

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，

仔细辩析词义.如“除”与“除以”,“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分.②

分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式

时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低

级运算，耍杷代数式中代表低级运算的这部分括起来.⑷规范书写格式.列代数时要按要求

规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除

法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括

号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

I.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”

简写作“V或者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成

假分数.

4.含有字母的除法，般不用“+”（除弓），而是写成分数的形式.

8.配方法的应用

I、用配方法解一元二次方程.

配方法的理论依据是公式/±2心沙2=（〃土方）2

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项

系数一半的平方.

2、利用配方法求二次二式是一个完全平方式时所含字母系数的值.

关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方.

3、配方法的综合应用.

9.一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低下”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合颍意的解.

10.对顶角、邻补角

（1）对顶角：有一个公关顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，

具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，

互为邻补角.

（3）对顶角的性质：对顶角相等.

（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180。.

（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角

都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形

成的.

11.同位角、内错角、同旁内角

<1）同位角：两条直线被笫三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且

在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位用.

（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且

在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错定.

（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所载形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并

且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.

（4）二线八角中的某两个角是不是同位先、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中

的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必

有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即

为被截的线.同位角的边构成“产”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”

形.

12.平行公理及推论

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条宜线与这条直线平行.

（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说，它是“能但只能画出

一条”的意思.

（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也•互相平行.

（4）平行公理的推论可以看做是平行线的•种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直

线平行时应用.

13.平行线的判定与性质

（I）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系

来寻找角的数量关系.

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.

14.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

<3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的发数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，

用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

15.二角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角

形的外角.

16.全等三角形的性质

（1）性质1：全等三角形的对应边相等

性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

（2）关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边.

②要正确区分对应边与对边，对应角9对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角

形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对•边，对角是指边

的对角.

17.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

（2）判定定理2：SAS■■两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

<3）判定定理3：ASA■一两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对■边对应相等的两个三角形全等.

（5）判定定理5：-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若

已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边

对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应

邻边.

18.直角三角形全等的判定

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边"或

2、直角三角形首先是三角形，所以•般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角

形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为公理就是直角三角形独有的判定方法.所

以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

19.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

20.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两山的距离箱等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立.作为证明两条线段相

等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分

线的性质语言：如图，TC在NAQB的平分线上，CQ1O4,CELOB：.CD=CE

21.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等隹】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从