《高等数学》单元课程设计

《高等数学》单元课程设计1

课题函数

讲课班级略上课时间2课时课型理论课

知识目的：理解函数、分段函数掌握基本初等函数的图像和性质

能力目的：能纯熟建立简朴问题的函数关系式，感知数学知识的逻辑性

教学目的

情感目的：通过实际案例激发学生学习数学的积极性

情感目的：通过实际案例激发学生学习数学的积极性

重理解函数H勺概念，掌握基本初等函数的图像和性质

教学重点与点

难点难

就实际问题形成函数，建立实际问题的数学模型

点

任务一：理解学习高等数学的意义、措施、内容，学习的规定

任务二：通过案例分析.学会建立简朴问题的函数关系式。

任务描述

任务二：通过案例分析，学会建立简朴问题口勺函数关系式。

任务二：通过案例分析，学会建立简朴问题的函数关系式。

案例驱动，提问，启发，探讨，多媒体教学

教学措施

教学参照资《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社,.

料

教学过程设计

教学环节教学内容设计意图

任务1：学习高等数学的意义、措施、内容，学

认识应用高等数学的重要性，

1引言习的规定

培养浓厚的学习爱好

从学生实际生活中碰到的问题

任务2:通过案例分析，学会建立简朴问题口勺

入手，引导学生分析问题引入

函数关系式。

2案例引入概念，这样能激发学生的学习

案例1气温与时间

爱好。

案例2邮件付费

1.函数的定义

2.函数的两要素讲清概念的内涵和外延，感受

3.函数的记号数学知识的高度严谨与抽象

3理解函数

4.函数□勺三种表达措施，性，培养学生的抽象概括能力

的1概念

（1）图像法和语言体现能力，

（2）表格法

（3）公式法

4函数的性对于这部分知识只是通过例子

函数口勺有界性、周期性、单调性、奇偶性

质和图象讲清性质、定理的内涵

和外延，重点是对性质的运

用，从而培养学生的解题技

巧和逻辑推力能力.这也体现

了高职数学必须遵照的“以应

用为目H勺，以必需、够用”为

度日勺原则

1.某工厂生产某产品年产量为若干台，每

台售价为300元，当今产量超过600台时，

超过部分只能打8折发售，这样可发售

200台，假如再多生产，则本年就销售不

出去了，试写出本年日勺收益函数模型.巩固知识,形成技能,反馈矫

5练习巩固

2.一下水道的截面是矩形加半圆形（如图）,截正.

面积为，是一常量。这常量取决于预定时

排水量.设截面的周长为，底宽为，试.建立

与时函数模型.

重要知识点：

1.学习高等数学的意义、措施、内容、规

定

巩固知识，明确规定，婺顿知

2.函数、分段函数、基本初等函数、复合

识构造与思想措施，培养学生

6.课堂小函数和初等函数日勺定义，函数的表达法，

R勺组织能力，形成完整的知识

结基本初等函数日勺图形，初等函数日勺函数

体系.

值、定义域、值域确实定，复合函数日勺分

解。

3.函数的基本性态（奇偶性、周期性、单

调性和有界性）日勺定义及其几何特

结合本专业特点，到达理解概

念，培养能力，发展学生面对

7.作业书本习题、教学案例实际问题，运用所学知识，处

理问题的应用意识.

《高等数学》单元课程设计2

课题函数

讲课班级略上课时间2课时课型理论课

知识目的：理解复合函数、初等函数的概念、掌握初等函数的定义；

能力目的h能纯熟判函数关系与否为初等函数，感知数学知识的逻辑性

教学目的

情感目的：通过实际案例激发学生学习数学的积极性

情感目的：通过实际案例激发学生学习数学的积极性

教学重点与重理解初等函数日勺概念，掌握初等函数的1类型

难点点

难分析复合函数的构造，建立实际问题的数学模型

点

任务一：理解学习高等数学的意义、措施、内容，学习的规定

任务二：通过案例分析，学会辨别函数类型.

任务描述

任务二：通过案例分析，学会辨别函数类型.

任务二：通过案例分析，学会辨别函数类型.

案例驱动，提问，启发，探讨，多媒体教学

教学措施

教学参照资《高等数学》，候风波主编，高等教育出版社,.

料

教学过程设计

教学环节教学内容设计意图

任务1:学习从数学的角度看待世间万物之变

认识应用高等数学欧J重要性，

1引言化.

培养浓厚的学习爱好

从学生实际生活中碰到11勺问题

任务2:通过案例分析，认识复合函数.入手，引导学生分析问题引入

2案例引入案例:收入和价格变化和销量变化之关系.概念，这样能激发学生的学习

爱好。

1.复合函数的定义：若函数的定义域为

,函数在上有定义，其值域为

且，则对于任一，通过函数有确

定的与之对应，通过函数有确定的

讲清概念的内涵和外延，感受

值与之对应.这样对于任一，通过函数

3理解复合数学知识的高度严谨与抽象

有确定的值与之对应，从而得到一种

函数日勺概性,培养学生日勺抽象概括能力

认为自变量，为因变量日勺函数，称其

念和语言体现能力，

为由函数和复合而成的复合函数，记

为，其定义域为，称为中间变量

2.鉴定函数与否是复合函数

2.鉴定函数与否是复合函数

通过练习锻炼学生思维，结合

4复合困数例题讲清概念的内涵和外延，

1.将基本初等函数合成更合函数

的拆分、复重点是对复合函数的构造的分

2.将复合函数拆成简朴函数

合、析.

初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算

5.初等函和有限次复合运算而得到的，且用一种式子表让学生学会运用概念,分析问

数达的函数，称为初等函数。题解答问题.

6.经典例例题1分析下列复合函数口勺构造：根据有关知识建立函数关系，

重1.理解数列、函数的极限概念和性质；

教学重点与八li、t、2.掌握极限存在的充要条件；

难点难

纯熟练判断分段函数在分段点处极限与否存在.

卢

任务一：会求分段函数在分界点的极限

任务描述

多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。

教学措施

教学参照资《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社,.

料

教学过程设计

教学环节教学内容设计意图

1引例：公元前3世纪，道家代表庄子《天下篇》：一

由我国古代数学案例引入

1数列极三之棒，日取其半，万世不竭.

概念，培养学生H勺H勺学习

限2!.数列极限

爱好和民族自豪感

2I.单调有界定理

1.XfX。时函数/(X)的极限

讲清概念口勺内涵和外延，

2.()时函数的极限感受数学知识日勺高度严谨

2函数H勺定理lim/(x)=Aolimf(x)=lim/(x)=A与抽象性，培养学生H勺抽

极限K-MOxfxo*.r->.<o-象概括能力和语言体现能

3.时函数的极限力，

定理2lim/(x)=4。limf(x)=limf(x)=A

X—>X.V—>4<O

讲清定理的条件和结论，

1.唯一件感受数学知识日勺高度严谨

3极限的2.有界性与抽象性，培养学生的抽

性质3.保号性注：逆命题不成立象概括能力和语言体现能

4.夹逼准则力

1.无穷小量的定义

2.极限与无穷小之间的关系对于这部分知识只是通过

3.无穷小量的运算性质例子和图象讲清性质、定

定理2.有限个无穷小量的代数和是无穷小量.理口勺内涵和外延，重点是

4.无穷小

定理3.有限个无穷小量的乘积是无穷小量.对性质的运用，从而培

量

推论1.无穷小量与有界量的乘积是无穷小量.养学生的解题技巧和逻辑

推论2.常数与无穷小量日勺乘积是无穷小量.推力能力.

注意：两个无穷小之商未必是无穷小，

注意：两个无穷小之商未必是无穷小，

（1）无穷大的定义结合例题讲清概念的内涵

5.无穷大在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限和外延,重点是对复合函

量增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称数的构造FI勺分析

无穷大.

应当注意的是：无穷大量是极限不存在的一种

情形，我们借用极限的记号，表达“当时，

是无穷大量”.

(2)无穷小量与无穷大量的关系

定理4.(在无穷小量与无穷大量R勺关系)自变量的

某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非

零无穷小量的倒数是无穷大量.

例3.自变量在怎样的变化过程中，下列函数是无穷

大量

1.y=,(2)y=2xl,(3)y=Inx,(4)y=2'

x-\

书本习题2:1(1)(2)(3)(4),2(1)(2),3

6练习巩巩固知识，形成技能,反馈

(1)(2)

固矫正.

重要知识点：

1极.限日勺概念与措施，及时函数极限定义及巩固知识，明确规定，整

数列极限的定义；顿知识构造与思想措施，

7课堂小

2.函数极限和数列极限的几何意义；培养学生的组织能力，形

结

3.无穷小量、无穷大量日勺定义；成完整口勺知识体系.

4.无穷小量与无穷大量的关系。

4.无穷小量与无穷大量W、J关系。

结合本专业特点，到达理

解概念，培养能力，发展

学生面对实际问题，运用

8作业书本习题

所学知识，处理问题的应

用意识.

《岛等数学》单元课程设计4

课题极限(二)

讲课班级略上课时间2课时课型理论课

知识目的：掌握极限的四则运算法则

能力目的：具有用极限思想分析问题的意识，感知极限与生活的紧密联络

教学目的

情感目的：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中

情感目的：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中

任务一：对某种电子产品日勺销售作出预测

任务描述任务二：运用极限的四则运算法则求极限

任务二：运用极限的四则运算法则求极限

多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。

教学措施

教学参照资《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社,.

料

教学过程设计

教学

教学内容

环节

任务一：某商场推出某种电子产品时，在短期内销量会迅速增长，然后下降，其函数

关系为，请你对该产品的长期销售作出预测

1.导

分析：

入

因此购置次电子产品的人将越米越少，转而买新的电子产品

因此购置次电子产品口勺人将越来越少，转而买新的电子产品

极限四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取H勺，也是不行的1,因此需寻求某些措施来求极限。

定理1：若，则存在，且。

注：本定理可推广到有限个函数U勺情形。

定理2：若，则存在，且

limf(x)g(x)=AB=limf(x)-limg*)。

推论1：(为常数)。

推论2:(为正整数)。

定理3:设，则。

注：以上定理对数列亦成立。

分析：定理和推论只规定掌握它的1意义和运用，对证明不作规定

任务二：求下列例题中的极限

[例1]lim(ax+b)=limor+limb=alimx+b=ax()+b。

2.极if5xfq)XT%)x->.v0

限的I

【例2】limxn=[limx]"=。

运算XT*。

法则推论1:设为一多项式，当

hmf(x)-aoxo+6/^0++〃，-工。+。〃一/(/)。

推论2:设均为多项式，且，则。

【例3】1山1(一一5工+10=12—5/1+1=—3。

,-x3+7x—903+7x0—9o

r【例rI4】rlim-------=——---------=-3(由于0-0+3o。0n)。

1。/-工+30'-0+3

注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其他手段。

X24-X—2

【例5】求lim——o

・I2x-+x-3

解：当时，分子、分母均趋于0,由于，约去公因子，

HLI..x2+x—2.x+23

因止匕Iim——------=hm------=—o

xf2；r+x-3xf2X+35

13

【例6】求lim(--------)

itx+1r+1o

解：当全没有极限，故不能直接用定理3,但当时，

,因此

,13.x—2—1—2

rlim(--------——)=lim-------=----=---------

x+1x+1x-x+l(-1)~-(-1)4-1

【例7】求lim」一。

12X-2

解：当时，，故不能直接用定理5,又，考虑：

•>

..厂

nlim----=oo。

XT2X—2

【例8】若，求a,b的值。

当时，，且

a+〃+l=0,b=-(a+l)

x2+ax+bx1+4X-(a+1)_(x-l)(x+tz+1)

—1(X—1)(X+1)(X—1)(X+1)

..x1+ax-\-ba+2今

hm---；-----=-----=3

x->]厂一12

。=4,b=-5

【例9】设为自然数，则

包当〃="7时

n.n—1瓦

..a()工1qx1

lim------!---；----_L5L=0当〃<〃山寸O

+2”

00当〃〉加时

证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5,先变形:

qa

。。+,+……+Un

。01〃+4]/+....+a_

lim—!------——；----------n-=limxnm工x

00m,b.b

XTbQx+仄x+....+bm-nt

Z7o+—+....+—

1•一如——当〃=〃耐

/?()+0+...+0

=W--.............当〃<加时

b。+0+...+0

8.巴北一里当〃〉〃耐

%+0+....+0

【例10】求lim(二+N+……+二)。

n~n~n~

解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1,先变形：

「1/Ic、r1〃(〃+1)..〃+11

原式=lim—(1+2+....+n)=lun----------lun----=—

«->,»nz22/z2

3.课

书本习题2:1(1)(2)(3)(4)(5)(6),2.

堂练

习

4.课1.函数极限的运算法则及其应用；

时小2综.合应用极限口勺运算法则计算函数极限的J措施

结2.综合应用极限的运算法则计算函数极限的措施

5.作书本习题3:1(1)(2)(3)(4)(5)(6)

业题

《高等数学》单元课程设计5

课题极限（三）

讲课班

略上课时间2课时课型理论课

级

知识目的：会用两个重要极限求极限，会无穷小时比较

能力目的：能用极限的概念分析实际问题

教学目

情感目的：通过实际案例培养学生勤奋钻研，严谨求是的作风

的

情感目的：通过实际案例培养学生勤奋钻研，严谨求是的作风

情感目的：通过实际案例培养学生勤奋钻研，严谨求是的作风

任务一：会计算持续利率问题

任务描

任务二：会运用两个重要极限求极限

述

任务二：会运用两个重要极限求极限

教学措多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。

施

教学参《高等数学》，侯风波主编.高等教育出版社,.

照资料

教学过程设计

教学

教学内容

环节

任务一：持续利率问题

储户在银行存钱银行要给储户利息。假如年利率一定，但银行可以在一年内多次付

给储户利息，例如按月付息、按天付息等。某储户将1000美元存入银行，年利率为

5%。假如银行容许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税日勺状况下，若储户等间

隔的地结算n次，每次结算后将本息所有存入恨行，问

1)伴随结算次数的增多，一年后该储户的本息和与否也在增多？

2)伴随结算次数的无限增长，一年后该储户在银行的存钱与否会无限变

大？

案例分析

若该储户每月结算一次，则每月利率为：0.05/12

故第一种月后储户本息合计：；

第二个月后储户本息合计：，

,依此，年后该储户本息合计：.

若该储户每天结算一次，假设一年365天，则每天利率为：0.05/365

故第一天后储户本息合计：；

1导入

第二天后常户本息合计：，

则一年后储户本息合计：

一般地，若该储户等间隔地结算n次，则有一年后本息合计：

于是，可以得到假如储户等间隔地结期n次，一年后本息合计时

一种函数：

5(/2)=1000(14-—r

n

伴随结算次数口勺无限增长，有，故一年后本息合计：

怎样计算上述极限？引入课题

•，

.lim----=?,+—)=?

X->0XXTOOX

1.第一种重要极限：

下面将证明第一种重要极限：。

2.重

要极阐明：

限1(1)此极限中口勺工一定要用弧度作单位。

(2)应用时要保证极限中的jxf0、sinx和分母工三者中的jx形式一致

(3)对于此极限规定掌握它的构造特点和应用，它H勺证明只是理解

求下列极限

z-cin丫令，=arcsinxt1

【例1】lim=lim—=lim=1。

,->0z

XTOxsint->°sin/

t

..sinx..sin(4一x)..sinr,

【r例/rl2】lim-------=lun--------------=lun——二-1。

XTkX—71XT*x—71/=芯-.--*0—t

5-i-tan3x..°sin3x1>〔11

[例3]lim--------=lim3-------------------=311=30

XTOxx->03xcosx

C.，/X\.X

.2sin"(—),sin—.

1-cosx..21r/2\，1

【r/K例ll4】lrim----------=lim------7—=-=—•hm(------)-=—。

10X~XT。X~2；T。X2

2

第二个重要极限：

即lim(1+-)"=e=2.7\8281828459045……

XBn

注意：

1:我们可证明：，

2:指数函数及自然对数中的底就是这个常数。

3.对于此极限规定掌握它的构造特点和应用。

任务1的处理：

=1051.27

结论：计算成果阐明伴随结算次数的无限增长，一年后该储户在银行的存钱不会

无限变大，该储户一年本息和最多不超过1052美元。

3.重通过试验成果可以懂得，只要年利率一定，不管银行采用多么小时间间隔的付

要极

息方式，都不会导致付息的无限增多的1成果

限2任务2:求下列极限

21*1L

【例1】lim(l+-)v=lim[(l+-)2]2=[lim(l+-)2]2=

XfRXXT8X.SOOX

22

।

【例2】lim(l+x)x=lim(l+z):=e

A->0Z-KC

【例3】

lim(1--)r+,=lim[(l+—)-A]-l(l--)=[lim(l+—rr]_,•lim(l--)=^-1-1=

xx->oo—xx—x.r->oo工

【例4】

2//-121«+-1-11-11

lim(^--L)n=lim(l一一—)n=lim(l一——)2(1———)2=-12=-

is2〃+1*廿In+1_11ee

〃+—n+-

22

L求下列极限：(强调函数的恒等变换及变量替代)

(1)；

1-C0SX

⑵lim-----——；

J。厂

..sin5x

(3)lim-----；

•—03x

一...sin3x-sinx

(4)lim-----------o

x->0x

2.求下列极限：(强调与其他措施的综合运用)

X

4.练

(1)lim1+—2；

习

x—>co\xj

1

⑵I吧(I)；

rIn(l+x)

(3)hm-------；

工―0x

XI

(4)lim-----；

10x

2

(5)Mm(l+2x)。

5.知1.掌握两个重要极限

识小2.两个重要极限计算函数极限的措施

结2.两个重要极限计算函数极限H勺措施

6.作习题2：6,7,8

业

《高等数学》单元课程设计6

课题函数的持续性

讲课班级略上课时间2课时课型理论课

知识目的：理解函数在一点持续的概念，

能力目的：能用持续的定义描述电流等专业现象的特性

教学目的

情感目的：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中

情感目的：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中

任务：会判断函数在，点与否持续

任务描述

多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。

教学措施

教学参照资《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社,.

料

教学过程设计

教学环

教学内容

节

持续性是函数的重要性态之一。他不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开

1案例分

辟了新途径。本节将运用极限概念对它加以描述和研究，

析导入

案例1某日气温变化

课题

案例2小孩个子的J长高

定义1设函数在点的某个邻域内有定义，若当自变量的增量趋于零

时，对应的函数增量也趋于零，即

则称函数在点处持续，或称是向一种持续点.

定义2若，则称函数在点处持续.

②左右持续的1概念若，则称函数在点处左持续；若，则称函数

在点处右持续.

⑵函数在一点持续的I充足必要条件

函数在点处持续口勺充足必要条件是在点处既左持续乂右持续.

2函数由此可知，函数在点处持续，必须同步满足如下三个条件：

在一点①函数在点的某邻域内有定义，

持续的②存在，

概念③这个极限等于函数值.

⑶函数在区间上持续日勺概念

在区间上每一点都持续的函数，称为在该区间上的1持续函数，或者说函数在该区

间上连

续，该区间也称为函数的持续区间.假如持续区间包括端点，那么函数在右端点

持续是指左持续，在左端点持续是指右持续.

阐明：

（1）点持续性的两个定义本质相似，只是论述的角度不一样。

（2）函数在某点持续必须同步满足三个条件：①函数在该点的某个邻域内有

定义；②函数在该点的极限存在；③极限值等于该点日勺函数值.

（3）用“点持续性口勺两个定义”可证明初等函数H勺点持续性；用“左持续和右持

续”可证明分段函数在其分段点处的持续性。

例1讨论函数在处的持续性.

解，而，即.因此，函数在处持续.

例2.讨论函数在点的持续性.

解这是一种分段函数在分段点处的持续性问题.由于在点的左、右两侧体

现式不一样，因此先讨论函数在点的左、右持续性.

由于

因此在点左、右持续，因此在点持续.

例3.由上图可看出：，.

虽然当时的左、右极限都存在，但当时，函数并不趋近于某一种确定

的常数，因而当时的极限不存在，故函数在点不持续.

讨论函数在点的持续性.

解作出它的图象（如下图所示•),

3.练习

-101X

,T

/

/-2

4.课堂

L函数日勺点持续性、区间持续性定义及鉴定条件；

小结

习题2:10(1)(2)

5.作业

《高等数学》单元课程设计7

课题函数的持续性-一间断点

讲课班级略上课时间2课时课型理论课

知识目的：理解函数在一点持续的概念，会判断间断点的类型，理解初等函数

的持续性

教学目的能力目的：能用持续的定义描述专业现象的特性

情感目的：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中

情感目的h通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中

任务一：会判断函数间断点的类型

任务描述任务二：会运用函数欧1持续性求极限

任务二：会运用函数的持续性求极限

多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。

教学措施

教学参照资《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社,.

料

教学过程设计

教学环

教学内容

节

前面我们理解了函数在•点持续日勺状况,通过例题看到了优势函数在某处是不持

续的状况,如练习题.此时我们称函数为间断.

复习内容-------

如：讨论函数在点口勺持续性.

解作出它日勺图象（如下图所示），

1案例分

析导入

课题

虽然当时日勺左、右极限都存在，但当时，函数并不趋近于某一种确定的常

数，因而当时的极限不存在，故函数在点不持续.称此处函数间断.

若函数在点处不持续，则称点为函数的间断点.

1.间断点的分类

设为的一种间断点，假如当时，H勺左极限、右极限都存在，则称

为的第一类间断点；否则，称为的J第二类间断点.

2.间断

①对于第一类间断点有如下两种情形：

点

当与都存在，但不相等时，称为的跳跃间断点；

②当存在，但极限不等于时，称为的可去间断.

②当limf。)存在，但极限不等于人天)时，称/为/(x)的可去间断.

例4讨论函数

,在点处日勺持续性.

解由于函数在分段点处两边的体现式不一样，因此，一般要考虑在分段

点处的左极限与右极限.

因而有，

而/(0)=0,即

由函数在一点持续叫充要条件知在处持续.

例5计算下列极限：

3.练习

limarcsin(Inx)

解由于是初等函数，且是它的定义区间内的一点，由定理3,有.

例6计算下列极限：

rJ1+X—1

Inn--------o

a。A

解所给函数是初等函数，但它在处无定义，故不能直接应用定理3.易

判断这是一种“”型的极限问题.通过度子有理化，可得到一种在处时持续

函数，再媾*限1即X]\1

lim----:---=lim//---=lim/——=/——=—

京朱初等笛数在其造义蚊网西赳乐..二电时需菌品在北走9酣间才都是持

4初等函续的

数的持最大值和最小值存在定理闭区间上持续函数一定能获得最大值和最小值.

续性定根的存在定理设为闭区间上的持续函数，且异号，则至少存在一点

理,使得.

介值定理设是闭区间上持续函数，且，则对介于之间的任意一种

数，则至少存在一点

判断函数持续性的措施

由于初等函数在它的定义区间内总是持续，因此函数的持续性讨论多指

分段函数在分段处的持续性.

1.函数的点持续性、区间持续性定义及鉴定条件；

2.初等函数的持续性；

5.课堂3.闭区间上持续函数的最值和介值性质及其推论：

小结4.函数间断点与鉴定措施；

5.求函数极限措施综合。

习题2:10(1)(2)

作业

《高等数学》单元课程设计8

课题《极限》习题课

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