2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由或，所以，所以.故选：C.2.已知函数，且，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】令，解得，所以，因为，所以.故选：B.3.命题“任意，则”的否定是（）A.任意，则 B.存在，则C.存在，则 D.任意，则【答案】C【解析】全称量词命题“任意，则”的否定是存在量词命题“存在，则”.故选：C.4.若，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得.对于A，因，则，故得，即A正确；对于B，因，由可得，故B正确；对于C，因，则故，当且仅当时等号成立，因，故，则C正确；对于D，不妨取，显然满足，但，即D错误.故选：D.5.设函数，且，则等于（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】设，则为奇函数，所以.又，所以.所以.故选：B.6.已知奇函数满足，且在上单调递增，则是解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因是奇函数，所以f-x=-f所以，可转化为，又因f1=0，且在上单调递增，所以在上为，在上为，根据奇函数的图象关于原点对称，所以在上为，在上为，所以，可知与异号，所以解集为.故选：A.7.已知函数满足，且，则的值为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由题意取令，可得，令，可得，所以，令，可得，所以f1=0，令，可得，所以.故选：A.8.已知，且，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因为，是正数且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（）A. B. C.或 D.【答案】BD【解析】因为，①当时，不等式的解集为，②当时，不等式变为，方程的根为或，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当且时，不等式的解集为或，综上所述，当或时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当且时，不等式的解集为或.故选：BD.10.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数y=x，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作x.如，，，记函数，则（）A. B.的值域为0,1C.在0,3上有3个零点 D.，方程有两个实根【答案】AD【解析】对A：，故A正确；对B：当时，，；当时，，；当时，，；…依次类推，可得函数的图象如下：所以函数的值域为：，故B错；对C：根据图象，在0,3上，只有，即在0,3上有2个零点，故C错；对D：，函数与的图象有两个交点，如下图：所以，方程有两个实根，故D正确.故选：AD.11.对于定义在上的函数，下列说法正确的是（）A.若是奇函数，则的图象关于点对称B.若函数的图象关于直线对称，则为偶函数C.函数的最小值为D.函数在区间上的最大值为，最小值为，则【答案】BCD【解析】对于A，因是奇函数，其图象关于点对称，而的图象可由的图象向左平移1个单位得到，故的图象关于点对称，故A错误；对于B，由fx-1的图象关于直线对称，因fx-1的图象可由的图象向右平移一个单位得到，故的图象关于直线即轴对称，故为偶函数，即B正确；对于C，对于，设，则，因在上单调递增，且，故，即时，函数的最小值为，故C正确；对于D，不妨设，则，因，易得，故是奇函数，又的最大值为，最小值为，故，又,则有，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（3）=______.【答案】3【解析】设幂函数为f（x）=xa，因为过（，），所以f（）=，∴=（）a，2=（）a，a=，∴f（3）=3=．13.函数的单调递减区间为__________.【答案】(端点开闭都正确)【解析】由，可得，解得，所以函数的定义域为，设，，外函数为上的增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，函数的对称轴为，其开口向下，故其减区间为(端点开闭都正确).14.关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】恰有两个整数解，方程有两个不相等的实数根，，解得，，且方程两根可写为，时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意；时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意；时，，.当时，，即，解得，；当时，不等式最多一个整数解，不合题意.综上，.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式的解集为，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，所以.当时，.所以.（2）由，，所以.故实数的取值范围为.16.已知函数的定义域为.（1）求实数的取值集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）由题意得不等式的解集为，当时，恒成立，满足题意；当时，则由解集为可得，解得：，综上可得：.（2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集，当时，满足题意，此时有，解得：；当时，则，解得，综上可得的取值范围是.17.某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米.（1）求关于的函数解析式，并求出的取值范围；（2）如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值.解：（1）由宽为米、长为米的长方形展牌,得，整理得，由，得，即，解得，所以关于的函数解析式是，.（2）展牌的周长，当且仅当，即时取等号，此时，所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米.18.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断并证明函数在定义域内的单调性；（3）若，求实数的取值范围.解：（1）是定义在上的奇函数，且，，解得，，经检验，，满足题意，.（2）在上单调递增，证明如下：在上任取，，令，则，，，，，，，在上单调递增.（3），，，解得.实数的取值范围是.19.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间（不需证明）；（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；（3）当时，函数在上既有最大值又有最小值，是否存在正整数，使恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，可得，去绝对值后可得，易知函数关于对称，所以其在上单调递增，函数关于对称，所以其在上单调递增，又易知两函数在处的函数值相等，图象如下图所示：可知函数的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）时，可得，当时，，根据二次函数性质可知在上单调递增；当时，，根据二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减；又；因此可知函数在区间上的最大值为，最小值为.（3）当时，，若，则，由二次函数性质可得，在上单调递增，若，则，由二次函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减；又函数在上既有最大值又有最小值，所以最大值为，最小值为，当，令，解得；当，令，解得；因此区间中需包含区间，且两边范围不超出和，画出示意图如下：即满足，因此可得；所以，又，可得恒成立即可；显然，所以的最小值为3.江苏省无锡市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由或，所以，所以.故选：C.2.已知函数，且，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】令，解得，所以，因为，所以.故选：B.3.命题“任意，则”的否定是（）A.任意，则 B.存在，则C.存在，则 D.任意，则【答案】C【解析】全称量词命题“任意，则”的否定是存在量词命题“存在，则”.故选：C.4.若，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得.对于A，因，则，故得，即A正确；对于B，因，由可得，故B正确；对于C，因，则故，当且仅当时等号成立，因，故，则C正确；对于D，不妨取，显然满足，但，即D错误.故选：D.5.设函数，且，则等于（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】设，则为奇函数，所以.又，所以.所以.故选：B.6.已知奇函数满足，且在上单调递增，则是解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因是奇函数，所以f-x=-f所以，可转化为，又因f1=0，且在上单调递增，所以在上为，在上为，根据奇函数的图象关于原点对称，所以在上为，在上为，所以，可知与异号，所以解集为.故选：A.7.已知函数满足，且，则的值为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由题意取令，可得，令，可得，所以，令，可得，所以f1=0，令，可得，所以.故选：A.8.已知，且，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因为，是正数且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（）A. B. C.或 D.【答案】BD【解析】因为，①当时，不等式的解集为，②当时，不等式变为，方程的根为或，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当且时，不等式的解集为或，综上所述，当或时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当且时，不等式的解集为或.故选：BD.10.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数y=x，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作x.如，，，记函数，则（）A. B.的值域为0,1C.在0,3上有3个零点 D.，方程有两个实根【答案】AD【解析】对A：，故A正确；对B：当时，，；当时，，；当时，，；…依次类推，可得函数的图象如下：所以函数的值域为：，故B错；对C：根据图象，在0,3上，只有，即在0,3上有2个零点，故C错；对D：，函数与的图象有两个交点，如下图：所以，方程有两个实根，故D正确.故选：AD.11.对于定义在上的函数，下列说法正确的是（）A.若是奇函数，则的图象关于点对称B.若函数的图象关于直线对称，则为偶函数C.函数的最小值为D.函数在区间上的最大值为，最小值为，则【答案】BCD【解析】对于A，因是奇函数，其图象关于点对称，而的图象可由的图象向左平移1个单位得到，故的图象关于点对称，故A错误；对于B，由fx-1的图象关于直线对称，因fx-1的图象可由的图象向右平移一个单位得到，故的图象关于直线即轴对称，故为偶函数，即B正确；对于C，对于，设，则，因在上单调递增，且，故，即时，函数的最小值为，故C正确；对于D，不妨设，则，因，易得，故是奇函数，又的最大值为，最小值为，故，又,则有，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（3）=______.【答案】3【解析】设幂函数为f（x）=xa，因为过（，），所以f（）=，∴=（）a，2=（）a，a=，∴f（3）=3=．13.函数的单调递减区间为__________.【答案】(端点开闭都正确)【解析】由，可得，解得，所以函数的定义域为，设，，外函数为上的增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，函数的对称轴为，其开口向下，故其减区间为(端点开闭都正确).14.关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】恰有两个整数解，方程有两个不相等的实数根，，解得，，且方程两根可写为，时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意；时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意；时，，.当时，，即，解得，；当时，不等式最多一个整数解，不合题意.综上，.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式的解集为，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，所以.当时，.所以.（2）由，，所以.故实数的取值范围为.16.已知函数的定义域为.（1）求实数的取值集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）由题意得不等式的解集为，当时，恒成立，满足题意；当时，则由解集为可得，解得：，综上可得：.（2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集，当时，满足题意，此时有，解得：；当时，则，解得，综上可得的取值范围是.17.某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米.（1）求关于的函数解析式，并求出的取值范围；（2）如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值.解：（1）由宽为米、长为米的长方形展牌,得，整理得，由，得，即，解得，所以关于的函数解析式是，.（2）展牌的周长，当且仅当