2023-2024学年天津市重点校联考高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市重点校联考2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本题共9小题，每题4分，共36分.）1.已知全集，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为能推出，而不能推出，例如，不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因函数的定义域为，且在上单调递增，由，根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是.故选：A.4.若角的终边经过点，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】因为角的终边经过点，所以，.故选：C.5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除BD；又因为，不满足，排除A；满足，C正确.故选：C.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数为上的减函数，又，所以，故；函数为上减函数，又，所以，故；函数为上的增函数，又，所以，故；所以.故选：B.7.下列代数式的值为1的有（）①②③④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】对于①，，故①式值不为1；对于②，，故②式值为1；对于③，，故③式值不为1；对于④，，故④式值为1.故选：B.8.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以，因为在恰有2个零点，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上单调递减，所以，所以，又，解得，综上所述，，故的取值范围是．故选：C.9.若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方程或，（1）当时，原方程等价于或，令函数，函数在上递增，函数值集合为R，在上递增，函数值集合为R，①当时，在上递增，，而，显然，则与各有一个实根，②当时，或在上各有一个实根，③当时，在，上递增，显然与在上各有一个实根，当时，，而，当且仅当时取等号，当时，，在上方程有一个实根，无实根，当且时，，在上方程与均无实根，因此当，时，方程与各有一个实根，当，时，方程有两个实根，有一个实根，（2）当时，原方程等价于，解方程得或，显然当时，原方程在上无实根，当时，原方程在上有一个实根，当时，原方程上有两个实根和1，综上，当时，原方程只有两个实根，当时，原方程有3个实根，当时，原方程有4个实根，所以实数的取值范围为.故选：D.二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分.）10.已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为__________弧度.【答案】2【解析】设扇形的圆心角为，由题意得，，解得，所以扇形的圆心角为2弧度.故答案为：2.11.函数的单调递减区间是___________．【答案】；【解析】设，则，；因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数，所以函数的单调递减区间为.故答案为：.12.已知正数，满足，则的最小值为________.【答案】24【解析】由可得，所以，，当且仅当，时取等号.故答案为：24.13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______________．【答案】【解析】当时，，由题意，，因是定义在上的奇函数，则，又，故的解析式为：，当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为；当时，显然解集为；当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为，综上可得：不等式的解集为.故答案为：.14.函数的部分图象如图所示，则的值是_______．【答案】【解析】由图可知，得，所以，得，又根据函数在取最小值可得，解得，又，所以，所以，所以，得，所以，所以.故答案为：.三、解答题（本题共5小题，共59分.）15.若函数为幂函数，且在单调递减．（1）求实数的值；（2）若函数，且，（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；（ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围．解：（1）由题意知，解得：或，当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；所以实数的值为1．（2）（ⅰ），在区间单调递增，证明如下：任取，则，由可得：，，则，即，故在区间单调递增.（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得：则，解得.16.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）∵，∴，又，，∴，∴.（2）∵，，∴，，，∴，∴．17.函数．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．解：（1），因为，所以的最小正周期为，令，，解得，，所以函数的单调减区间为，．（2）函数的图象先向左平移个单位得到，将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，时，，所以当时，解得，此时函数为增函数；当时，解得，此时函数为减函数；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的最大值为，又因为，，所以函数的最小值为，所以的值域为．18.某地区上年度电价为0.8元/(KWh)，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/(KWh)至0.75元/(KWh)之间，而用户期望电价为0.4元/(KWh)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元/(KWh)．（1）下调后的实际电价为（单位：元/(KWh)），写出新增用电量关于的函数解析式；（2）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元/(KWh)）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价））（3）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长?解：（1）因为下调电价后新增用电量和实际电价元/(KWh)，与用户的期望电价0.4元/(KWh)的差成反比，且比例系数为，所以，依题意知用电量关于的函数表达式为，.（2）依题意知用电量增至，所以，电力部门的收益为.（2）依题意有，整理得，解此不等式组得，答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长．19.已知函数奇函数．（1）求实数的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）因为函数为奇函数，所以，即在定义域上恒成立，整理得，故.（2）解法一：由（1）知，所以函数在和上单调递减，且当时，，当时，，所以，解得；所以此时不等式的解集为.解法二：因为，令，则可化简为，即，即，解得，即，所以此时不等式的解集为．（3）由（1）得在的值域，又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得．天津市重点校联考2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本题共9小题，每题4分，共36分.）1.已知全集，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为能推出，而不能推出，例如，不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因函数的定义域为，且在上单调递增，由，根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是.故选：A.4.若角的终边经过点，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】因为角的终边经过点，所以，.故选：C.5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除BD；又因为，不满足，排除A；满足，C正确.故选：C.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数为上的减函数，又，所以，故；函数为上减函数，又，所以，故；函数为上的增函数，又，所以，故；所以.故选：B.7.下列代数式的值为1的有（）①②③④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】对于①，，故①式值不为1；对于②，，故②式值为1；对于③，，故③式值不为1；对于④，，故④式值为1.故选：B.8.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以，因为在恰有2个零点，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上单调递减，所以，所以，又，解得，综上所述，，故的取值范围是．故选：C.9.若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方程或，（1）当时，原方程等价于或，令函数，函数在上递增，函数值集合为R，在上递增，函数值集合为R，①当时，在上递增，，而，显然，则与各有一个实根，②当时，或在上各有一个实根，③当时，在，上递增，显然与在上各有一个实根，当时，，而，当且仅当时取等号，当时，，在上方程有一个实根，无实根，当且时，，在上方程与均无实根，因此当，时，方程与各有一个实根，当，时，方程有两个实根，有一个实根，（2）当时，原方程等价于，解方程得或，显然当时，原方程在上无实根，当时，原方程在上有一个实根，当时，原方程上有两个实根和1，综上，当时，原方程只有两个实根，当时，原方程有3个实根，当时，原方程有4个实根，所以实数的取值范围为.故选：D.二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分.）10.已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为__________弧度.【答案】2【解析】设扇形的圆心角为，由题意得，，解得，所以扇形的圆心角为2弧度.故答案为：2.11.函数的单调递减区间是___________．【答案】；【解析】设，则，；因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数，所以函数的单调递减区间为.故答案为：.12.已知正数，满足，则的最小值为________.【答案】24【解析】由可得，所以，，当且仅当，时取等号.故答案为：24.13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______________．【答案】【解析】当时，，由题意，，因是定义在上的奇函数，则，又，故的解析式为：，当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为；当时，显然解集为；当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为，综上可得：不等式的解集为.故答案为：.14.函数的部分图象如图所示，则的值是_______．【答案】【解析】由图可知，得，所以，得，又根据函数在取最小值可得，解得，又，所以，所以，所以，得，所以，所以.故答案为：.三、解答题（本题共5小题，共59分.）15.若函数为幂函数，且在单调递减．（1）求实数的值；（2）若函数，且，（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；（ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围．解：（1）由题意知，解得：或，当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；所以实数的值为1．（2）（ⅰ），在区间单调递增，证明如下：任取，则，由可得：，，则，即，故在区间单调递增.（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得：则，解得.16.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）∵，∴，又，，∴，∴.（2）∵，，∴，，，∴，∴．17.函数．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．解：（1），因为，所以的最小正周期为，令，，解得，，所以函数的单调减区间为，．（2）函数的图象先向左平移个单位得到，将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，时，，所以当时，解得，此时函数为增函数；当时，解得，此时函数为减函数；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的最大值为，又因为，，所以函数的最小值为，所以的值域为．18.某地区上年度电价为0.8元/(KWh)，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/(KWh)至0.75元/(KWh)之间，而用户期望电价为0.4元/(KWh)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系