2024年集英苑夏季竞赛高中数学试题（含答案）

集英苑2024夏季赛本试题卷分为选择题和非选择题两部分。全卷共3页，满分150分，考试时间150分钟。一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=sinx的最大值是2.底面半径和高均为1的圆柱体体积为A.πB.2πC.3π3.若实数a,b满足a³+b²=1,则一定有A.b≥-1B.b≤1C.a≥-14.临终前，她在病榻上写道：“新中国成立那年，我与他初识，那时一眼便是万年.1970年，我的人生过半，父母皆已离我而去，但他依然在我身边.1997年，我在病床前握着他渐渐无力的双手，原来时间过得这么慢，又这么快，从相识到离别，他带走了我2/3的人生."由此推测，作者去世于5.设{an}为等差数列.那么"a₅,a₇,ag构成公比不为1的等比数列"是“ag=0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设三角形ABC的三边长为a,b,c,若角C为直角，则f(x)=aea+beb-ceC在A.单调递减B.单调递增C.先递减再递增D.先递增再递减7.设椭圆的焦点为F₁,F₂,若以F₁F₂为直径的圆和椭圆交于A,B,C,D四点且四边形ABCD的面积为√3,则称该椭圆为“好椭圆”.那么好椭圆共有A.一定是实数B.不一定是实数，但不是纯虚数C.一定是纯虚数D.不一定是纯虚数，但不是实数数学试题第1页(共3页)9.称集合B是A的广义子集，当BC{x|x∈A或x-1∈A或若A.10B.14C.1710.定义新运算。满足：对x,y∈{a,b},xoy等于a或b或无定义.当x,y,z,w均取遍二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。的中位数是4,且d,e,f的中位数是6,设a,b,c,d,e,f的中位数为x.(II)设二面角A-DE-C的平面角为α,若∠AEC=β,求的值.数学试题第2页(共3页)(第15题图)16.(15分)已知整数数列{an}满足a₁=0,且对于任意的n∈N*,均有|an+1-An|≤2,17.(20分)已知抛物线y=x²,P为直线y=x上一点.过P点的直线PA与抛物线相切(I)若直线PA的斜率为4,求P点坐标.(II)若存在过P点的直线l与抛物线交于不重合的B,C两点，且满足|AB|=|AC|,求P点横坐标的取值范围.18.(20分)称多项式f(x)=aaxd+ad-1xd-1+…+a₁x+ao,为临界多项式ai∈[1,1.001].现有一未知的临界多项式f(x),你想知道关于多项式的信息，但你只能事先选取属于(0,1)的有限个实数b₁,b₂,…,bm,然后得到f(b₁),f(b₂),…,f(6m)的值.(I)若选取b₁=0.1,b₂=0.2,b₃=0.3,得到函数值分别为1.101,1.201,1.301,求f(x)的表达式.(III)若已知d≤2024,至少需选取几个实数，使得一定可以推断出临界多项式的次数学试题第3页(共3页)集英苑2024夏季赛参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。三、解答题：本题共5小题，共85分。14.本题主要考查中位数、古典概型等基础知识，同时考查逻辑推理等素养。满分15分。(II)记事件A={a,b,c的中位数是4,d,e,f的中位数是6},B={a,b,c,d,e,f的中位数是5}.则故最有可能的取值是5.15.本题主要考查空间点、线、面位置关系，平面和平面所成角等基础知识，同时考查直观想象和数学运算等素养。满分15分。AC²+CE²=AB²+BD²=BC²+(BD-CE)².因为AC=BC>AB,故因此BD=2CE,则F和E到平面ABC的距离相等.(II)取DE中点G,BC中点H.则AG⊥DE,DH⊥平面ACE.数学答案第1页(共5页)(II)不妨设a100=M≥2,对于k=0,1,….,M-2,对于bk>1,Ab-1<k,则A₉9≥M-2.设bk=min{1≤n≤99|An≥k}.故bk+1≥2bk.因此99≥bM-2≥2M-2b₀=2M-2,得M≤8.满分20分。h(II)设A的坐标为(a,a²),B的坐标为(b,b²),C的坐标为(c,c²).x²-kx-(1-k)p=0,故b+c=k,bc=(k-1)p,k²+4(1-k)p>0.设BC的中点为M(xM,yM).则数学答案第2页(共5页)(2a-1)k²+(2a²-2a)k+(2a-1)=0.故设f(x)=a₁x+ao,解得a₁=1,ao=1.001.那么对于0≤k<m,1≤l<N,数学答案第3页(共5页)靠这些函数值无法推断出d,矛盾.(III)至少选取2个.下记M=1000.先证明m=1不可，假设选取了b₁.那么考虑令下证m=2可行.选取b₁=