材料力学3-扭转

§3-1

扭转概念和工程实例第三章扭转§3-2自由扭转杆件的内力计算§3-3

关于切应力的若干重要性质§3-4

圆轴扭转时横截面上的应力§3-5

扭转变形扭转强度和刚度计算§3-6

圆轴扭转破坏分析§3-1扭转概念和工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。Me主动力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。3、机器中的传动轴工作时受扭。二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆——轴。Me主动力偶阻抗力偶

功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）其中：P—功率，马力（PS）1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS其中：P—功率（W），

—角速度（1/s）其中：n—转速，转/分（rpm,r/min）1kW=1000N.m/s§3-2自由扭转杆件的内力计算一、外力偶矩计算mm

T1、扭转杆件的内力（截面法）mmT取右段为研究对象：内力偶矩——扭矩取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。

右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+T-

例1一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW。试作轴的扭矩图。

3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。扭矩图作法：同轴力图：一、计算作用在各轮上的外力偶矩解：M1

M2

M3

M4

ABCD二、分别计算各段的扭矩221133M1

M2

M3

M4

ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22x33DM4

xT3扭矩图Tmax=9.56kN·m在BC段内M1

M2

M3

M4

ABCD4.789.566.37T图(kN·m)1、实验：§3-3

关于切应力的若干重要性质一、薄壁圆筒横截面上的应力

薄壁圆筒轴的扭转,r0：为平均半径）(壁厚2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：横截面上可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。3、切应力的计算公式：

da薄壁圆筒横截面上的切应力计算式二、关于切应力的若干重要性质1、剪切虎克定律做薄壁圆筒的扭转试验可得T——剪切虎克定律在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'自动满足存在t'得2、切应力互等定理切应力互等定理

单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'

在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律1、实验：§3-4圆轴扭转时横截面上的应力观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。剪应变的变化规律：取楔形体O1O2ABCD

为研究对象微段扭转变形

djD’二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律→方向垂直于半径。dj/

dx－扭转角变化率弹性范围内三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式令代入物理关系式得：圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。扭转变形计算式横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：三、公式的使用条件：1、等直的圆轴，2、弹性范围内工作。Ip—截面的极惯性矩，单位：二、圆轴中τmax的确定单位：四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：Odrrd空心圆截面：DdrrOd注意：对于空心圆截面DdrrOd应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:§3-5扭转变形扭转强度和刚度计算≤≥2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:≤一、扭转强度计算等截面圆轴:变截面圆轴:例

已知

T=1.5kN

.

m，=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

a

=

0.9

的空心圆轴。解：1.确定实心圆轴直径2.确定空心圆轴内、外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻例

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径

d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用切应力=80MPa

，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACBBC段AB段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。2214T图（kN·m）1、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）

GIP——抗扭刚度。——单位长度的扭转角二、扭转杆的变形计算扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴2、刚度条件：3、刚度条件应用：1)、校核刚度；≤3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:例

已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[q]=0.5()/m。jAC=?校核轴的刚度解：1.变形分析2.刚度校核轴的刚度足够

例

传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率N1=400kW，从动轮B，C

分别输出功率N2=160kW，N3=240kW。已知[τ]=70MPa，

[

]=1º/m，G=80GPa。

(1)试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2；

(2)若AB和BC两段选同一直径，试确定直径d；

(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力

2.扭矩图

按刚度条件

3.直径d1的选取

按强度条件

按刚度条件

4.直径d2的选取

按强度条件

5.选同一直径时

6.将主动轮装在两从动轮之间受力合理§3-6圆轴扭转破坏分析低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。

材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。

材料抗剪切能力差