高考数学二轮复习专题4立体几何培优拓展（10）球的“切”“接”问题课件

培优拓展(十)球的“切”“接”问题空间几何体的外接球和内切球是高中数学的难点和重点,也是高考命题的热点.既有相对简单的几何体的外接球和内切球问题,也有难度较大的特殊几何体模型问题,题型为选择或填空题.角度一三棱锥的外接球问题热点一

墙角模型例1(2024河北保定模拟)已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球O的表面积为4π,则SA=(

)B解析

如图,由SA⊥平面ABC,可知SA⊥AB,SA⊥BC.[对点训练1](2024陕西咸阳二模)已知三棱锥D-ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DB⊥平面ABC,且DB=4,则该三棱锥的外接球的表面积为

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41π解析

因为AB=4,AC=3,BC=5,所以AB2+AC2=BC2,所以∠BAC=90°.又DB⊥底面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以DB⊥AB,DB⊥BC,所以三棱锥D-ABC的外接球即为以AB,AC,DB为棱的长方体的外接球,其中DC为该长方体体对角线,即该三棱锥的外接球的半径热点二

对棱相等模型例2在三棱锥P-ABC中,已知,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(

)A.77π B.64π

C.108π D.72πA解析

因为三棱锥的对棱相等,所以可以把它看成某个长方体的面对角线构成的几何体.设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,且长方体的面对[对点训练2]若四面体ABCD中,AB=CD=BC=AD=,AC=BD=,则四面体的外接球的表面积为

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6π解析

如图,因为四面体的对棱相等,所以可以把它看成某个长方体的面对角线构成的几何体.热点三

垂面模型例3(1)(2023全国乙,文16)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=

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2(2)已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=2,AC=6,∠ABC=120°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

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60π解析

由题意,将三棱锥P-ABC补成直三棱柱(图略),则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上.[对点训练3](2024四川凉山二模)已知在三棱锥P-ABC中,PA=,PB=PC=2,底面ABC是边长为1的正三角形,则该三棱锥的外接球表面积为(

)B解析

如图,在三棱锥P-ABC中,PA=,PB=PC=2,△ABC的边长为1,则PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.同理,PA⊥AC.又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设△ABC的外心为O1,三棱锥P-ABC外接球球心为O,PA的中点为D,连接OP,OD,OO1,O1A,易知四边形ADOO1是矩形,角度二内切球问题例4在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球的表面积为(

)C解析

如图,因为四面体ABCD四个面都为直角三角形,AB⊥平面BCD,所以AB⊥BD,AB⊥BC.又BC⊥CD,所以AC⊥CD.[对点训练4]已知三棱锥P-ABC的棱长均为4,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O2的表面积为

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角度三与球切、接有关的最值问题例5已知正三棱锥的外接球半径R为1,则该正三棱锥的体积的最大值为(

)C解析

如图所示,设该正三棱锥的高为h,底面外接圆的半径为r,底面面积为S,由球的对称性可知,若使正三棱锥的体积最大,则其外接球的球心一定在三棱锥内部,即1<h<2.由球的截面圆的性质,可得OA2=,即R2=r2+(h-R)2,解得[对点训练5]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动,则三棱锥D-ABC的外接球体积的最大值为(

)C解析

如图,因为AC=BC=2,