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培优拓展(七)三角形中的特殊线段问题三角形中的特殊线段主要是三角形中一边的中线、角的平分线以及高线,在考查过程中主要涉及长度的计算、范围的计算等.角度一三角形中的中线问题(2)如图,设AM的延长线交BC于点D.因为点M为△ABC的重心,所以点D为BC的中点,角度二三角形中的角平分线问题例2(1)(2023全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=

.

2(2)(2024湖南娄底一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=13,A=,b>c,△ABC的内切圆圆I的面积为3π.①求b,c的值及cos∠ABC;②若点D在AC上,且B,I,D三点共线,试讨论在BC边上是否存在点M,使得?若存在,求出点M的位置,并求出△DBM的面积;若不存在,请说明理由.角度三三角形中的高线问题例3(2023新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.角度四三角形中其他线段的长度问题针对训练

1.(2024浙江杭州模拟)在①b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC-sinA),②

这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

.

(1)求角C的大小;(2)已知c=7,D是边AB的中点,且CD⊥CB,求CD的长.解

(1)选条件①.由b(sin

A+sin

B)=(c+a)(sin

C-sin

A)及正弦定理,得b(a+b)=(c+a)(c-a),即a2+b2-c2=-ab,因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.由余弦定理得a2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,因为D是边AB的中点,(方法四)以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,0),B(a,0),设D(0,d),因为D是边AB的中点,所以A(-a,2d).(2)在

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