高考数学二轮复习数学思想方法第3讲分类讨论思想课件

第3讲分类讨论思想应用一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为

.

(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)解析

令g(x)=x2-ax+1,方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1,②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1),(*),若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1),(**),[应用体验1](2024山东泰安二模)已知函数

且f(m)=-12,则f(6-m)=(

)A.-1 B.-3 C.-5 D.-7D解析

由题意知,当m≤1时,f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1=-4,又2m+1>0,所以方程无解;应用二由图形位置或形状引起的分类讨论例2(多选题)已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点,定点A在x轴上,线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q,当P在圆O上运动时,Q的轨迹可以是(

)A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线ABC解析

当点A在圆外时,如图(1),(2)所示,设线段AP的中点为B,过点B作AP的垂线交直线OP于Q,连接AQ,则|QP|=|QA|,则||QO|-|QA||=|OP|=2,又|AO|>2,则此时点Q的轨迹为以O,A为焦点的双曲线;图(1)图(2)图(3)当点A在圆内(非原点)时,如图(3)所示,此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=2,又0<|AO|<2,则此时Q的轨迹为以O,A为焦点的椭圆;当A在坐标原点时,如图(4)所示,此时B,Q重合,|QO|=1,则此时Q的轨迹是以原点O为圆心,半径为1的圆;图(4)图(5)当点A在圆上时,如图(5)所示,由垂径定理,可知Q与O重合,此时Q的轨迹为点O.综上,点Q的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线或一点.故选ABC.C应用三由变量的范围引起的分类讨论例3(2024广东茂名二模)在一场乒乓球赛中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”,具体赛制为:首先,四人通过抽签两两对阵,胜者进入“胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的两人对阵,胜者进入最后决赛;“败区”的两人对阵,败者直接淘汰出局获第四名;紧接着,“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获第三名;最后,剩下的两人进行最后的冠军决赛,胜者获得冠军,败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1),且不同对阵的结果相互独立.(1)若p=0.6,经抽签,第一轮由甲对阵乙,丙对阵丁,①求甲获得第四名的概率;②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.(2)除“双败淘汰制”外,也经常采用“单败淘汰制”:抽签决定两两对阵,胜者晋级,败者淘汰,直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利?请说明理由.解

(1)①记“甲获得第四名”为事件A,则P(A)=(1-0.6)2=0.16;②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,则X的所有可能取值为2,3,4,连败两局:P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,X=3可以分为:连胜两局,第三局不管胜负;负胜负;胜负负,P(X=3)=0.62+(1-0.6)×0.6×(1-0.6)+0.6×(1-0.6)×(1-0.6)=0.552,P(X=4)=(1-0.6)×0.6×0.6+0.6×(1-0.