2022北京市石景山区高三（上）期末数学真题试卷答案

PAGE高三数学答案第1页（共8页）石景山区2021-2022学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案CAADBDDCBC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．11．；12．，；13．；14．（答案不唯一）；15．①③．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题13分）解：选条件①：；（Ⅰ），所以的最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因为，所以≤≤，所以≤≤，所以≤≤，当，即时，有最小值．………………13分选条件②：．（Ⅰ），所以最小正周期是．………………7分（Ⅱ）因为，所以≤≤，所以≤≤，当，即时，有最小值．………………13分17．（本小题14分）解：（Ⅰ）因为四棱锥中，，所以，因为，，所以．………………4分（Ⅱ）因为，，所以，又因为，所以，因为，，所以．………………9分（Ⅲ）存在，当为线段中点时，理由如下：由（Ⅱ）可知，因为，，所以，又，，如图以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，．由得令，所以．设（≤≤），则，所以，直线与平面所成角为，所以，解得，符合题意，所以当为线段中点时，直线与平面所成角的大小为．………………14分18.（本小题13分）解：（Ⅰ）由题可知，的所有可能取值为，，．；；．所以的分布列为………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．；；，所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．………………13分19.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为右焦点为，所以，因为离心率，所以，，所以椭圆的方程为．………………5分（Ⅱ）当直线垂直于轴时，（舍）．当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由整理得，设，由题意恒成立，所以，，，解得，所以直线的方程为．因为为椭圆在轴上的两个顶点，不妨设，因为，设，所以，即，即点在以原点为圆心，半径为的圆上．法一：因为原点到直线的距离，所以直线与圆相切，所以．法二：联立解得即，或解得即，因为，所以．………………15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以曲线在点处的切线方程为.………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，（）因为，令，所以或，当时，，则的变化情况如下表：极大值极小值当时，，则恒成立，在内恒增；当时，，则的变化情况如下表：极大值极小值综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当时，单调递增区间是和，单调递减是.………………10分（Ⅲ）当时，令，得或，易知则的变化情况如下表：极小值极大值所以当时，取得极小值由于，则，，，所以由极小值定义及的单调性可知：当时，.接下来，研究在的变化情况.因为恒成立，设对称轴，，所以由二次函数的性质可知：当时，恒成立所以在时恒成立.综上所述：当时，.………………15分21.（本小题15分）解：（Ⅰ）数列是“趋势递减数列”.因为是单调递减数列，，且.所以数列是“趋势递减数列”.数列是“趋势递减数列”.因为，且.所以数列是“趋势递减数列”.………………4分（Ⅱ）当时，数列为单调递增数列，此时，且不满足题意；当时，数列为常数列，不满足题意；当时，数列为单调递减数列，此时，且，满足题意；当时，此时，且，满足题意；当时，此时，且，不满足题意；综上，的取值范围为.………………9分（Ⅲ）先证必要性：假设存在正整数≥使得，，令.因为，为正实数，且所以≥，故≥，则数列从开始以后的各项为，当≥时，与为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成