2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,0,m),b=(2,n,1)，且a//bA.−2 B.2 C.−12 2.在数列{an}中，若a1=3,A.−12 B.3 C.233.在空间直角坐标系中，已知向量m=(1,1,−1)是平面ABC的一个法向量，且CD=(0,3,4)，则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是(

)A.515 B.315 C.4.在等差数列{an}中，a2=−1，a5=12，则A.30 B.31 C.32 D.335.法国数学家加斯帕⋅蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a2+y2bA.33 B.13 C.16.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，TA.1136 B.2372 C.7247.已知正项等比数列{an}的前5项和为242，且数列{1an}的前5A.12 B.15 C.16 D.188.已知⊙M：x2+y2+2x−4y+1=0，直线l：x−y−1=0，P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PM|⋅A.x−y+1=0 B.x−y−2=0 C.x+y+2=0 D.x+y+1=0二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线y=2x+m经过椭圆x25+y29A.−4 B.−2 C.2 D.410.若a，b是函数f(x)=x2−px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点，且a，b，−6这三个数在适当排序后成等差数列，也在适当排序后成等比数列，则A.a+b=16 B.ab=36 C.pq=540 D.p−q=2111.在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，直线l：x=−1，过l外一点P作l的垂线，垂足为Q，且|PQ|=|PF|，记动点P的轨迹为C，过点P作C的切线，该切线与x，y轴分别交于A，B两个不同的点，则下列结论正确的是(

)A.动点P的轨迹方程为y2=4x

B.当|PF|=4时，Q，B，F三点共线

C.对任意点P(除原点O外)，都有PA⊥QF

D.设M(2,2)，则|PM|+|PF|12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，y=kx与C交于A，B两点，M，N分别为AFA.34 B.22 C.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知{an}为等比数列，a1=9，a414.点(2,5)到直线mx−2y+m+4=0的距离的最大值为______．15.若双曲线y2m−2−x216.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆C过点A(0,−3)和B(0,1)，且圆心C在直线m：x+y−1=0上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)经过点(0,−3)的直线l被圆C截得的弦长为4，求l的方程．18.(本小题12分)

已知抛物线C：x2=−2py(p>0)的焦点为F，A(x0,−6)是C上的点，且|AF|=15．

(1)求C的方程；

(2)已知直线l交C于M，N两点，且MN的中点为(2,−11)19.(本小题12分)

设数列{an}满足3a1+5a2+⋯+(2n+1)an=9n．

(1)求{an20.(本小题12分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1=2AD，E为DD1上一点．

(1)证明：AC⊥21.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为426，且其焦点到渐近线的距离为1．

(1)求C的方程；

(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与22.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且(a1+3)an=S2+Sn．

(1)求a1，a2；

(2)若a1>0参考答案1.D

2.C

3.B

4.D

5.C

6.A

7.D

8.A

9.BC

10.BC

11.ABC

12.AD

13.314.315.y=±16.217.解：(1)由A(0,−3)和B(0,1)，可得AB的垂直平分线方程为y=−1，

与直线m：x+y−1=0联立可得圆C的圆心坐标为C(2,−1)．

圆C的半径为(2−0)2+(−1−1)2=22，

所以圆C的标准方程为(x−2)2+(y+1)2=8．

(2)设圆心C到直线l的距离为d，由弦长公式得2r2−d2=4，故d=2．

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx−3，即kx−y−3=0，

所以d=|2k+1−3|k2+1=218.解：(1)因为A(x0,−6)是抛物线C上的点，且|AF|=15，

所以|AF|=6+p2=15，

解得p=18，

则抛物线C的方程为x2=−36y；

(2)易知直线l的斜率存在，

不妨设直线l的斜率为k，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

因为M，N两点都在抛物线C上，

所以x12=−36y1x22=−36y19.解：(1)因为3a1+5a2+⋯+(2n+1)an=9n，

所以当n≥2时，3a1+5a2+⋯+(2n−1)an−1=9(n−1)，

两式相减得(2n+1)an=9，所以an=92n+1(n≥2)．

当n=1时，20.(1)证明：由题可知，BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AC，连接BD，∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，又BB1∩BD=B，

∴AC⊥平面B1BDE，又B1E⊂平面B1BDE，

∴AC⊥B1E；

(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=1，E(0,1,a)，0⩽a⩽2，

则A(0,0,0),B1(1,0,2),C(1,1,0),AE=(0,1,a),B1E=(−1,1,a−2)，

易知m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，

21.(1)解：设双曲线右焦点为F(c,0)，一条渐近线方程为bx−ay=0，

所以右焦点到渐近线的距离为bca2+b2=b=1，

因为离心率e=ca=1+b2a2=426，所以a=6，c=7，

故双曲线C的方程为x26−y2=1．

(2)证明：双曲线的渐近线为y=66x,y=−66x，

①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±6，

此时|PQ|=2,S△OPQ=12×2×6=6；

②当直线l的斜率存在时，不妨设l：y=kx+m，且k≠±66，

联立y=kx+mx26−y222.解：(1)由题意，令n=1，可得(a1+3)a1=S2+S1=2a1+a2，

化简整理，得a2