职教高考 函数的单调性

职教高考函数的单调性[知识整合]基础知识1．增函数(1)定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有意义．如果对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)成立，那么，函数f(x)叫作区间(a，b)内的增函数，区间(a，b)叫作函数f(x)的增区间．(2)图像特征：函数值y随自变量x的增大而增大，(如图1)自左到右图像呈上升趋势．图12．减函数(1)定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有意义．如果对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)成立，那么，函数f(x)叫作区间(a，b)内的减函数，区间(a，b)叫作函数f(x)的减区间．(2)图像特征：函数值y随自变量x的增大而减小，(如图2)自左到右图像呈下降趋势．图23．单调区间如果函数在某个给定区间上是增函数或是减函数，就说函数在此区间上具有单调性，此区间叫作函数的单调区间，单调区间包括单调递增区间和单调递减区间．基础训练1．若函数f(x)在(－∞，3]上是增函数，则下列关系式中成立的是()A．f(－3)<f(－1)<f(2)B．f(－1)<f(－3)<f(2)C．f(2)<f(－1)<f(－3)D．f(2)<f(－3)<f(－1)2．函数y＝x2＋2x＋1的单调递减区间是()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]3．已知函数f(x)在R上是减函数，则f(3)______f(5)．(填“>”，“<”或“＝”)4．如图，根据函数图像可知，函数的单调减区间为__________，单调增区间为__________．第4题图5．(1)已知函数f(x)在R上是增函数，且f(2x＋3)>f(x－5)，则实数x的取值范围是____________．(2)已知函数f(x)在R上是减函数，且f(2x＋3)>f(x－5)，则实数x的取值范围是____________．[重难点突破]考点1函数的单调性例1下列函数在区间(0，＋∞)上是减函数的是()A．y＝x2－2xB．y＝－eq\f(1,x)C．y＝2xD．y＝log0.2x【解析】选项A：y＝x2－2x在(－∞，1)为减函数；选项B：y＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上为增函数；选项C：y＝2x在R上为增函数；选项D：y＝log0.2x在(0，＋∞)上为减函数.故选D.【变式训练】下列函数中在定义域上为增函数的是()A．y＝2xB．y＝－xC．y＝eq\f(1,x)D．y＝|x|例2若二次函数y＝－x2＋2x，则此函数的单调增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1))【解析】将y＝－x2＋2x配方得y＝－(x－1)2＋1，函数图像开口向下，函数的单调增区间是(－∞，1]，故选D.【变式训练】函数f(x)＝eq\r(x2＋x－6)的单调增区间是()A．(－∞，－3)B．[2，＋∞)C．[0，2)D．[－3，2]考点2函数的单调性的应用例3已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)>f(2x－3)的解集为____________．【解析】由题意知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x>0,2x－3>0,x>2x－3))))，解得eq\f(3,2)<x<3，∴不等式解集为(eq\f(3,2)，3)．【变式训练】已知f(x)是R上的增函数，则不等式f(a2－3)<f(2a)的解集是____________．例4二次函数y＝3x2＋(a－1)x＋4在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是____________．【解析】由题意知：－eq\f(a－1,2×3)≥1，解得a≤－5，∴a的取值范围是(－∞，－5].【变式训练】已知函数g(x)＝eq\f(x,4x－a)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．[课堂训练]1．函数y＝eq\f(2,x)的单调性是()A．在(－∞，＋∞)上递减B．在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减C．在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增D．在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝－x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝sinxD．y＝xeq\s\up6(\f(1,2))3．在(0，＋∞)内，下列函数是增函数的是()A．y＝1－x2B．y＝eq\f(1,x)C．y＝x2D．y＝3－x4．设函数f(x)在R上是增函数，且f(5＋2a)>f(5－2a)，则实数a的取值范围是()A．a>1B．a＜1C．a＜0D．a>05．函数f(x)＝|x|，g(x)＝－x2＋1，那么在(0，＋∞)上，下列说法正确的是()A．f(x)是增函数，g(x)是减函数B．f(x)是减函数，g(x)是增函数C．f(x)，g(x)都是增函数D．f(x)，g(x)都是减函数6．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则f(－3)____________f(3)．7．函数y＝f(x)是定义域R上的单调递增函数，且f(1－a)<f(a2＋1)，则实数a的取值范围是____________．8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则它的单调递增区间是____________．9．函数y＝(x－1)的单调递减区间是____________．10．设f(x)的定义域为R，在(0，＋∞)单调递减，且有f(a2＋a＋1)＜f(3a2－2a＋1)，求实数a的取值范围．答案知识整合基础训练1．A【解析】因为函数f(x)在(－∞，3]上是增函数，－3<－1<2，所以f(－3)<f(－1)<f(2)，故选A.2．D【解析】由y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2得对称轴为x＝－1，又因为二次项系数大于0，所以函数的单调递减区间是(－∞，－1]．故选D.3．>【解析】因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，则f(3)>f(5)．4.(0,2],[-2,0]【解析】由图可看出当x∈(0,2],函数图像是单调递减的，当x∈[-2,0]时，函数图像是单调递增的，所以函数的单调减区间是(0,2]，单调增区间是[-2,0]．5．(1)(－8，＋∞)(2)(－∞，－8)【解析】(1)由函数f(x)在R上为增函数且f(2x＋3)>f(x－5)，可得2x＋3>x－5，∴x>－8.(2)由函数f(x)在R上为减函数且f(2x＋3)>f(x－5)，可得2x＋3<x－5，∴x<－8.重难点突破【例1】【变式训练】A【解析】选项A：函数y＝2x为R上的增函数；选项B：函数y＝－x为R上的减函数；选项C：函数y＝eq\f(1,x)为(－∞，0)和(0，＋∞)上的减函数；选项D：函数y＝|x|在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故选A.【例2】【变式训练】B【解析】函数有意义，则：x2＋x－6≥0，解得：x≥2或x≤－3，二次函数在区间(－∞，－3]上单调递减，在区间[2,+∞)上单调递增，函数在定于域内单调递增，结合复合函数的单调性可得函数f(x)=的单调增区间是[2,+∞).故选：B.【例3】【变式训练】(－1，3)【解析】因为f(x)是R上的增函数，f(a2－3)<f(2a)，所以a2－3<2a，即a2－2a－3<0，(a－3)(a＋1)<0，解得－1<a<3，所以不等式f(a2－3)<f(2a)的解集是(－1，3)．【例4】【变式训练】【解】函数g(x)＝eq\f(x,4x－a)＝eq\f(x－\f(a,4)＋\f(a,4),4x－a)＝eq\f(1,4)＋eq\f(a,4（4x－a）)在(1，＋∞)上单调递减，∴a＞0，且4－a≥0，求得0＜a≤4.课堂训练1．B【解析】由题可知函数y＝eq\f(2,x)为反比例函数，且k＝2>0，所以函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．2．D【解析】对于A，函数在R递减，对于B，函数在(0，1)递减，对于C，函数在(0，＋∞)无单调性，对于D，函数在(0，＋∞)递增，故选：D.3．C【解析】函数y＝1－x2图像开口向下，在(0，＋∞)上单调递减，函数y＝eq\f(1,x)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上，单调递减，函数y＝x2图像开口向上，在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在R上为单调减函数，故选C.4．D【解析】∵f(x)在R上为增函数且f(5＋2a)>f(5－2a)，∴5＋2a>5－2a，即a>0，故选D.5．A【解析】函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)上化简为f(x)＝x，其图像如a图，g(x)＝－x2＋1在(0，＋∞)上的图像为b图．很显然f(x)＝|x|在(0，＋∞)上为增函数，g(x)＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，故选A.a图b图第5题图6．>【解析】因为f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，－3<3，所以f(－3)>f(3)．7．(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】∵y＝f(x)是定义域R上的单调增函数，且f(1－a)<f(a2＋1)，∴1－a<a2＋1，解得a<－1或a>0，即a的取值范围为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．8.[1,+∞)9．(1，＋∞)【解析】∵y＝logx为(0，＋∞)上的减函数，∴由x－1＞0得：x＞1，∴函数y＝log(x－1)在(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝log(x