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文档简介
MATLAB与科学计算
多媒体网络教室方案示意图
、儿、▲
,、刖百
•MATLAB:matrixlaboratory的缩写,
矩阵实验室的意思。一开始它是一种
专门用于矩阵数值计算的软件。自
MATLAB4.0版本问世以来,该软件成
为最具有吸引力,应用最为广泛的科
学计算语言。我们这个课就拿
MATLAB6.1版本来讲。(6.x版本大
同小异)
•学习该软件的必要性:目前,
MATLAB软件不仅走入企业、公
司和科研机构,而且在高等院校
也是从大学生到博士生都必须掌
握的一项基本技能,是必不可少
的计算工具,。
•MATLAB功能:数值计算、符号
运算和图形处理。
•学习它的意义:随着计算机科学
和计算软件的发展,数学系学生
必须掌握一门好的计算软件。这
是我们就业、继续身造或做科研
工作所要用到的。是当代大学生
必备的一项技能。
•其它计算软件:MATHEMATIC
(数学分析问题的计算);IDL
(航天、控制),FOETRAN、
BASIC(科学计算)。可以说一
个人掌握了一门计算软件,再学
习其它计算软件很容易。
•MATLAB桌面平台:
(1)主窗口:整个大的窗口(其它
几个窗口都包括在其中)
(2)命令窗口(command
window):》为运算提示符,表
示MATLAB在准备状态。当在提示
符后输入一段运算式并按回车键
后,就给出计算结果
(3)历史窗口(commandhistory):
保留命令历史记录,这方便于使
用者查询。双击历史窗口中的某
一行命令,即可在命令窗口中执
行该命令。
(4)当前目录窗口(current
directory):在当前目录窗口中
可显示或改变当前目录,也可以
显示当前目录下的文件,并提供
搜索功能。
(5)发行说明书窗口(launchpad):
用来铺明用户所拥有的Mathworks
公司产品的工具包、演示以及帮助
信息。
(6)工作间管理窗口
(workspace):显示目前内存中所
有的MATLAB变量的变量名、数学结
构、字节数及其类型。
•命令窗口查询帮助:help+函数名,
当用户知道函数名字,而不知道
其用法时,用help命令可以去了
解此函数的用法。
如:helpinv
•MATLAB标点的含义:
(1)分号;……区分行以及取消
运行显示等。例:
A=[l,2,3,4]与A=[1,2;3,4];
的区别。
(2)逗号,……区分列及函数参
数分隔符等。例:二[1,2;3,4],
B=[l,4,3;3,2,1;4,5,6]
⑶小括号():指定运算过程的
先后次序等。例:
x=0.5;
y=sin(x)/(2+cos(x))
z=sin(x)/2+cos(x)
(4)方括号[]:矩阵定义标志等。
见上。
(5)续行号…:例:
y=sin(x)/(2+cos(x))
也可写为
y=sin(x)...
/(2+cos(x))
(6)百分号%:注释标记,该行%以
后的语句不执行。例
%线性规划程序
%a=0.5;
b二sin(x);%正弦函数
(6)等号=:赋值标记。见上。
(7)单引号'':字符串表示
符,单引号里面的内容为字符串。
单引号一定在英文状态下输入例:
a=lxingtaicollege1
(8)冒号,':有多种应用功
能,学习过程中注意。如:选取
矩阵的所有行、歹!J;矩阵定义
二、数值计算
变量:MATLAB语言不需要对所使用
的变量进行事先声明,也不需要指定其
类型,它会首动根据所赋予变量的值或
卷翻藕鬣r2无量Z的类划型。如,果
代替旧值。如:
a=1
b=0.5
c=a*b
c=3
•变量命名的规则:
(1)变量名区分大小写;
(2)变量名长度不能超过31位;
(3)必须以字母开头,变量名中
可包含字母、数字、下划线,但
不能使用标点。
•常量:MATLAB中有些预定义的
变量,这些特殊的变量称为常量。
常用到的有:
i,j:虚数单位;
pi:IT;
NaN:表示不定值,比如0/0;
inf:无穷大(infinit),比如
1/0o
•算术操作符:
加,减;可以通用。
*,A,\,/:分别为矩阵乘,乘
方,左除,右除;
分别为数组乘,
乘方,左除,右除;此时向量的
运算不会满足矩阵的运算法则。
注意矩阵的加点运算结果。
如:
a1=2;
a2=[1,2,3,4];
b2=[4,3,2,1];
a1+a2
a1-a2
a2-a1
a1*a2
a1./a2%a1/a2是错误的写法
a1.\a2
a2-b2
a2+b2
a2.*b2%a2*b2是错误的写法
a2./b2
b2./a2
a2.\b2
例已知水的黏度随温度的变化公式
2
为p=p0Z(1+at+bt)其中
p0=1.785X103,
a=0.03368,b=0.000221,
求水在0,20,40,求水时的黏度。
程序如下:
miu0=1.785e-3;
a=0.03368;
b=0.000221;
t=0:20:80
miu=miuO./(1+a*t+b*t.A2)
运行后的结果为:
miu=
0.00180.00100.00070.00050.0003
•字符串:
字符串的约定(1)字符串用单引
号括起来;(2)字符串的每个
每个字符(包括空格)都是字符
数组的一个元素.
例s="xingtaicollege9
f=^sin(x),
是字符串(chararray)
•向量的生成:
(1)直接输入:如a=[1,2,5,3]
(2)利用冒号表达式生成:如:
b=[2:2:10],此时[]可省略,步长
为1时,步长可省略。第一个数为
首元素的值,第2个数为步长或差
值,第三个数为尾元素的限值,不
能超过这个值。如b=2;2:11等价
于b=[2:2:10]
(3)线性等份向量生成:
y=linspace(x1,x2,n),生成n维向
量,使得y(1)=x1,y(n)=x2。如:
y=linspace(1,100,6)o
•向量的基本运算
(1)向量的加减:用+、・。同维向
量才可以加、减。相应元素加减
(2)向量与数可以加、减。用+、
-o数与向量的每个元素进行作用。
(3)向量与数可以相乘。用*。
(4)向量与数可以相除。向量/数,
数./向量。
(5)两个向量点积。必须是同维
向量。用dot(a,b)。
(6)两个向量叉积。
cross(a,b),a,b必须有是3维且次
序不能颠倒,。
(7)混合积。由以上两个函数实现。
dot(a,cross(b,c))
•矩阵的生成:
(1)直接输入:如:a=[1,3,4;4,3,2],
(2)创建M文件输入大矩阵:当矩阵
很大时,直接输入显得很笨,出错
不易修改.我们可以编写一个M文
件,M文件的扩展名必须是m.
例编写一个名为111@1;"*.111(名字
自己随便起)的M文件如下:
%matrix.m
mat=[l,2,3,3;3,4,5,1;3,2,1,4;8
,9,7,5]
在命令窗口中输入matrix,就
会运行该文件.查看矩阵的结构可
用size(mat).
•矩阵运算:
(1)+、-、*:力口、减、乘运算。
(2)矩阵的除法有两种形式:左除
和右除.右除是先计算
逆再做乘法;而左除不计算逆直接
进行除法运算,这样可避免奇异矩
阵无法求逆带来的麻烦.
如:A=[l,2,3,2;3,2,
4,1;3,1,5,6;2,5,3,2],
b=[l;3;2;lL求方程组Ax二b的解.
由于rank(A)=rank(B)=4(B为增
广矩阵),所以有唯一解,X二A\b,
或x=inv(A)*b・
•又如:
A=[361,625,961,1444,1936;1,1,1
,1,1],b=\求方程组Ax=b
的解.由于rank(A)=rank(B)=2(B为
增广矩阵),所以有无穷多个
解,MATLAB中用除法解方程组时所
得到的解是所有解中范数最小的一
个x二A\bo
(3)矩阵与常数间的运算:+、-、
*运算是数与矩阵的每个元素进行
运算,除法运算,只能常数做除
数。
(4)矩阵求逆:inv(A)为A的逆
(inverse).
(5)求转置矩阵:A'.
(6)求矩阵的行列
式:det(A),(determinant是行
列式)。
(7)矩阵塞运算:用二如N3,表示
A*A*A。
(8)矩阵指数运算:expm(A),A为
方阵。
(9)矩阵对数运算:logm(A),A为
方阵。
如:a=rand(3);%成生一个3阶
随机矩阵
b=expm(a)
c=logm(b)
(10)矩阵开方:sqrtm(a).
(11)求矩阵呢的秩:rank(a).
•特殊矩阵的生成:
(1)zeros(n):生成nXn阶0矩阵。
(2)zeros(m,n):生成0><11阶0矩
阵。
(3)zeros(size(a)):生成与a阶数
相同的0矩阵。
(4)eye(n):生成n阶单位矩阵。
(5)eye(m,n):生成inXn阶单位
矩阵。
(6)eye(size(a)):生成与@阶数
相同的单位矩阵。
(7)ones(n):生成n阶全1矩阵。
(8)ones(m,n):生成mXn阶全1
矩阵。
(9)ones(size(a)):生成与a阶数
相同的全1矩阵。
(10)rand(n):生成nXn阶随机矩
阵,其元素值在0和1之间。
(11)rand(m,n):生成mXn阶随机
矩阵。
(12)rand:生成一个随机数。
(13)rand(size(a)):生成与a阶
数相同的随机矩阵。
•矩阵的特殊操作:
(1)变维操作reshape(a,m,n):把
矩阵a变成nXn阶矩阵。如
a=l:12,reshape(a,2,6),
reshape(a,3,4)o注意安维操作
要保证元素个数一致。
例
s=l:12;
c=zeros(3,4);
c(:)=s(:);%符号“:”表示
变维操作,这两个矩阵必须预先
定义维数,结果c取的是S的元素。
(2)对角元素抽取diag(a,k)(注:
diagonal为对角线的意思):抽
取矩阵a的第k条对角线的元素作
为向量,k=0时为主对角线,k为
正值时为上方第k条对角线,k为
负值时为下方第k条对角线。
diag(a)相当于diag(a,0).例
a=rand(3);v=diag(a)
说明:如果b是一个向量,贝(Jdiag(b)
为对角矩阵,其对角线元素为b的
元素。如:b=l:3,diag(b).
(3)tril(a)(注:trianglelow):
提取矩a的主下三角。
(4)tril(a,k):提取矩a的第k条
对角线下面部分。k=0时为主对
角线,k为正值时为上方第k条对
角线,k为负值时为下方第k条对
角线。
(5)triu(a,k)(注:triangle
up):提取矩a的第k条对角线上面
部分。
•逻辑运算符:
(1)==:等于。
(2)~二:不等于。
(3)<:小于。
(4)):大于。
(5)<=:小于等于。
(6)〉二:大于等于。
(7)&:逻辑与。
(8)|:逻辑或。
(9)1逻辑非。
说明:
①在关系比较中,若双方为同
维数组(矩阵),则比较的结果
也是同维数组(矩阵)。它们的
元素有0和1组成。对应位置上的
元素满足比较关系时为L否则为
0o当常数与数组(矩阵)比较时,
结果与数组(矩阵)同维,其值
依次为常数与数组元素依次比较
的结果。例:
a=[l:3;4:6;7:9]
x=5
y=x<=a
运行结果
y=
000
011
111
②逻辑运算的意义是:
与:当运算双方的对应元素值
都为非。时,结果为I,否则为0;
或:当运算双方的对应元素值
有一非0时,结果为1,否则为0;
非:当运算数组(矩阵)的对
应位置上的元素值为0时,结果为
1,否则为0。例
a=[1,2;3,2];
b=[0,1;3,0];
d=a&b
e=a|b
f=~b
③算术运算、比较运算、逻辑与或
非运算的优先级:先算术运算、
再比较运算、最后逻辑与或非运
算。
•常用的一些函数(直接调用):
sin(x):正弦函数(sine);例:
x="pi:0.1:pi;y=sin(x);plot(x,y)
asin(x):反正弦函数(anti・sine);
cos(x):余弦函数(cosine);
acos(x):反余弦函数(anti-cosine);
tan(x):正切函数(tangent);
atan(x):反正切函数(anti-tangent);
cot(x):余切函数(cotangent);
acot(x):反余切函数(anti-
cotangent);
sec(x):正割函数(secant);
asec(x):反正割函数(anti-secant);
esc(x):余割函数(cosecant);
acsc(x):反余割函数(anti-
cosecant);
sinh(x):双曲正弦(hyperbolicsine);
asinh(x):反双曲正弦(anti-hyperbolic
sine);
cosh(x):双曲余弦(hyperboliccosine);
acosh(x):反双曲余弦(anti-
hyperboliccosine);
tanh(x):双曲正切函数(hyperbolic
tangent);
atanh(x):反双曲正切函数(anti-
hyperbolictangent);
coth(x):双曲余切函数(hyperbolic
cotangent);
acoth(x):反双曲余切函数(anti-
hyperboliccotangent);
exp(x):e指数函数(exponent);
log(x):自然对数函数(logarithm);
Iog10(x):以10为底的对数;
Iog2(x):以2为底的对数;
sqrt(x):平方根函数(squareroot);
abs(x):求模函数(absolute)
lnline(¥的表达式'):自定义函数。函数的自变量为函数中
出现的变量。自变量顺序安字母表顺序。
InlineCf的表达式','变量1','变量Z,'变量3,……):
与上面的区别是它安变量表的给出的顺序规定函数的变量
顺序。如:g=inline('sin(2*x*y+z)J),
表示:g(x,y,z)=sin(2*x*y+z)
g=inline('sin(2*x*y+z)-x-z'V)
表示:g(x,z,y)=sin(2*x*y+z);
g1(123)与g2(1,2,3)的意义不同o
factorial(n):求n的阶乘。
•多项式表示方法:
在MATLAB中多项式
P(X)=anXn+an.iXn」+…+a0是以向量
p=[an田用…,a。]的形式福存的.
(1)系数向量直接输入:例输入多项式
xA3-5xA2+6x-33.
p=[1,-5,6,-33];
poly2sym(p)%polynomial多项
式,将系数向量表示成符号多项式
⑵矩阵的特征多项式输入:例
a=[l,2,3;2,3,4;3,4,5];
p=poly(a);%求@的特征多项式系数
向量
pl=poly2sym(p);%即为a的特征多
项式
(3)由根创建多项式:例
root=[-5,・3+4i广3・4i];%是某个多
项式的根
p=poly(root)%求相应的多项式
的系数向量
P1=poly2sym(p)%将多项式系数
向量表示成符号多项式
•多项式运算:
⑴求多项式的值:例
p=[1,11,55,125];
a=1.2
b=[1,2;2,3]
polyval(p,a)%polynomialvalue
求多项式在1.2的值
polyvalm(p,b)%多项式在b的值
⑵求多项式的根:例求多项式
2xF-5x-3+6x人2-x+9=0的所有根.
P=[2,-5,6,-1,9]
roots(p)%得到多项式的根
(3)factor:因式分解。例
symsx
factor(x"9-1)
结果:ans=(x-1)*(xA2+x+1)*(xA6+xA3+1)
factor(symC10(F))%把整数100进
行素数分解.结果:(2)八2*(5)八2
(4)expand(s):多项式展开,s可为多
项式、多项式向量和矩阵。例
expand(sym(l(x+l)A31))
结果:ans=xA3+3*xA2+3*x+l
expand(sym('sin(x+y)'))
结果:ans=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
(5)collect(s):对默认的变量合并同
类项。
co11ect(s,v):对变量v合并同类
项。
S可为符号多项式、多项式向量和矩阵
例
collect(sym(lxA2*y+y*x-xA2-2*y*x,))
collect(sym(,xA2*y+y*x-xA2-2*y*x,)/x,)
collect(sym(,xA2*y+y*x-xA2-2*y*x,)/y5)
(6)simple(s):符号表达式简化,s可为
符号多项式、多项式向量和矩阵。
例
f=simple(sym(Tsin(x)A2+cos(x)A21))
结果:f=l
g=simple(sym(,xA3+3*xA2+3*x+l,))
结果:g=(x+l)A3
⑺多项式乘除运算分别用conv和
deconv:
(convolution,deconvolution)
例
p1=[2,-5,6,-1,9];
p2=[3,-90,18];
p=conv(p1,p2)%为p1和p2所相应
的多项式的乘积多项式的系数向量
p3=deconv(p,pl)%为p2
p4=deconv(p,p2)%为「1
poly2sym(pl);
poly2sym(p2);
poly2sym(p)
poly2sym(p3)
poly2sym(p4)%观看这几个多项
polyfit(x,y,n)其中x,y为拟合数
据,n为拟合多项式的阶数。例
用最小二乘法拟合数据
X:0.501.001.502.002.503.00
y:1.752.453.814.808.008.60
x=[0.5,1,1.5,2,2.5,3]
y=[l.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60]
a=polyfit(x,y,2)%用2次多项式拟合上
组数据,a为拟合多项式的系数向量
xl=O.5:0.05:3
yl=a(l)*xl."2+a(2)*xl+a(3)
plot(xl,yl)%画出拟合曲线的图
形
holdon%保留上面的图形和坐
标,可在该坐标系中继续作图
plot(x,y,)%用*号的形式
画出被拟合的数据图形
•求矩阵的特征值(eigenvalue:)和特
征向量(eigenvector)
例
a=[7,3,-2;3,4,-1;-2,-1,3];
[x,y]=eig(a)%所得结果x为a的特征
向量矩阵,y为特征值矩阵
说明:a必须是方阵,此时a*x=x*y,
三、符号运算
•MATLAB进行符号运算的主要功能:
符号表达式和符号矩阵的基本操作、
符号矩阵的基本运算、符号微积分
运算、符号线性方程求解、符号微
分方程求解、特殊数学符号函数、
符号函数图形等。
■符号表达式的生成
创建符号函数:如fmiog(x)'
创建符号方程:如
g="a*xA2+b*yA2+c=0"
创建微分方程:如q="Dy.y=x'
或者:f=sym(tlog(x),)>
g=sym('a*xA2+b*yA2+c=0i)>
q=sym(,Dy-y=x,)
说明:符号函数也可以用另一方
法创建(该方法不能创建方程):
symsx%用$丫1^可以定义多个变量,变量间用空格分开
f=log(x)
w=sin(x)+cos(x)
•符号与数值之间的转换
(1)Vpa函数:如
digits(25)%设置有效数字
的精度为25位有效数字
vpa(pi+1)%显示在上述
digits函数设置下的精度的数值
或者vpa(pi+1,25)
^±vpa:variableprecisionarithmetic
(2)numeric函数:如
numeric(pi+2),a="1\numeric(a)(把a
变为double型,相当于str2nlim(a))
(3)double函数:转sym型为double型.
double(sym(2)),a="1\
double(a))(把a变为double型代码)
说明:对sym型数据,上两者作用一样
例求函数f(x)=x・cos(x)在x=2的值。
解
symsx
f=x-cos(x);
fl=subs(f,T,x)%字符替代,
在符号函数f中用2代替x
fl=subs(f,x,1)%给出f在x=l处
的值。
digits(20)
vpa(f1)
numeric(fl),doub1e(fl)
例求方程3x2・ex=0的精确解和各种
精度的近似解。
解s=solve(<3*xA2-exp(x)=0,)
vpa(s)%显示32位有效数字
vpa(s,6)%显示6位有效数字
symsx
ezplot(3*xA2-exp(x))
注:W=LAMBERTW(X)是w*exp(w)=x的解
•符号函数运算
复合函数运算:设z=g(y),y=f(x)
compose(g,f)%即为g(f(x)),自
变量的符号取为f函数的自变量符
号。
compose(g,f,t)%即为g(f(x)),
自变量的符号取t。
反函数运算:finverse
例
•symsx;symsy;symst;%或者symsxyt
•g=sin(y);f=1/x
•compose(g9f)
•compose(g,f,t)
•finverse(g)
•finverse(f)
•符号矩阵创立
使用sym函数直接创建符号矩阵:例八
a=sym(,[l/sin(x),cos(x)^2;2*x,l+x^2])
或
symsx
a=[l/sin(x),cos(x)-2;2*x,l+x^2]
用创建子矩阵的办法创建符号矩阵(该方法不推
荐):例
a=[-1/sin(x),cos(x)…2],;'[2*x
,l+x…2]']%同列元素的位数必须一样,可
用空可空格来补。例
b=[a,/[1,x2了:
•将数值矩阵转化为符号矩阵
a=[2/3,sqrt(2);0.222Jog(3)]%2为
数值矩阵
b=sym(a)%把2转化为符号矩阵b。
•符号矩阵索引和修改
b(2,2)%矩阵的索弓显示矩阵b的
第2行第2列元素。
•符号矩阵的修改
b(2,2)=1og(9)J%矩阵的修改,
b(2,2)修改为log(9)。
・符号矩阵的运算
(1)+、一、*、\、/运算
(2)矩阵转置('):联
(3)行列式运算:det(a)
%determinant的简写并算符号矩阵
的行列式。
(4)求逆inv(a):求矩阵a的逆。
(5)求矩阵的秩rank(a):求矩阵a的秩。
•符号函数极限(只限于sym型函数)
limit(f,x,a):求表达式依x-a时的极限。
limit(f):求f在x—0时的极限.
而计(仃声,昵伍):求表达式他*一2时的左
极限。
Iimit(f,x,a,5rightJ):求表达式由Ex—a时的
右极限。例
symsx
limit(sin(x)/x,x,1)
limit(sin(x)/x)
limit((1+1/x)A(1/x),x,inf)
f=atan(1/(1-x))
y=limit(f,x,1)%没极限
y1=limit(f,x,1Jeft')
y2=limit(f,x,1,'right')
f=1/x,
y1=limit(f,x,O」eft')
,1
y2=limit(f,x,0Jright)
•符号积分(适于sym型、char型)
(Dint(f,x):计算符号表达式f,自由变
量为x的不定积分.
(2)int(f,x,a,b):计算符号表达式f,自
由变量为x,从a到b的定积分
说明:符号表达式可以是符号函数,
也可是符号矩阵。
例
symsx
int(sin(x),x)
int(sin(x),x,O,l)
int(sin(x),x,O,l)
说明:变量x省略时默认对x积分。
a=sym(,[l/sin(x),cos(x)A2;
2*x,l+x人2「)
int(a,x)
,符号函数求导(适于sym型和char型)
(1)diff(f,x)%求表达式f,自由变量为x
的导数。说明:diff(a),a为向量时,
表示前项与后一项的亲。
(2)diff(f,x,n)%求表达式f,自由变量
为x的n阶导数。
symsx
f=sin(x)-2
diff(f,x)%变量x省略时默认对x求导
diff(f,x,2)%x省略时默认对x求导
•线性方程组的符号解法(linsolve)
例a=sym('10,-2;0,-2,10?)
b=sym('[9;7;6]')
x=linsolve(a,b)%x为线性方程
ax=b的解。注:这里a,b出行是double型
,但得到的x为sym型。
vpa(x)%转化为浮点近似解,32位有效
数字。
•非线性方程(组)的符号解法
(1)fsolve(f,xo)洪中f为被求零点的
函数,X。为初值。注:fsolve对sym型
函数无效;可用于有函数文件、字符
串、和inline定义的函数;类似命令还
宥:fzeroo或用:
fsolve(T5x0foptions)
(2)slove(届程1:'方程2,…).
例、求解下面非线性方程组
X1・0.7sifix1-0.2COSX2=0
X2-0.7COSX1+0.2sinx2=0
解首先编写函数文件f.m如下
functiony=fc(x)
y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2));
y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2));
y=[y(i);y(2)];
在命令窗口中输入
x0=[0.502,0.51];%x0为初始向量
fsolve('fc\xO)
作业:分别用solve和fsolve函数求
sinx+cosx+x=0的解,并进行验证。
作业:分别用solve和fsolve函数求方
程组
x"2*y"2-2*x-1=0
x"2-y2-1=0
的解,并进行验证。
两个函数用法的区别是什么?
%方法1
•[x,y]=solve(,xA2*yA2-2*x-1=05/xA2-yA2-1=O9);
%方法2
•functiony=fc(x)
•y(l)=x(l)八2*x(2)八2-2*x(l)・l;
•y(2)=x(l)A2-x(2)A2-l;
•y=[y(D,y⑵]
•x0=[1.6;1.2]
•x=fsolve(!fc\xO)
%方法3
•f=![x(l)A2*x(2)A2-2*x(l)-l;x(l)A2-x(2)A2-X]6
•x0=[0.6;0]
•x=fsolve(f,xO)
%方法4
f=inlinef[x(l)A2*x(2)A2-2*x(l)-l;x(l)A2-x(2)A2-X]f)
•x0=[1.6;1.2]
•x=fsolve(f,xO)
(4)已知
x=[xx,x2,…,xj
f=(fl(X);f2(x);…;fn(x))
试求导数f'(x),即f对x的jacobian
矩阵。
提示:利用函数:jacobian(f,v),
其中v为自变量向量。
利用该雅可比函数求下面函数的
导数以及在(1,2,3)点的导数值。
F=[3x-cos(xy)-0.5;
x2-80(y+0.l)2+sinz+l.06;
exy+20z+l]
•symsx5symsy,symsz
f=[3^x-cos(x^y)-0.5;xA2-
0^(y+0.1)A2+sin(z)+1.06;exp(-
x*y)+20*z+l]
•df=jacobian(f5[x^z])
•b=subs(df,[x,y,z],[1,2,3]);b='[1;2;3],;
•c=linsolve(a5b);
•常微分方程的符号解(dsolve):
字符D代表对独立变量导数d/dt,Dn代表对独立变量的n
阶导数,
例求dy/dt=・ay和dy/dx=x的解
解dsolve(iDy=-a*y5)%得到通解,默认自变量为匕
dsolve(tDy=-a*y5/y(0)=15)%给定了初始条件,求
特解。方程和初始条件用逗号分开,都用单引号引
起来。
y=dsolve(,Dy=xlX。;%通解
y=dsolveCDy=x;y(1)=2,Jx=%特解
•符号函数的二维图形
(1)ezplot(f):绘制f(x)的图形,
的范围为[-2立,2TT]。如
ezplot('sin(x)9。
(2)ezplot(f,a,b):绘制f(x)的
图形,x的范围为[a,b]o如
ezplot('sin(x)10,9)o
四、图形处理
图形可视化是数学计算人
员所喜欢和追求的一项技术。把
结果用图形描述出来,便于理解、
分析。
•二维绘图命令
(1)plot(y):%若y是向量,就以向量的索
可为横坐标,以向量的元素值为纵坐
标;
(2)plot(x,y):一般来说是绘制向量y的图
形,横坐标为x的值,纵坐标为y的值。
(3Lplot(x,y;J):这里表示用点线显
Zj\O
•二维绘图命令
(1加10*丫):%若丫是向量,就以向量的索引
为横坐标,以向量的元素值为纵坐标;
(2)plot(x,y):一般来说是绘制向量y的图形,
横坐标为x的值,纵坐标为y的值。x,y的维
数相同
(3)plot(x,y,l):这里'「表示用离散点显示。
(4)plot(xl,y1,x2,y2):xl,yl的维数相同,
x2,y2的维数相同。
例
x=-pi:0.1:pi
y=sin(x)
Plot(y)
holdon%保留上一个图形
plot(x,y)
说明:在pl。t(x,y,、,)中图形设置选项s的规
定
点或线的颜色标记点的形式线型1
k(黄)r,(点)(实线)।
M(紫红)]'o'(圆圈)Y(点线)
'c'(青)'X,(叉).-.’(点划浅)
,1,
'r‘(红)—一(盅线))
'g'(绿)
'b'(兰),s'(正方形)
(白),d,(菱形)1
'k'(黑)(向下三角形)
L'(向上三角形)
''响左三龟取)
'〉'(向右身形)
'P'(五角星)
■(六角形)
点或线的颜色标记点的形式线型
黄)(点)■(实线)
(紫红)'o’(圆圈)(点线)
%,(青)飞’(叉)(点划线)
k(红)'+'(虚线)
(绿)
―(兰)飞,,正方形)
'w'(白)'d'(菱形)
'k‘(黑)‘V’(向下三角形)
L'(向上三角形)
(向左三角形)
'>'(向右三角形)
'p'(五角星)
口(六角形)
还有大小、线宽控制:如2
plot(1,1/ro'/markersize'jSO)
plot(1,1/linewidth',49)
例
x=0:0.1*pi:2*pi;
y=sin(x);
z=cos(x);
'・r)%分别用虚黑线和
点划红线显示两条曲线。
(5)polar(0,ij:画出极坐标函
数r=«0)的肉形
例
cita=0:0.1*pi:4*pi;
r=cita+sin(cita/2)
polar(cita,r)
(6)refline(k,b):画平面参考线,
k为斜率,b为在y轴的截距
(7)ezplot(T(x))画出f(x)的图形。例
ezplot('sin(x))结果是在12*pi,2*pi]上画出
图形;
ezplot(4sin(xy,[-1,3]),结果是在11,3]上画出
图形.
f(x)可为sym型、char型、inline型和function
定义的函数。如:founctionf(x);仁x/2-1%这
里必须用.*、.八;调用:ezplot(@f)或ezplot
(吓)O
(8)fplot(T(x)Ja,b]),结果是在『a,b]上画出
图形例fplot(&in(x)\[-1,3]),结果是在口3上画
出图形形(x)向为char型、inline型。
•三维图形命令
(1)plot3(x,y,z):x,y,z为同维向量
时画空间曲线,例画出
x=sin(t),y=cos(t),x=t,
10E的图形。
解
t=0:pi/50:10*pi;
z=t,x=sin(t),y=cos(t),plot3(x,y,
z);plot3(x,y,z+1,,-r,)
(2)plot3(x,y,z):当z=f(x,y),(x,y)
为xoy平面上的网格节点时,它
可以画出空间曲面z=f(x,y)的图
形。
(3)mesh(x,y,z):画出三维网格
图。
(4)meshc(x,y,z):画出三维网格
与等高线图
(5)meshz(x,y,z):增加边界面屏
蔽。
(6)surf(x,y,z):与mesh函数不
同的是把图拓着色,surfc与
meshc类似。例
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-
2:0.1:2);z=x.A2+y.A2;
plot3(x,y,z)
holdon
meshc(x,y,z+8),
meshc(x,y,z+16),
%mesh(z)与mesh(x,y,z)的区别类
似于pIotjx)与pIot(x,y而应别。
(7)ezplot3('x⑴7y(t),'z(t)',[a,b]):为参数在[a,b]
的范围画出x=x⑴,y=y(t),z=z(t)对应的三维空
间曲线。^Jezplot3(,cos(t)),(sin(t)7t,,[0,10*pi])o
(8)ezmeshCx(u,v)\y(u,v”z(u,v)\[a,b,c,d]):在
awuwb,cwvwd的范围,画出参激方程
x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)的对应的曲面。
(9)ezsurf:ezsurf与ezmesh的区另U类彳以于surf
与mesh的区别。例
ezmesh('r*cos⑴',T*sin(t)',TA2',[0,2*pi])
画出抛物面图形。
(3)坐标轴标注xlabe(标注'),
ylabel(痴注,)
(4)标题标注title(,标题')
x="pi:0.1*pi:pi,y=sin(x)
plot(x,y),v=[-16,6,-1,2],axis(v)
gridon
xlabelCx-axis9),ylabel('y=sinx,)
title。正弦函数图像')
(5)图形保持holdon/off:hold
on是启动图形保持功能,在已存
在的一张图中添加曲线,hold
off是关闭图形保持功能。
(6)图例标注legend,标注
'标注2',…)
例x=0:0.1*pi:2*pi;
y=sin(x);z=cos(x);
holdon
plot(x,z/-of)
plot(x,y+z,'-h')
Iegend(ly=sinx,/z=cosx7y+z=sinx+
cosx
holdoff%关闭图形保持
⑺子图subplot(m,n,p):其功能
是把一个面形分成mXn个小
图形窗口,通过参数p调用各
子窗口进行操作。例
x=0:0.1*pi:2*pi;
y=sin(x);
z=cos(x);
subplot(2,2,1),plot(x,y1*')
subplot(2,2,2),plotfXjZj'"o')
subplot(2,2,3),plotfXjy+Zj'-h')
subplot(2,2,4),plot(x,y-z,'-x')
•图形处理技术
(1)坐标轴控制函数axis(v):对
二维图形v=[a,b,c,d]淇中[a,b]和
[c,d]分别为x轴和y轴的范围;对于
三维图形旷二团由上内收用分别给出
x,y和z轴的范围。例
(2)平面坐标网格函数gridon/off:
作用是平面图形带有网格和取消网
寤。
五、程序设计
•MATLAB作为一种高级计算语言,
不仅可以做如上所讲的那些工作,
还可以像basic,fortran,c等其它
高级计算机语言一样进行程序设
计,即编制以m为扩展名的文本
文件(简称M文件)。
•M文件的形式
(1)命令式(script):命令式文
件就是命令行的简单叠加,
MATLAB就会自动按顺序执行文
件中的命令,这样就可以避免在
命令窗口运行许多命令的麻烦和
重复行工作,也便于修改。其可
在命令窗口直接输入文件名运行
例
%sinfig.m
x="pi:0.1*pi:pi;
y=sin(x);
plot(x,y);
holdon;
plot(y,x)
(2)函数式(function):他主要解决
参数传递和函数调用问题,它的第
一句以function语旬为引导。木能
直接运行,只能调用。
例%f.m文件名与函数名必须一致
functionf(x)
f=2*xA2+4*x+6
在命令窗口中输入:f(O),f(1O)可以看
出结果。
例、建立一个名字为f的函数文件,该
函数为
f=cos2(x)
试计算该函数在x=1:10的函数值,
并给出离散点(x,f(x))的图形。
(大家一起讨论)
例、一个函数文件可以定义个函数
function[yl,y2,y3]=f(x)
yl=sin(x);
y2=cos(x);
y3=tan(x);
(3)数据文件:
用save,文件名','变量V,'变量2"……)或
save文件名变量1变量2变量3创建;
用load。文件名')或Load文件名调入到工作
间。
控制语句
(1)循环语句
(a)for循环:例
s=0;
fork=1:1:10%初始值、步长和最大
限值
s=s+k;
end%循环结束标志
(b)while循环:例
s=0;
k=0;
whilek<=9
k=k+1;
s=s+k;
end
(c)if......else......end选择语句:
例
编写分段函数f(x)=x,(・
A
1=<x<0);f(x)=x2,(0<=x<=1)o
functiony=f(x)
ifx>=-1&x<0
y=x;
else
y=xA2;
end
(d)if...end语句:例
•fori=l:10
•ifi<8
•a(i)=100
•end
•end
•结果:a=
100100100100100100100
(e)if...elseif...elseif...else...end^
重选择语句:例编写函数文件:
functiony=f(x)
ifx>=-1&x<0,y=x;elseif
x>=0&x<=1,y=xA2;else,f=0
end
在命令窗口中输入f(1),(3)可以得到结
果。
(f)swith变量
case1
语句
case2
语句
otherwise
语句
end
例、
•fori=1:6
•switchi
•case1
•a=1
•case2
•a=2
•case3
•a=3
•case4
•a=4
•otherwise
•b=0
•end
•end
例已知n=自己的真实学号,在xoy平面
有点
Aj二(i,0)
Bi=(i,n)
(i=0,1,2,・・・・・・,n)
现要画连接AjB的线段(i,j=0,1,…,
n),试给出其MATLAB程序。
解现就学号为6,给出其程序如下:
n=6;x=0:n;y=0:n;
fori=1:7
forj=1:7
ifi==j
plot(x(i)*ones(size(y)),y);
xlabel('x');ylabel(V);title('AiBj的连线')
v=[0,n,0,n];axis(v)
holdon;
else
a=min(x(i),xG));b=max(x⑴
X1=a:0.1*(b-a):b;
Y1=・n/(x(i)・x(j))*(X1・x(i));%连接内Bj的直线
plot(X1,Y1);
end
end
end
作业:在上题的基础上,再加上点
Ci=(O,i),Di=(n,i)
(i=0,1,2,……,n)
现要画连接AiBj和CiBj的线段
(i,j=0,1,…,n),试给出其MAT
LAB程序。把运行结果得到的图像,
存放到WORD文件,文件名字取为:
真实姓名—真实学号,然后发送到
信箱:xtxyshx@126.com
六、主要命令汇总
1、常用信息
•help:在线帮助(显示在命令窗)。
•helpwin:在线帮助(独立窗口显示)。
・ver:MATLAB及工具箱的版本信息。
2、管理工作区命令
•who:显示当前变量。
•whos:显示当前变量具体信息。
•clear:从内存中清楚变量和函数。
•quit:退出MATLAB。
3、管理命令和函数
•what:显示当前目录下的MATLAB
文件。
•edit:编辑M文件。edit健立编辑新
文件);edit+文件名(编辑已有
的文件)。
•which:找出函数和文件的位置。
•type:显示M文件内容。Type+文件
名。
•Inmem:显示内存中的函数。
4、操作系统命令
•dir:显示目录。
•pwd:显示当前工作目录。
•delete:删除文件。Delete+文件名。
•web:打开页面浏览器加载文件。
5、数据类型
•double:双精度类型
•sym:符号型
•Inline:内联对象
•char:字符数组或字符串。
•Uint8:无符号8位整数(unsignedinteger)
•char(sym型变量):把sym型转化为char型
•sym(char型变量):把char型转化为sym型
•char(inline型)和inline(char型)可相互转化。
•num2str:数字转化成字符串
6、数据基本操作
•max:最大元素。向量为数,矩阵为向量
•min:最小元素。类似max.
•mean:求平均值。mean(a),a为向量
时得到向量平均值,结果为一
个数;a为矩阵时,进行每列
平均,得到一个向量。
•sum:元素和。sum(a),a为向量时得
到该向量各元素之和,结果为一
个数;a为矩阵时,进行每列
求和,得到一个向量。
•prod:元素积。prod(a)当a为向量和
矩阵时的情况,类似于max(a)。
•cumsum:元素累和。cumsum(a),a
可为向量,也可为矩阵。
•cumprod:元素累积。a可为向量,
也可为矩阵。
7、基本矩阵函数
•zeros:零矩阵函数。
•ones:全1矩阵。
•eye:单位矩阵。
•rand:随机数、向量、矩阵.
・linspace:线性等分向量。
8、基本数组操作
•size:矩阵大小。
•length:数组长度。
•isempty:判断是不是空矩阵。
•isequal:判断数组是否相等。
isequal(a,b)o
•isnumeric:判断是否为数值矩阵。
•reshape:矩阵重置。
•tril:抽取下三角部分。
•triu:抽取上三角部分。
・flipk左右方向翻转矩阵(flip:翻
转)。
•flipud:上下方向翻转矩阵。
・rot90:逆时针把矩阵旋转90度。
•find(x):[i,j]=find(x)查找x非零元下标。
9、专用变量和常量
ans:最新答案。
pi:圆周率。
i,j:复数单位。
inf:无穷大。
NaN:不定数。
isnan:判断不定数。
•isinf:判断无穷大元素。
•isfinite:判断有限大元素。
10、指数、对数函数
•exp:e指数函数。
•pow2:以2为底的塞函数。
•sqrt:平方根函数。
11、舍入函数和剩余函数
•fix:朝零方向舍入为整数。
•floor:朝负方向舍入为整数。
•ceil:朝正方向舍入为整数。
•round:四舍五入为整数。
•sign:符号函数。
•mod:无符号求余函数。mod(3,2)=1
•rem:带符号求余函数。
12、复数函数
•abs:求模。
•conj:求共朝函数(conjugate)。
•angle:相角函数。
•imag:复矩阵虚部。
・real:复矩阵实部。
・isreal:实矩阵判断函数。
12、矩阵函数
•norm:矩阵或向量范数。
•normest响量、矩阵2范数。
・rank:矩阵的秩。
•det:矩阵行列式的值。
•trace:矩阵的迹(主对角线元素之和)。
•inv:矩阵逆。
13、特征多项式、特征值
•poly:特征多项式。
•poly2sym:多项式表示。
,eig:特征值和特征向量。
•eigs:特征值。
14、矩阵函数
•expm:矩阵指数。
•logm:矩阵对数。
•sqrtm:矩阵平方根。
15、坐标转换
•cart2sph:转换直角坐标为球坐标。
•cart2pol:转换直角坐标为极坐标。
•pol2cart:转换极坐标为直角坐标。
•sph2cart:转换球坐标为直角坐标。
16、坐标轴控制
•axis:控制坐标轴范围。
•gridon/off:栅格线保持、取消。
•Gridminor:较小网格。
•holdon/off:图形保持/取消o
•boxon/off:图形四周都显示/常规坐标
轴。
例1、
•[x,y]=meshgrid(0:0.5:10);
•z=y.*sin(x.人2)+cos(y);
•surf(x,y,z)
•v=[-20,10,-20,10,-10,50];%坐标
轴范围控制
•axis(v)%注意该语句必须在图形显
示语句的后面
说明:二维图形是类似的。
例2、axis1控制字符串,):可以选
择
不同的字符串完成对坐标轴的操作。
控制字符串有:
(1)auto:自动模式,使得图形的坐
标范围满足图中一切图元素。
(2)axis:将当前坐标设置[定,使
用hoId命令后,图形仍以此作为坐标
界限。
(3)manual:以当前的坐标限定绘
制。
(4)tight:将坐标限控制在指定的数
据范围内。
(5)equal:使坐标轴分度相等。
(6)off:取消对坐标轴的一切设置,
包括系统的自动设置。
(7)on:恢复对坐标轴的一切设置。
•[x,y]=meshgrid(-1:0.1:1,-1:0.1:1);
•z=x.A2+y.A2;
•surf(x,y,z)
•boxon
17、基本二维图形
•plot:线性绘图。
•loglog:双对数坐标图。
•semilogx:半对数(x)坐标图。
•semilogy泮对数(y)坐标图。
,polar:极坐标图。
•subplot:分割图窗
•refline⑸ope,intercept):加参考线
18、图形注解
•legend:图形标签.
•xlable:x轴标签。
•ylable:y轴标签。
,title:图形题目o
•text:文字注解。
19、特殊二维图形
•bar:条形图。
,barh:水平柱图。
,ezplot:符号函数图。
・fplot:绘制字符串指定的函数名的函
数图。如fplotCsin(x),,[2,3])。
•pie:饼图。
•plotmatrix:绘矩阵点图。
•stem:2维火柴杆图。
•stem3:3维火柴杆图。
20、等高线图和向量图
•contour:等高线图。
•contour3:三维等高线图。
•quiver:向量图。
例
[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-1:.15:1);
z=x/exp(-x.A2-y.A2);
[px,py]=gradient(z,2);
contour(x,y,z),
holdon
quiver(x,y,px,py)
holdoff
21、特殊三维图形
•comet3:三维彗星轨线(comet(x,y)画
二维彗星线)。
t=-10*pi:pi/500:10*pi
comet3(sin(t),cos(t),t)
•meshc(x,y,z)湎出三维网格与等高线
图,类似sutfc。
•meshz(x,y,z):增加边界面屏蔽。
•stem3:三维火柴干图。例
a=rand(3);
stem3(a);
22、固体模型
•cylinder:生成圆柱。格式为
[x,y,z]=cylinder(QH)J为母线半
径,N为显示的母线条数
mesh(x,y/)或surf(x,y/)显示单位
高度柱面。
t=.l*pi:pi/20:l*pi;
r=5+cos(t);
[x,y/]=cylinder(r,30)
surf(x,y,z)
•sphere:生成单位球面。例
[x,y,z]=sphere(40)%40为子午线条
数,sphere默认为20条。
mesh(x,y,z)或surf(x,y/)%画球面
axis(6equaP)%坐标轴刻度相同
例
•[x,y,z]=sphere(50);mesh(x+l,y+2,z+2)画出以(1,
2,2)为中心半径为1的森面;
•[x,y,z]=sphere(50);mesh(x,y,abs(z))画出以(0,0,0)
为中心半径为1的上半个球面;
•[x9y,z]=sphere(50);
mesh(2*x,2*y,2*abs(z)),画出以(0,0,0)为中
心的半径为2上半个球面;
[x,y9z]=sphere(50);
•mesh(2*x,2*y,2*abs(z)),画出以(0,0,0)为中
心的半径为2上半个球面;
例、绕地球运动的飞行物
•[x,y,z]=sphere(50);
•mesh(x,y,z);
•holdon
•v=[-6,6,-6,6,-6,6];
•axis(v);
•axis('off')
•t=0:pi/1000:200*pi;
•x=6*sin(t);
•y=2*cos(t);
•z=zeros(size(t));
•comet3(x,y,z)
23、四维表现图
对于三维图形自变量是二维的,对
于三个自变量的函数w=fx,y,z),其
其图形应该是四维的,由于我们所
处的空间和思维的局限性,在计算
机屏幕上只能表现出三维空间。为
了表现四维图像,可利用三维实体
的四维切片色图,用三维实体上的
颜色来描述函数值的变化情况。
•MATLAB中用slice函数来完成
(1)slice(x,y,z,w,sx,sy.sz):绘制向
量sx,sy,sz中的点沿x,y,z轴方向的切片
图,W的大小决定了每一点的颜色。
(2)slice(x,y,z,w,xl,yl,zl):按数
组xl,yl,zl切片(按坐标轴单位)。
(3)slice(w,xl,yl,zl):按数组xL
yl,zl切片(按x,y,z的网格单位进行切片。
(4)slice(w,sx,sy,sz):按x,y,z的网
格单位进行切片。
例、程序如下:
[x,y,z]=meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.25:2,-2:0.16:2);
w=x.A2+y.A2+z.A2;
%slice(x,y,z,a,x,y,z)
x1=1:15;
y1=1:10;
z1=1:10
subplot(221),slice(x,y,乙w,1
subplot(2,2,2),slice(w,1,1,[0,1]);
subplot(2,2,3),slice(x,y,z,w,x1,y1,z1);holdon
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24、数据文件
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