第2章数字调制与解调电子教案

第2章数字调制与解调

数字调制信号AWGN信道下的解调和检测OFDM技术线性调制器的实现

1/6/202512.1数字调制信号信号和噪声的矢量空间表示无记忆调制-QAM有记忆调制-最小频移键控MSK和GMSK

1/6/202522.1.1信号和噪声的矢量空间表示

N维矢量空间

在N维矢量空间S中每个矢量x用它的N个坐标表示为

；两个矢量x、y的和定义为：矢量x与标量之积定义：两个矢量x、y的内积：

1/6/20253两个矢量x、y的夹角：

是一组相互正交，规一的矢量，称为基矢量。

矢量x的长度定义为：

1/6/20254信号和噪声的矢量空间表示

把在上平方可积函数和看成是矢量，

和的内积定义：

矢量和的的夹角定义：

函数的长度定义为：

是一组在上定义的正交、规一函数，即

1/6/20256任何一个由线性组合构成的函数可以表示为：

把看成是一组N个正交、规范基函数，相当于N维正交空间的N个正交单位向量。于是就可以看成为是这个N维空间中的一个点，它的坐标为，称这N维空间为信号空间。

1/6/20257使得：

，任取一个矢量，比如

，；，；，；，；由Gram-Schmidt正交化步骤：

可以从任何一组M个波形，构造出一组N个正交规范波形

，；1/6/20258[例]

4个基带信号

构造出一组3个正交规范波形

1/6/20259每个信号波形可以用矢量表示，信号能量

信号的能量相当于矢量长度的平方。

s1s2s3s4

1

2

31/6/202510[例]在上定义的16个基带信号：

，可以用二维信号空间中的点表示，该二维信号空间的基矢量函数为：

所以1/6/202511是在这N维信号空间中的投影。

其中，可以用矢量表示。

是与信号空间正交的分量。因为对任何

另一部分：双边功率谱密度为N0/2的白高斯噪声也可以表示成二部分组成，

1/6/202512分量是高斯随机变量，的均值和协方差分别为：

N维噪声矢量的概率分布为：

1/6/202513在实际通信中，有不少信道都不能直接传送基带信号，而必须用基带信号对载波波形的某些参量进行控制，使载波的这些参量随基带信号的变化而变化，即所谓调制。数字调制是用载波信号的某些离散状态来表征所传送的信息，在收端对载波信号的离散调制参量进行检测。2.1.2无记忆调制1/6/202514

无记忆调制PAM信号PSK信号QAM信号有记忆调制MSKGMSK数字调制信号分类1/6/202515

PAM信号：其中：0000011000110101011111101/6/202516

MPSK信号：1/6/202517QAM信号：设计一个信号星座图，我们希望充分利用一个平面。MASK只在一条轴上，MPSK在一个圆周上，在一个平面上让信号点之间的距离尽可能大。正交幅移调制优点：相同频谱利用率时，其抗干扰性能好缺点：实现的难度大1/6/202518星座图信号点之间的最小欧式距离d1/6/202519如果最大幅度为1对于16PSK,d=0.3916QAM,d=0.471/6/202520方形QAM信号：可以看作是在两方向上分别实施维的PAM调制。MQAM信号的产生1/6/20252116QAM－>4－QAM正交四电平移幅键控

4QAM－>2－QAM1/6/202522MQAM

方式64QAM－>8－QAM每个符号6比特MQAM－>L－QAM其中，带的比特数为1/6/2025231/6/20252464QAM128QAM1/6/202525MQAM调制一般采用正交调制方式1/6/202526信号的主瓣带宽仍为，带外功率按衰减。

频谱利用效率为，

（bps/Hz）调制过程表明：MQAM可以看成是两个正交抑制载波的双边带调幅信号的叠加，因此它的功率谱应和MPSK、MASK一样1/6/2025272.1.3有记忆的数字调制—MSKFSK相邻码符的跳变引起载频的突变，使得信号功率谱的旁瓣分量比较强，很难满足移动通信系统相邻信道总频谱泄漏<－60dB的要求。因此，采用了MSK方式，它是FSK的一个特例。1/6/202528MSK调制原理 FSK功率谱宽度和调制指数有关，h增大频谱就增宽2FSK时MSK特点：h=0.5码字交替处相位连续1/6/202529MSK信号的时域表达式MSK信号波形

瞬时频率

，

二个频率

1/6/2025301/6/202531由此可见，MSK在码字发生变化时，相位是连续的，在每个信息比特内载波相位变化是，因此累计相位在每比特结束时必为的整数倍。1/6/202532对于相干解调，可以假设，所以，附加相位在区间上是一条斜率为、截距为的直线段。在一个符号时间中变化。2T3T4T5T6TT7T8Tπ-ππ/22π-π/2-2π3π/2-3π/20tθ(t)

1-1-1111-111/6/2025331、MSK信号是恒包络信号；2、相对于载波的频偏为，调制指数为；3、在任何符号间隔区间中，二个码元信号正交；4、附加相位在一个码元时间中线性变化，变化量为；5、MSK信号的相位在数据符号转换时刻连续；

MSK信号的特点1/6/202534MSK信号实现方法MSK信号写成正交调制形式

其中1/6/202535所以在表明同相数据和正交数据都是每隔时间2T才改变一次，而且二路数据改变的时刻交错相隔T。数据序列进行差分编码，转换成可以证明，目的要证明:1/6/202536MSK的一种实现方式差分编码串并变换+-{ak}{ck}{c2k-1}{-c2k}s(t)与OQPSK信号几乎相同，只是用余弦脉冲代替矩形脉冲。

1/6/202537输入二进序列1/6/202538MSK解调方法采样保持采样保持{c2k-1}{-c2k}2T2TTT由于差分编码：直接传输，MSK误码率1/6/202539MSK信号的功率谱与QPSK一样，只是在MSK信号中基带脉冲是余弦脉冲，不是矩形脉冲。1/6/202540功率谱密度（db/Hz）基带频率/比特率MSK信号的主瓣宽度是QPSK的1.5倍，是BPSK的3/4，它的旁瓣衰减远快于QPSK和BPSK。

1/6/202541带外功率占总功率的比例

带外功率占总功率比例F(db)带宽/比特率1/6/202542高斯最小偏移键控（GMSK）

修正MSK调制方式，使得附加相位不仅连续，而且光滑（即高次可微），这样可以使已调信号的功率谱更为紧凑。可以证明如果附加相位是t的m次可微函数，则它的功率谱密度随频率按2(m+1)次幂反比下降。

1/6/202543GMSK的产生二进制矩形脉冲幅度调制信号去调制正弦波的频率，当调制指数等于时，就得到MSK信号。

，先把矩形脉冲序列通过一个低通滤波器进行预滤波，用预滤波输出去控制压控振荡器进行调频，得到GMSK信号。

1/6/202544一般要求预滤波器满足如下条件：

1、预滤波器应有窄的通带和陡峭的过滤带；2、预滤波器的脉冲响应有相对较低的过冲；3、要求预滤波器输出的频率成型函数的积分为1/2，这将使得每个数据码元对于相位的总影响为；预滤波器的设计1/6/202545合适的低通滤波器是高斯脉冲响应滤波器，简称高斯滤波器：

参数与的3db带宽B的关系为：

通过高斯滤波器后输出为，

用高斯滤波后的基带信号w(t)去进行调频，称为GMSK。

1/6/202546不同BT值时GMSK的频率成型脉冲

1/6/202547几种不同BT值的GMSK信号和MSK信号的功率谱密度

1/6/202548时间－带宽积退化(db)GMSK解调的误码率截断后的频率成型脉冲的宽度为5T，所以GMSK信号中存在码间干扰，而且当BT乘积减小时引入的码间干扰增大。

其中与BT乘积有关，它表示相对于MSK的性能退化。

退化与BT的关系

BT=(MSK)，性能退化为0dbBT=0.3，性能退化为0.46db

1/6/2025492.2AWGN信道下的解调和检测解调和检测的概念基函数相关解调基函数匹配滤波器解调最佳检测判决器1/6/202550解调就是把接收到波形恢复成发送的基带脉冲，而检测是指作出判断，确定波形所代表的数字含义。

频率下变换器接收滤波器均衡器判决器解调与采样检测2.2.1解调和检测的概念1/6/202551频率下变换方框是为带通信号传输所设计，对于基带信号传输来说，它可以完全省去。接收滤波器，执行波形恢复的功能。接收滤波器是以最好的信噪比恢复基带脉冲。这种最佳滤波器也称为匹配滤波器，或者叫相关器。由于发送滤波，信道滤波使得接收到的脉冲序列发生码间干扰，不适于直接采样和判决，均衡器用来消除由带限系统所引起的码间干扰（ISI）。实际系统中接收滤波器和均衡器往往结合在一起。

1/6/202552解调/检测过程包含有二个转换。第一是波形—样本转换，这由采样器完成。在每个符号时间结束，采样器输出样本值，也称为检测统计量。检测统计量是一个随机变量，它与接收到符号的能量及附加噪声有关。由于输入噪声是Gaussian过程，接收滤波器是线性的，所以滤波器输出噪声也是高斯的。

第二是样本到消息符号转换。发送“1”发送“0”接收滤波门限判决在时采样消息符号

简化的基带传输模型

1/6/202553在时刻的采样输出为，

其中是由信号分量得到的，是所需分量；是噪声分量。

是均值为零，方差为的高斯噪声

判决器作用是把采样值与某门限相比，根据大于还是小于来确定发送的是，还是。基带传输系统中的解调和检测主要归结为如何设计一个好的接收滤波器和如何选择比较门限。

和分别称为是、的似然概率。

1/6/202554当发送是信号时，接收到

，投影到N维信号空间，得到的矢量表示为

是均值为，方差为的独立高斯随机变量，所以在发送条件下，接收到的条件概率为：

其中，表示矢量的长度。

2.2.2基函数相关解调

1/6/202555去判决基函数相关解调器

1/6/202556是作出判决的充分统计量；也就是说作出正确判决

的信息包含在矢量中，与噪声分量无关。

所以和是不相关的。对于高斯变量，不相关就意味着相互独立，所以和独立的。从而是一组充分统计量，给出的充分统计量的解调器是一组基函数相关器。1/6/202557[例6.3.1]

M电平PAM传输，其中基本脉冲形状为矩形，如图所示，加性噪声是零均值，白高斯噪声。求基函数和基函数相关解调器输出。

ATt[解]矩形脉冲能量为

因为PAM信号集合具有维数只有一个基函数，基函数相关型解调器输出为，

相关器变成了简单的积分器。

1/6/202558发送的第m电平基带脉冲可表示为，

则其中所以1/6/202559基函数相关型解调是利用一组N个相关器构造出充分统计量提供给后面的检测判决装置。也可以用一组滤波器来代替相关器，这组N个滤波器的脉冲响应为：

，，其中是信号空间的N个基函数。滤波器输出为

，当时，这些匹配滤波器输出正好是N个基函数相关器的输出。

2.2.3基函数匹配滤波器解调

1/6/202560[定义]当信号是上定义的函数，则脉冲响应为：的滤波器称为是信号的匹配滤波器。

1/6/202561匹配滤波器性质

[定理]如果信号受到AWGN干扰，则信号通过与它相匹配的滤波器，可获得最大信噪比。

可证明，在时刻输出信噪比（SNR）为

1/6/202562下面计算匹配滤波器的频率传递函数。

1/6/202563匹配滤波器的信号输出：

在时，，正是相关器在时的输出。

我们可以把基函数相关解调器用一组匹配滤波器代替，得到基函数匹配滤波解调器。

1/6/202564去检测基函数匹配滤波解调器1/6/202565(a)信号(b)匹配滤波器脉冲响应(c)匹配滤波器输出[例]1/6/202566注意：匹配滤波器的输出仅当时才和相关器输出相同，在其它时刻二者输出是不一样的。例如对于正弦信号，图中的实线表示相应匹配滤波器输出，而虚线表示对应相关器输出。

[例]

匹配滤波器的频率响应：1/6/202567匹配滤波器的脉冲响应：假设输出信号：其它1/6/2025681/6/202569求其基函数匹配滤波解调器。

[例6.3.2]在二进制基带传输系统中，可能发送二种波形

发送“0”

发送“1”

，，[解]构成二维正交基：

，相应的匹配滤波器为，

，，1/6/202570当发送时，匹配滤波器在时输出信号值为，

为符号能量。而滤波器在时输出信号值为，

匹配型解调器输出采样矢量值为，

其中和为噪声通过这二只匹配滤波器，在时的采样值；第一只匹配滤波的输出信噪比为，

1/6/2025712.2.5最佳检测判决器

对于AWGN上基带信号传输来说，无论是基函数相关解调，还是基函数匹配滤波解调，都产生一个判决矢量，接收信号中有关发送信号的全部有用信息保含在这个判决矢量中。

接收矢量是二项之和，一项是，即与发送信号波形有关的矢量，另一项是噪声矢量，它是噪声在信号空间的投影。把视做信号空间一点，是N维信号空间一个随机矢量。它的每个分量是均值为0，方差为的独立高斯变量，它可以表示为矢量上叠加一个球对称分布的噪声，形成了信号空间中以为中心的一个球状云团。1/6/202572s1s2s3s4n1/6/202573信号检测准则：

设个信号为，相应的先验概率为。

如果我们没有收到，则我们总是估计最大的哪个信号为最可能被发送。如果我们收到，应该选使后验概率最大的那个为发送信号。这称为最大后验概率准则（MAP）。

，最大后验概率准则（MAP）：最大似然概率准则（ML）：当M个信号是先验等可能传送时，

，1/6/202574最大后验（MAP）检测：选使最大；最大似然（ML）检测：选使最大；

最佳性证明当信号先验概率分布已知时，采用MAP准则可以使平均错误概率最小。

接收到矢量是N维信号空间中一个点，根据做出发送信号是哪一个的判决，相当于把信号空间划分成M个区域，。若落入，就判定发送的是信号。如何划分使错误概率最小？设发送的是，但接收到的矢量落到以外，判决就出错误。所以在发送条件下的错误概率为：

其中为的补空间。

1/6/202575平均错误概率为：

为了平均错误概率最小，划分应该使在中的点满足

这就是最大后验概率准则（MAP）。

同样当M个信号先验等概分布时，采用ML准则可以使平均错误概率最小。

，，即1/6/202576由由于对数函数的单调性，所以最大后验概率准则（MAP）也等价于：

最大后验概率准则为：1/6/202577当M个信号是先验等可能传送时，

，最大似然概率准则（ML）：最大似然概率准则（ML）等价于最小距离准则；若记1/6/202578由于其中为信号的能量，为和的内积。

忽略与m无关项，得到最大后验概率准则等价于：

(6.3.54）1/6/202579最大后验概率接收机是基函数相关器对所有m，计算式(6.3.54），并选取最大项对应的下标。r(t)

1(t)

N(t)r1rN1/6/202580匹配滤波器匹配滤波器对所有m，计算式(6.3.54），并选取最大项对应的下标。r(t)

1(T-t)

N(T-t)r1rN最大后验概率接收机是基函数匹配滤波器1/6/202581由于

，MAP准则：

选取最大项对应的下标。r(t)(2/N0)s1(t)y1(2/N0)sM(t)yM最大后验概率接收机是（信号）相关器1/6/202582注意：基函数相关接收机的支路数N不大于信号相关接收机的支路数M。

匹配滤波器选取最大项对应的下标。r(t)(2/N0)s1(T-t)y1匹配滤波器(2/N0)sM(T-t)yM最大后验概率接收机是（信号）匹配滤波器1/6/202583[例6.3.3]

二进制基带信号的最佳接收二个可能的信号为；对应信号点为；它们能量分别为，先验概率为；加性白高斯噪声的双边功率谱密度为，求最佳的MAP检测器。[解]

接收到信号为：

信号空间表示为：最佳MAP接收机是

其中或者1/6/202584因为所以MAP检测：＋－与比较r(t)，其中由于1/6/202585频率选择性衰落：由多径传播造成时延扩展相干带宽时间选择性衰落：终端和基站之间的移动多普勒频偏相干时间2.3OFDM调制1/6/202586单载波传输：把数据流所构成的基带信号去调制一个载波。在高速无线信道传输中，会造成：ISI频率选择性衰落多载波传输：先把高速数据流经串并变换转换成一组低速数据流，然后各自去调制相应载波，并行传输。

串->并形成子信道，速率降低，对抗深衰落多载波调制，也称为多音调调制。通常的频分复用（FDM）就是多载波调制。正交频分复用调制（OFDM）是一种特殊的多载波调制方式。OFDM调制-多载波传输1/6/2025871、OFDM方式允许各子信道频谱重迭；

节省了的频带

ff2．为了防止各子信道之间的串扰，OFDM要求各子载波相互正交；

3．OFDM可以利用离散Fourier变换（DFT）来实现其调制和解调；

正交频分复用调制与传统的频分复用的区别：1/6/202588OFDM系统的子载波由于：各子载波之间相互正交，可以避免ICI合成信号具有最小带宽故可推得：若每个子信道的传输速率为1/T，则子载波的频率之间相差也为1/T。（T叫做OFDM符号的周期）1/6/202589OFDM系统的基本模型从ts开始的OFDM符号可表示为：S/P+信道积分积分积分P/S1/6/202590图中表示组成OFDM信号的4个子载波。在实际系统中各子载波的幅度和相位往往是不相同的。但在一个OFDM的有效符号时间T中都包含了每个子载波的整数个周期，而且相邻子载波在一个OFDM有效符号时间中相差一个周期。

1/6/202591子载波的正交性，及解调：所以OFDM接收机对第k个子载波解调为，于是其它的子载波对于解调子载波不造成干扰。由于OFDM子载波之间的正交性，即1/6/202592OFDM信号的频谱可看成是周期为T的矩形脉冲波形的频谱与各子载波频率上的函数的卷积。

OFDM信号的频谱：1/6/202593OFDM系统的调制和解调的实现正交调制和解调可用IFFT和FFT实现。OFDM等效低通信号：对s(t)以T/N的速率进行抽样，即令则：1/6/202594OFDM系统的调制和解调的实现解调可用FFT实现。在接收端对进行逆变换，即DFT得到：1/6/202595串并变换

多载波调制（IDFT）加循环前缀和并串变换D/A变换频率上变换频率下变换A/D变换去循环前缀和串并变换

多载波解调（DFT）并串变换OFDM的调制，解调系统方框图

在OFDM系统的实际运用中，可采用更方便、更快捷的IFFT/FFT。

1/6/202596保护时间与循环前缀

为了最大限度地消除码间干扰（ISI），可以在OFDM符号之间加入保护时间。保护时间的长度要大于预期的多径信道最大时延扩展。在保护时间中，OFDM系统完全不传输数据，它是一段空白。这样使得一个符号的多径时延分量不会干扰后继符号。加上保护时间后的OFDM符号时间长度为，其中OFDM的积分时间（即IDFT/DFT时间），仍为T（有效符号时间），相邻子载波频率间隔仍为。1/6/202597空白的保护时间虽然能够消除多径展宽引起的码间干扰，但使子载波之间的正交性被破坏，产生子载波之间的串扰，即产生信道间干扰（ICI）。对子载波#1的ICI

延时的子载波#2

保护时间OFDM有效符号时间（FFT时间）

OFDM符号时间

子载波#1

1/6/202598为了消除子信道之间的串扰，OFDM采用在原来空白保护时间中加循环前缀的方法。如图7.6.6所示，把OFDM符号的后面一段波形复制到原来空白保护时间中。由于OFDM有效时间T中包含了子载波的整数周期，所以这样加循环前缀不会在拼接处造成相位的突变。0T-Tg1/6/202599设经过IDFT的OFDM时域数据为：

则加循环前缀后的OFDM符号为：其中为循环前缀的长度。

1/6/2025100保护间隔和循环前缀为了对抗时延扩展，应加保护间隔，并且：由于