2023-2024学年江苏省盐城市五校联盟高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题一、单项选择选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知集合，集合，则.故选：B.2.已知角的终边经过点，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三角函数的定义可得.故选：A.3.已知，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，所以.故选：B.4.设实数满足，则函数的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，函数，当且仅当，即时取等号．因此函数的最小值为3．故选：A．5.已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，，则.故选：C.6.已知函数是上的增函数，那么的取值范围是（）A B.C. D.【答案】D【解析】因为函数是上的增函数，所以，解得.故选：D.7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数，由，即且且，故函数的定义域为，由，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；当时，，，所以，可排除C；由，，，即，可排除B.故选：A.8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，定义域为，因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减，时，，，时，；则时，时，，时，.故选：A.二、多项选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，，则【答案】ABD【解析】、、、均为非零实数,则，故，即，故A正确；由题意可知，故，当且仅当，即时取等号，故B正确；若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误；若，，则若，，故，故D正确.故选：ABD.10.关于函数，下列说法中错误的是（）A.最小正周期是 B.图象关于点对称C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增【答案】CD【解析】因为最小正周期为，故A显然正确；因为的对称中心为Z，所以的对称中心为Z，故B正确；因为无对称轴，所以也没有对称轴，C错误；因为的增区间为Z，所以的增区间为，即Z，故D不正确．故选：CD．11.如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A.转动后点距离地面B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的C.第和第点距离地面的高度相同D.摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为【答案】AC【解析】摩天轮转一圈，在内转过的角度为，建立平面直角坐标系，如图，设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，以轴正半轴为始边，为终边的角为，即点的纵坐标为，又由题知，点起始位置在最高点处，，点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：，即，当时，，故A正确；若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；第点距安地面的高度为，第点距离地面的高度为，第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，即，即，，得，或，解得或，共，故D错误．故选：AC．12.设，，已知，，则下列说法正确的是（）A.有最小值 B.没有最大值C.有最大值为 D.有最小值为【答案】ABD【解析】，，，当且仅当即时等号成立，故A正确，B正确；又，时，，即，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形面积为，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是________.【答案】【解析】设扇形圆心角的弧度数是，由扇形的面积公式可得：，解得：.14.已知，则__________.【答案】3【解析】由题意，即，则.15.已知正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.16.设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，，则在时无解；当时，，在单调递增，时，则的解集为；当时，，则在时恒成立；综上，的解集为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解：（1）集合，所以或，当时，集合，所以或.（2）“”是“”的必要不充分条件等价于是真子集，因为，所以且等号不同时成立，解得，所以实数a的取值范围为.18.已知二次函数，当时，；当，.（1）求，的值；（2）解关于的不等式：且.解：（1）由题意可知：的两根为，故，即得，所以.（2）由（1）可知：，即，解方程，即，解得：，当时，即，所以解集为.19.已知函数的图象关于点对称.（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.解：（1）因为函数的图象关于点对称，所以，又，所以.（2）由（1）知，将的图象向右平移个单位得，再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）得，因为，所以，所以，所以函数的值域为.20.已知函数．（1）解关于x的方程；（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）根据题意得，，即，解得或舍去，所以.（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，当时，有，所以，则，所以实数的取值范围为．21.如图所示，有一条“L”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条长为的栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.（1）当养殖观赏鱼的面积最小时，求的长度；（2）若游客可以在河岸与栈道上投喂金鱼，在栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度与投喂金鱼的道路长度之比不小于，求的取值范围.解：（1）过作垂直于，垂足分别为，则，，养殖观赏鱼的面积，由可得，则，当且仅当即时取等号，则最小时，，此时l的长度为.（2）由，可得，则，由题意，则，而，则，由可得，则，则.22.设为实数，已知函数，.（1）若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围；（2）设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故当时，取最小值，则；当时，，，则当，即时，取最小值，即，由题意得，则，即的取值范围是.（2）当时，，，则当，即时，取最小值为，则恒成立时，有，即，当时，，，则，则，故关于的方程不存在实数解.江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题一、单项选择选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知集合，集合，则.故选：B.2.已知角的终边经过点，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三角函数的定义可得.故选：A.3.已知，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，所以.故选：B.4.设实数满足，则函数的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，函数，当且仅当，即时取等号．因此函数的最小值为3．故选：A．5.已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，，则.故选：C.6.已知函数是上的增函数，那么的取值范围是（）A B.C. D.【答案】D【解析】因为函数是上的增函数，所以，解得.故选：D.7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数，由，即且且，故函数的定义域为，由，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；当时，，，所以，可排除C；由，，，即，可排除B.故选：A.8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，定义域为，因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减，时，，，时，；则时，时，，时，.故选：A.二、多项选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，，则【答案】ABD【解析】、、、均为非零实数,则，故，即，故A正确；由题意可知，故，当且仅当，即时取等号，故B正确；若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误；若，，则若，，故，故D正确.故选：ABD.10.关于函数，下列说法中错误的是（）A.最小正周期是 B.图象关于点对称C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增【答案】CD【解析】因为最小正周期为，故A显然正确；因为的对称中心为Z，所以的对称中心为Z，故B正确；因为无对称轴，所以也没有对称轴，C错误；因为的增区间为Z，所以的增区间为，即Z，故D不正确．故选：CD．11.如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A.转动后点距离地面B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的C.第和第点距离地面的高度相同D.摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为【答案】AC【解析】摩天轮转一圈，在内转过的角度为，建立平面直角坐标系，如图，设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，以轴正半轴为始边，为终边的角为，即点的纵坐标为，又由题知，点起始位置在最高点处，，点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：，即，当时，，故A正确；若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；第点距安地面的高度为，第点距离地面的高度为，第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，即，即，，得，或，解得或，共，故D错误．故选：AC．12.设，，已知，，则下列说法正确的是（）A.有最小值 B.没有最大值C.有最大值为 D.有最小值为【答案】ABD【解析】，，，当且仅当即时等号成立，故A正确，B正确；又，时，，即，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形面积为，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是________.【答案】【解析】设扇形圆心角的弧度数是，由扇形的面积公式可得：，解得：.14.已知，则__________.【答案】3【解析】由题意，即，则.15.已知正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.16.设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，，则在时无解；当时，，在单调递增，时，则的解集为；当时，，则在时恒成立；综上，的解集为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解：（1）集合，所以或，当时，集合，所以或.（2）“”是“”的必要不充分条件等价于是真子集，因为，所以且等号不同时成立，解得，所以实数a的取值范围为.18.已知二次函数，当时，；当，.（1）求，的值；（2）解关于的不等式：且.解：（1）由题意可知：的两根为，故，即得，所以.（2）由（1）可知：，即，解方程，即，解得：，当时，即，所以解集为.19.已知函数的图象关于点对称.（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.解：（1）因为函数的图象关于点对称，所以，又，所以.（2）由（1）知，将的图象向右平移个单位得，再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）得，因为，所以，所以，所以函数的值域为.20