2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是为：，.故选：D.3.已知函数分别由下表给出：则的值是（）123131321A.1 B.2 C.3 D.1和2【答案】C【解析】由表可知：，则.故选：C.4.已知a，b，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A：时不成立；B、C：时、不成立；D：，即成立.故选：D5.设偶函数在区间上单调递增，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，又在区间上单调递增，，所以，则.故选：B.6.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的图象得，，即，则，∴，∵，则.则，得.∵，∴当时，，则函数.故选：D.7.设，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为所以，，，故.故选：D.8.已知函数，若，则函数的零点个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】令，得，即或，当时，由或，得或；当时，由或，得或；则函数的零点个数是4个.故选：D.二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列哪些函数是幂函数（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意.故选：BD.10.下列各式中值为1的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A项，，故A项符合；对于B项，，故B项符合；对于C项，，故C项不符合；对于D项，，故D项符合.故选：ABD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是奇函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是偶函数【答案】AD【解析】由题意函数的定义域都是关于原点对称，且，所以分别是奇函数，偶函数，对于A，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，故A正确；对于B，若有意义，则，解得，即函数定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，故B错误；对于C，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，故C错误；对于D，定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，故D正确.故选：AD.12.关于函数，下列叙述正确的是（）A.其图像关于直线对称B.其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到C.其图像关于点对称D.其值域是【答案】BD【解析】对于A，因为，所以直线不是函数图象的对称轴，故A错误；对于B，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，故B正确；对于C，因为，所以函数的图象关于点对称，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：BD.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数是奇函数，则实数的值为________.【答案】2【解析】的定义域为，且是奇函数，，，此时，是奇函数，符合题意.故答案为：2.14.若，则“”是“”的___________条件．（请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答）【答案】充分不必要【解析】由题意，而是的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案：充分不必要.15.已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】，因为函数在区间上为增函数，所以，解得：.故答案为：.16.已知函数，，若对任意，存在，使得，则取值范围_______________．【答案】【解析】由题意知；当时，，故需同时满足以下两点：①对时，，∴恒成立，由于当时，为增函数，∴；②对时，，∴恒成立，由于，当且仅当，即时取得等号，∴，∴.故答案为：.四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）由题设，，，所以.（2）由题意，则，可得18.已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的值域．解：（1）由可知，即得：，由得：，即，因在定义域内是增函数，故得，即，又因，故的取值范围.（2）由可得，因在定义域内是增函数，则，故得：，即函数的值域为.19.已知函数.（1）判断在上的单调性，并用定义法证明；（2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值.解：（1）函数在上单调递增，证明如下：令，，因为，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.（2）由（1）知函数在上单调递增，所以函数在上的最大值为，即，所以，所以，当且仅当时等号成立.20.（1）已知，求值：；（2）化简：.解：（1）由题意，原式.（2）原式.21.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．解：（1）由题意得，即，，.（2）由，得，因，当且仅当时取等号，所以，故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.22.已知函数，．（1）求函数的单调减区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．解：（1），由（），解得（），所以所求函数的单调减区间是，．（2）当时，，，即，令（），则关于的方程在上有解，即关于的方程在上有解，当时，，所以，则，因此所求实数取值范围是．湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是为：，.故选：D.3.已知函数分别由下表给出：则的值是（）123131321A.1 B.2 C.3 D.1和2【答案】C【解析】由表可知：，则.故选：C.4.已知a，b，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A：时不成立；B、C：时、不成立；D：，即成立.故选：D5.设偶函数在区间上单调递增，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，又在区间上单调递增，，所以，则.故选：B.6.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的图象得，，即，则，∴，∵，则.则，得.∵，∴当时，，则函数.故选：D.7.设，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为所以，，，故.故选：D.8.已知函数，若，则函数的零点个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】令，得，即或，当时，由或，得或；当时，由或，得或；则函数的零点个数是4个.故选：D.二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列哪些函数是幂函数（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意.故选：BD.10.下列各式中值为1的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A项，，故A项符合；对于B项，，故B项符合；对于C项，，故C项不符合；对于D项，，故D项符合.故选：ABD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是奇函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是偶函数【答案】AD【解析】由题意函数的定义域都是关于原点对称，且，所以分别是奇函数，偶函数，对于A，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，故A正确；对于B，若有意义，则，解得，即函数定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，故B错误；对于C，定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数，故C错误；对于D，定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数，故D正确.故选：AD.12.关于函数，下列叙述正确的是（）A.其图像关于直线对称B.其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到C.其图像关于点对称D.其值域是【答案】BD【解析】对于A，因为，所以直线不是函数图象的对称轴，故A错误；对于B，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，故B正确；对于C，因为，所以函数的图象关于点对称，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：BD.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数是奇函数，则实数的值为________.【答案】2【解析】的定义域为，且是奇函数，，，此时，是奇函数，符合题意.故答案为：2.14.若，则“”是“”的___________条件．（请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答）【答案】充分不必要【解析】由题意，而是的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案：充分不必要.15.已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】，因为函数在区间上为增函数，所以，解得：.故答案为：.16.已知函数，，若对任意，存在，使得，则取值范围_______________．【答案】【解析】由题意知；当时，，故需同时满足以下两点：①对时，，∴恒成立，由于当时，为增函数，∴；②对时，，∴恒成立，由于，当且仅当，即时取得等号，∴，∴.故答案为：.四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）由题设，，，所以.（2）由题意，则，可得18.已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的值域．解：（1）由可知，即得：，由得：，即，因在定义域内是增函数，故得，即，又因，故的取值范围.（2）由可得，因在定义域内是增函数，则，故得：，即函数的值域为.19.已知函数.（1）判断在上的单调性，并用定义法证明；（2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值.解：（1）函数在上单调递增，证明如下：令，，因为，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.（2）由（1）知函数在上单调递增，所以函数在上的最大值为，即，所以，所以，当且仅当时等号成立.20.（1）已知，求值：；（2）化简：.解：（1）由题意，原式.（2）原式.21.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政