2023-2024学年河南省济源市高二上学期期末质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省济源市2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为.故选：B.2.过点且方向向量为的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，又函数过点，所以直线方程为，即；故选：B3.等差数列，0，，…的第20项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，所以，则.故选：C.4.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】D【解析】由于构成空间的一个基底，故不共面，对于A，与共面，不共面，故，，不共面，否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误；对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，即，则，方程组无解，假设不成立，故，，不共面，B错误；对于C，，与共面，由于不共面，故，与不共面，C错误；对于D，，故，，共面，故选：D5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】抛物线即的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以点到直线距离为，则，则双曲线的离心率为.故选：A6.我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】可看作圆上的点与点连线的斜率，如图，只需求出临界状态：相切时的斜率，设直线为，则圆心到直线距离，解得：，所以的取值范围为.故选：D7.已知数列满足，，，则数列的第2024项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】所以累加得故选：C.8.已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】如图，设椭圆的左焦点为，连接，因为，结合椭圆的对称性可知，四边形为矩形，设，则，，，在中，，化简整理得，所以，，在中，，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线：，其中，则下列说法正确的有（）A.直线过定点 B.若直线与直线平行，则C.当时，直线的倾斜角为 D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】由已知，直线：，则直线过定点，A正确；若直线与直线平行，则，得，或，B错误；当时，直线：，则，所以倾斜角为，C正确；当时，直线：，其在轴上的截距分别为，不相等，D错误.故选：AC.10.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A.当时，曲线C是椭圆B.当或时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.故选：BCD.11.设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】根据题意可得，由等差数列性质可知．因为，所以，所以，所以数列是递增数列，的前项和有最小值为，所以.所以A，B正确，C，D不正确；故选：AB．12.如图，正三棱柱中，，点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点，则以下结论正确的是（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.若平面，则动点的轨迹的长度等于D.若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD【解析】对于A，，选项A错误；对于B，过点作的平行线交于点，以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长为，侧棱长为，则，，，，，所以，，因，所以，即，解得，因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，选项B正确；取的中点，的中点，连接，则∥，平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，又，平面，平面，所以平面∥平面，因为平面且平面，所以动点的轨迹的长度等于，故C正确；对于D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆与圆只有唯一的公共点，则__________.【答案】或【解析】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，其中，圆的圆心为，半径为，由题意可知，两圆外切或内切，且，若两圆外切，则，即，解得；若两圆内切，则，即，解得.综上所述，或.故答案为：或.14.在平面直角坐标系中,若的坐标,满足方程,则点的轨迹是__________（填曲线的类型，填方程不给分）.【答案】直线【解析】由，得，所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，两距离相等，而点在直线上，所以点的轨迹是垂直直线于点的直线.故答案：直线.15.已知数列均为正项,且是等差数列，，则__________.【答案】100【解析】因为且是等差数列，设公差为，所以，所以是正项等比数列，所以，所以，故答案为：100.16.如图,在四棱台中,，，设，则的最小值为__________.【答案】【解析】如图，因为，令，则面，则，所以的最小值即为四棱台的高，过作面于，过作于，过作于，连接，因为面，面，所以，又，，面，所以，又，，得到，，同理可得，，，所以，得到，在中，，所以，得到，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆关于直线对称,且圆与直线相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.解：（1）因为圆与直线相切于点所以过点与直线垂直的直线的斜率为，所以直线的方程为，即.由，解得圆心.所以半径.故圆的标准方程为：；（2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即，所以圆心到直线的距离，又因为，，所以，解得.此时直线的方程为.②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径，弦长为，符合题意.综上，直线的方程为或.18.已知数列满足：，，设.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.解：（1）由，，可得.因为，即，.所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得：，即，所以.（3）由（2）可知：，则，可得，两式相减可得：.所以.19.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.（1）证明：平面；（2）当为何值时，的长最小并求出最小值；（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，因为，所以，.则，易知平面的一个法向量为.因为，所以.又平面，所以平面.（2），其中.，当时，最小，最小值为.（3）由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，此时、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.已知抛物线（）的焦点为,点为抛物线上一点,且.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.解：（1）由抛物线过点，且，得所以抛物线方程为；（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，设，联立得，所以，所以，所以因为，所以，则，，即，解得或，又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；所以实数的值为.21.如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且.（1）求证：，，，四点共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.解：（1）因为平面是菱形，所以，又因为底面，面，所以，，所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系：因为，，，则，，，，，因为，分别为侧棱，的中点，所以，，设，，因为，所以，解得，即.所以，，.所以，由向量共面的充要条件可知，，，共面.又，，过同一点，从而，，，四点共面.（2）由（1）可得，，，，又因为，所以，.设平面的法向量，由，得到，取，可得，，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（1）和（2）知，平面的法向量，设到平面的距离为，则.22.已知椭圆：的离心率为.点在椭圆上,点，，的面积为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：的面积是定值，并求此定值.解：（1）由已知得，∴，又，∴，∴椭圆：.（2）当直线的斜率不存在时，设直线：（且），代入，得，则，∴，则，当直线的斜率存在时，设点，，直线：，代入，得，∴，，，，∴，满足，，又原点到直线的距离，∴，为定值.综上，的面积为定值，定值为.河南省济源市2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为.故选：B.2.过点且方向向量为的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，又函数过点，所以直线方程为，即；故选：B3.等差数列，0，，…的第20项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，所以，则.故选：C.4.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】D【解析】由于构成空间的一个基底，故不共面，对于A，与共面，不共面，故，，不共面，否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误；对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，即，则，方程组无解，假设不成立，故，，不共面，B错误；对于C，，与共面，由于不共面，故，与不共面，C错误；对于D，，故，，共面，故选：D5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】抛物线即的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以点到直线距离为，则，则双曲线的离心率为.故选：A6.我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】可看作圆上的点与点连线的斜率，如图，只需求出临界状态：相切时的斜率，设直线为，则圆心到直线距离，解得：，所以的取值范围为.故选：D7.已知数列满足，，，则数列的第2024项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】所以累加得故选：C.8.已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】如图，设椭圆的左焦点为，连接，因为，结合椭圆的对称性可知，四边形为矩形，设，则，，，在中，，化简整理得，所以，，在中，，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线：，其中，则下列说法正确的有（）A.直线过定点 B.若直线与直线平行，则C.当时，直线的倾斜角为 D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】由已知，直线：，则直线过定点，A正确；若直线与直线平行，则，得，或，B错误；当时，直线：，则，所以倾斜角为，C正确；当时，直线：，其在轴上的截距分别为，不相等，D错误.故选：AC.10.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A.当时，曲线C是椭圆B.当或时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.故选：BCD.11.设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】根据题意可得，由等差数列性质可知．因为，所以，所以，所以数列是递增数列，的前项和有最小值为，所以.所以A，B正确，C，D不正确；故选：AB．12.如图，正三棱柱中，，点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点，则以下结论正确的是（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.若平面，则动点的轨迹的长度等于D.若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD【解析】对于A，，选项A错误；对于B，过点作的平行线交于点，以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长为，侧棱长为，则，，，，，所以，，因，所以，即，解得，因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，选项B正确；取的中点，的中点，连接，则∥，平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，又，平面，平面，所以平面∥平面，因为平面且平面，所以动点的轨迹的长度等于，故C正确；对于D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆与圆只有唯一的公共点，则__________.【答案】或【解析】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，其中，圆的圆心为，半径为，由题意可知，两圆外切或内切，且，若两圆外切，则，即，解得；若两圆内切，则，即，解得.综上所述，或.故答案为：或.14.在平面直角坐标系中,若的坐标,满足方程,则点的轨迹是__________（填曲线的类型，填方程不给分）.【答案】直线【解析】由，得，所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，两距离相等，而点在直线上，所以点的轨迹是垂直直线于点的直线.故答案：直线.15.已知数列均为正项,且是等差数列，，则__________.【答案】100【解析】因为且是等差数列，设公差为，所以，所以是正项等比数列，所以，所以，故答案为：100.16.如图,在四棱台中,，，设，则的最小值为__________.【答案】【解析】如图，因为，令，则面，则，所以的最小值即为四棱台的高，过作面于，过作于，过作于，连接，因为面，面，所以，又，，面，所以，又，，得到，，同理可得，，，所以，得到，在中，，所以，得到，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆关于直线对称,且圆与直线相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.解：（1）因为圆与直线相切于点所以过点与直线垂直的直线的斜率为，所以直线的方程为，即.由，解得圆心.所以半径.故圆的标准方程为：；（2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即，所以圆心到直线的距离，又因为，，所以，解得.此时直线的方程为.②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径，弦长为，符合题意.综上，直线的方程为或.18.已知数列满足：，，设.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.解：（1）由，，可得.因为，即，.所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得：，即，所以.（3）由（2）可知：，则，可得，两式相减可得：.所以.19.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.（1）证明：平面；（2）当为何值时，的长最小并求出最小值；（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，因为，所以，.则，易知平面的一个法向量为.因为，所以.又平面，所以平面.（2），